Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD & ĐT Diễn Châu

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 7
NĂM HỌC 2018-2019
Môn: Toán 7 – (Thời gian làm bài 120 phút)
 Câu 1. (4,5 điểm) 
Thực hiện phép tính: ; 
 b) Cho , tính giá trị biểu thức C = .
 Câu 2. (6,0 điểm)
Tìm x,y biết: 
Cho . Chứng minh rằng: 
.
Tìm số nguyên x nhỏ nhất để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: .
 Câu 3. (3,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a và b sao cho .
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp lần lượt tỉ lệ với 6;5;4 nhưng sau đó lại chia lần lượt theo tỉ lệ 5;4;3 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 5 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
 Câu 4.(6,5 điểm) 
	1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC). Dựng ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE. Gọi giao điểm của CD và BE là I.
Chứng minh hai tam giác ADC và ABE bằng nhau.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minhAMN đều.
Chứng minh IA+IB+IC=CD.
2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm trong tam giác sao cho
. Tính số đo .
--------------------------Hết--------------------------
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh...............................................................SBD:.............
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2018-2019
( Hướng dẫn chấm này có 04 trang )
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1 
4,5đ
a
3,0
Thực hiện phép tính:;
1,5
0,5
0,5
0,5
1,5
1,0
0,5
b
1,5
Cho , tính giá trị biểu thức C = .
1,5
Từ , đặt 
0,75
Thay vào biểu thức ta được 
0,75
2
6,0
đ
a
2,0
Tìm x,y biết: (1)
2,0
 * Nếu . Khi đó từ (1) suy ra 
0,25
 (thỏa mãn )
0,5
 * Nếu .	Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 (2)
0,5
 Từ (1) và (2) suy ra:
0,25
Thay lại ta có: 
0,25
Vậy 
0,25
b
2,0
b) Cho . Chứng minh rằng: .
2,0
Ta có 
0,25
Nên (1) xảy ra
0,25
0,25
0,25
Ta có: 
0,5
. Vậy 
0,5
c
2,0
Tìm số nguyên x nhỏ nhất để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: .
2,0
Ta có: 
0,5
P lớn nhất lớn nhất.
0,25
Với 
Với 
0,25
0,25
Nên lớn nhất nhỏ nhất 
0,25
khi 
0,25
Vậy số nguyên x nhỏ nhất để P max là -1.
0,25
3
3,0
đ
a
1,5
a) Tìm các số tự nhiên a và b sao cho 
1,5
Vì tích 2 thừa số bằng 225 là số lẻ 2018a + 3b + 1 và 2018a - 2018a + b là 2 số lẻ.
0,25
+Nếu a 0 2018a - 2018a là số chẵn để 2018a - 2018a + b lẻ b lẻ.
Nếu b lẻ 3b + 1 chẵn do đó 2018a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn).Vậy a = 0
0,25
+Với a = 0 (3b + 1)(b + 1) = 225
0,25
Vì b N (3b + 1)(b + 1) = 75.3 = 45.5 = 25.9
	3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1
0,25
0,25
Vậy a = 0 ; b = 8.
0,25
b
1,5
b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp lần lượt tỉ lệ với 6;5;4 nhưng sau đó lại chia lần lượt theo tỉ lệ 5;4;3 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 5 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
1,5
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0)
Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c
Ta có: 	(1)
0,25
0,25
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:
	(2)
0,25
So sánh (1) và (2) ta có: a’ > a; b’=b; c’ < c nên lớp 7A nhận nhiều hơn lúc đầu.
0,25
Vậy: a’ – a = 5 hay (Thỏa mãn))
Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 300 gói.
0,5
4
6,5
đ
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC). Dựng ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE. Gọi giao điểm của CD và BE là I.
Chứng minh hai tam giác ADC và ABE bằng nhau.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh AMN đều.
Chứng minh IA+IB+IC=CD.
2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm trong tam giác sao cho. Tính số đo .
6,5
Vẽ hình
0,5 
Vẽ hình đúng đến câu a) cho 0,5
a
2,0
Xét tam giác ADC và tam giác ABE có:
AD=AB (vì đều)
AC=AE (vì đều)
1,0
1,0
b
1,5
Từ (câu a) 
0,5
Mà M, N lần lượt là trung điểm CD, BE 
0,25
0,25
Mà ACE đều) (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều.
0,25
c
1,5
Hai tam giác ADF và BIF có (đối đỉnh) và (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau ở câu a)
0,5
Trên ID lấy K sao cho IK=IB, mà đều
0,25
Ta có ; DB=AB
0,5
(hai cạnh tương ứng)
Khi đó: IA+IB+IC=KD+IK+IC=CD
0,25
2.
1,0
Do Đặt 
0,25
Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ tam giác AMD vuông cân tại A; 
Xét Tam giác AMC và tam giác ADB có:
; AB =AC (gt); (cùng phụ góc )
0,25
vuông tại M (Định lý py-ta-go đảo)
0,25
0,25
Lưu ý:
- Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4.
- Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.