Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán 9 - Năm học 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN KIM THÀNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề gồm 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A = 
b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính giá trị biểu thức: A = 
Bài 2: (3,0 điểm)
a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012
Tính f(a) tại a = 
b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?
Bài 3: (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Tìm x; y thỏa mãn: 
b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: 
a + b + c 0
Bài 5: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: 
b) Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?
TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ
Tổ KHTN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán 9
Thời gian: 120’
Câu 1: (4 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A = 
ĐKXĐ: x 4; x 9
A = 
= 
b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.
Hãy tính: A = 
Gợi ý: xy + yz + xz = 1 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y)
Tương tự: 1 + y2 = ; 1 + z2 = . 
Câu 2: (3 điểm)
a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012
Tính f(a) tại a = 
b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?
Giải
a/Từ a=
 nên a3 + 12a = 32
Vậy f(a) = 1
b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ) và k > n (k – n)(k + n) = 17 
Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3: (4 điểm)
Giải các phương trình sau:
a/ 
b/ 
Giải
a/ ĐK: 
Bình phương 2 vế: 
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3
b/ ĐKXĐ: x 
 vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 
Câu 4: (3 điểm)
a/ Tìm x; y thỏa mãn: 
b/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c 0
Giải
a/ 
Xét VP = theo BĐT cosi: vậy VP xy = VT
Dấu = xảy ra khi: 
b/ Do a; b; c thuộc đoạn nên a + 1 0; a – 2 0 nên (a + 1)(a – 2) 0
Hay: a2 – a – 2 0 a2 a + 2
Tương tự: b2 b + 2; c2 c + 2
Ta có: a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c 0
Câu 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh: 
b/ Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
c/ Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?
Giải
a/ Sử dụng định lý pytago:
= 
b/ Ta có: tanB = ; tanC = 
Nên: tanBtanC = (1)
Mặt khác ta có: mà: tanHKC = 
Nên tanB = tương tự tanC = (2)
Từ (1)(2)
Theo gt: HK = AK 
c/ Ta chứng minh được: và đồng dạng vậy: (3)
Mà BÂC = 600 nên AB = 2AD(4)
Từ (3)(4) ta có: