Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 13: Sử dụng công thức diện tích để thiết lập quan hệ độ dài của các đoạn thẳng

CHUYÊN ĐỀ 13 – SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG
A. Một số kiến thức:
1. Công thức tính diện tích tam giác: 
 S = a.h (a – độ dài một cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng)
2. Một số tính chất:
Hai tam giác có chung một cạnh, có cùng độ dài đường cao thì có cùng diện tích
Hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích
B. Một số bài toán:
1. Bài 1:
Cho ABC có AC = 6cm; AB = 4 cm; các đường cao AH; BK; CI. Biết AH = 
Tính BC
Giải
Ta có: BK = ; CI = 
 BK + CI = 2. SABC 
 2AH = 2.. BC. AH . BC. = 2 
 BC = 2 : = 2 : = 4,8 cm
Bài 2:
Cho ABC có độ dài các cạnh là a, b, c; độ dài các đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Biết rằng a + ha = b + hb = c + hc . Chứng minh rằng ABC là tam giác đều
Giải
Gọi SABC = S
Ta xét a + ha = b + hb a – b = ha – hb = 
 a – b = (a – b) = 0 ABC cân ở C hoặc vuông ở C (1)
Tương tự ta có: ABC cân ở A hoặc vuông ở A (2); ABC cân ở B hoặc vuông ở B (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra ABC cân hoặc vuông ở ba đỉnh (Không xẩy ra vuông tại ba đỉnh) ABC là tam giác đều
Bài 3:
Cho điểm O nằm trong tam giác ABC, các tia AO, BO, Co cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
a) b) 
c) M = . Tìm vị trí của O để tổng M có giá trị nhỏ nhất
d) N = . Tìm vị trí của O để tích N có giá trị nhỏ nhất
Giải
Gọi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB . Ta có:
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Tương tự ta có ; ; ; 
a) 
b) 
c) M = 
Aùp dụng Bđt Cô si ta có 
Đẳng thức xẩy ra khi S1 = S2 = S3 O là trọng tâm của tam giác ABC
d) N = 
 N2 = N 8
Đẳng thức xẩy ra khi S1 = S2 = S3 O là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 4:
Cho tam giác đều ABC, các đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của M
(nằm bên trong tam giác ABC) trên AD, BE, CF. Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí trong tam giác ABC thì:
a) A’D + B’E + C’F không đổi
b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi
Giải
Gọi h = AH là chiều cao của tam giác ABC thì h không đổi
Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh AB; BC; CA là MP; MQ; MR thì A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP
Vì M nằm trong tam giác ABC nên SBMC + SCMA + SBMA = SABC 
 BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH MQ + MR + MP = AH 
 A’D + B’E + C’F = AH = h
Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi
b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F)
 = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h không đổi
Bài 5: 
Cho tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của AC và AB; Gọi I là giao điểm của các phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: IG // BC
Giải
Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC lần lượt là AH, IK, GD
Vì I là giap điểm của ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA bằng nhau và bằng IK
Vì I nằm trong tam giác ABC nên:
SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)
Mà BC = AB + CA = 2 BC (2)
Thay (2) vào (1) ta có: BC. AH = IK. 3BC IK = AH (a)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b)
Từ (a) và (b) suy ra IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC bằng nhau nên IG // BC
Bài tập về nhà:
1) Cho C là điểm thuộc tia phân giác của , M là điểm bất kỳ nằm trên đường vuông góc với OC tại C và thuộc miền trong của , gọi MA, MB thứ tự là khoảng cách từ M đến Ox, Oy. Tính độ dài OC theo MA, MB
2) Cho M là điểm nằm trong tam giác đều ABC. A’, B’, C’ là hình chiếu của M trên các cạnh BC, AC, AB. Các đường thẳng vuông góc với BC tại C, vuông góc với CA tại A , vuông góc với AB tại B cắt nhau ở D, E, F. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEF là tam giác đều
b) AB’ + BC’ + CA’ không phụ thuộc vị trí của M trong tam giác ABC