Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
 ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán: Lớp 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: (5,0 điểm) 
Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để .
c) So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm) 
a) Tìm thỏa mãn: 
b) Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm) 
Giải phương trình sau: 
Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.
Chứng minh: CM vuông góc với EF. 
Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD
Bài 5: (1,0 điểm) 
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
-------------- Hết------------
Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Bài
Câu
Nội dung
Điểm
1
a
Điều kiện: x 0, x 1.
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m) 
Vậy P = khi x = 4 
0,5
1,0
0,25
0,25
c
Vì 
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2 2P
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a
Vì x, yZ nên x - 1Ư(-1) =
+) Nếu x – 1 = 1x = 2 
Khi đó 2y2 - y – 2 = - 1 
y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)
+) Nếu x – 1 = -1 x = 0 
Khi đó 2y2 - y = 1 
y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)
Vậy 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
b
 Từ giả thiết 
Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0
Vậy với a, b, c 
Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 
mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
3
a
Đkxđ: 
Vì với 
10x – 20 
Ta có: 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
b
x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0
* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0
Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0
Amax = - 1 khi x = -2; y = 0
0,5
0,5
0,5
0,5
4
a
Ta có: (cùng phụ với )
Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) 
CE = CF
ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM EF
1,0
1,0
b
* Vì EDC = FBC ED = FB
NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
BC2 = NB.BFa2 = NB.DE (đpcm)
*CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên 
AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên 
CM = AM M thuộc đường trung trực của AC.
Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC
B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).
0,5
0,5
0,5
0,5
c
Đặt DE = x (x > 0) Þ BF = x 	
SACFE = SACF + SAEF = 	
SACFE = 3.SABCD 
Do x > 0; a > 0 Þ 3a + x > 0 x = 2a
A là trung điểm của DE AE = a
Vì AE //BC nên 
N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
5
* Vì a, b, c > 0 nên .
Tương tự: 
 (1)
* Ta có: 
Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
Tương tự: 
Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b + c; b = c + a; c = a +b
tức là a = b = c (vô lý).
 (2) 
Từ (1) (2) ta có đpcm.
0,5
 0,5