Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm). 
	a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì không chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho là một số chính phương.
Câu 2 (5,0 điểm)
 	a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (3,0 điểm). 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 4 (4,5 điểm)
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = 
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K(O).
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Bảng B
-------------------------------------------
Câu:
Nội dung
1.
a,
(2,5)
*) Nếu 
nên (1)
*) Nếu 
	 (2)
Từ (1) và (2) thì 
b, (2,5)
Đặt 
	 =17.1
Do m + n > m - n
Vậy với n = 8 ta có 
2.
a, (2.5)
 Giải phương trình (1)
Điều kiện: 
(1) 
	 thỏa mãn điều kiện 
b,
(2.5)
(1)
Giải hệ phương trình
(2)
Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 
Ta có:
hoặc x = 3 
*) 
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)
*) 	 (*)
Vì phương trình vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
3.
Tìmgiá trị nhỏ nhất của 
Ta có: 
Dấu "=" xảy ra 
Vậy khi x = -2
4.
a, (2,5)
Gọi I là giao điểm của AH và BC Þ AI ^ BC
S
Ta có: DBHI	 DBCE (g, g)
	 (1)
S
Ta có: DCHI DCBF (g, g)
	 (2)
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2
b, (2,0)
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra 
Mà (do tứ giác AFIC nội tiếp)
	Þ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) Þ K Î (O)
5.
+ Khi .
	 F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính.
	 EF đi qua điểm O cố định.
+ Khi 900.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. 
	 (cùng bù )
	 (Do I và K đối xứng qua EF)
	 nội tiếp
	 (cung chắn ) (1) 
	 (Do K và I đối xứng qua EF) (2)
	 (cùng phụ ) (3)
Từ (1), (2), (3) 
	 AKBI là tứ giác nội tiếp
	Mà EF là đường trung trực của KI E, O, F thẳng hàng.
+ Khi > 900 < 900 chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định.
- - - Hết - - -