Đề thi học sinh giỏi toán cấp huyện - Năm học 2008-2009 (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG	 
 KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI VÒNG II 
	 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau.
	Chứng minh rằng bằng bình phương của một số hữu tỷ.
Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z.
Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 
Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm.
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200. Trên AC lấy điểm E sao cho góc EBC = 200. cho AB = AC = b, BC = a
Tính CE.
Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2.
----------------------------------------
Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2
Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009
Bài 1: (2 điểm) 
	 =
= 	(1đ)
	 	(0.5đ)
= 	 	(0.5đ)
Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*)
 5x ( 1+ 2.5y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 . 33 . 53 	(0.5đ)
 5x = 53 ; 1+ 2.5y-x + 5z-x = 36 = 1 + 35	(0.5đ)
 x = 3 ; 5y - x ( 2 + 5 z-y ) = 5 . 7	(0.25đ)
 x = 3 ; y – 3 = 1 ; 2 + 5 z-y = 7 = 2 + 5	(0.25đ)
 x = 3 ; y = 4 ; z – y = 1	(0.25đ)
 x = 3 ; y = 4 ; z = 5 thoả (*)	(0.25đ)
Bài 3: (2 điểm) 
A = 	= 	(0.5đ)
= 	(0.5đ)
= 	(0.5đ)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi 	(0.5đ)
Bài 4: (2 điểm) 
	Gọi số cần tìm là . Ta có:	 và 	(0.25đ)
	(0.5đ)
	Từ mà do mà (0.5đ)
	Ta có 	Vậy 	 (0.5đ)
Bài 5: (2 điểm) 
A
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng 200 và góc đáy bằng 800) nên 	(0.5đ)	
Và BE = BC = a, suy ra CE = 	(0.5đ)	
b) Dựng AD BE, suy ra BD = AB = b
 ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 do đó 
	AB2 = BD2 + EA2 - DE2 	(0.5đ)	
E
D
Thay vào ta được:	
B
C
	 = 
	(0.5đ)