Các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

CHUYÊN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, 
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên
Xét biểu thức 
+) Ta nói có giá trị lớn nhất là M, nếu
 và có giá trị x0 sao cho (Chỉ ra 1 giá trị là được) 
+) Ta nói có giá trị nhỏ nhất là m, nếu
 và có giá trị x0 sao cho (Chỉ ra 1 giá trị là được)
Như vậy :
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần :
- Chứng minh với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần :
- Chứng minh với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A
Ví dụ: Sai lầm
 ( Không chỉ ra được dấu = )
Đáp án đúng là : 
B. Các dạng toán
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai 
Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. b. c.
Lời giải
a. 
b. 
c. 
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. 	 b. 
Lời giải
a. 
b. 
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2
Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. b. 	
c. d. 	 
e. 	 f. 	
g. 	
Lời giải
a. 
b. 
c. 
d. 
e. Ta có :f. 
g. 
Dạng 3 : Đa thức có từ 2 biến trở lên
Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng 
- Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức như sau
 hoặc 
Trong đó là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với 
Ta có 
Vậy có (2) với 
+) Nếu 
+) Nếu 
+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất
+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất
Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho
Trong cả hai trường hợp trên:
- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm
- Nếu hoặc thì không có nào thảo mãn F(x; y) = 0 
+) Nếu phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải được các bài toán khác
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a. 	b. 	
Lời giải
a) Ta có 
Vậy 
b) 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a. b. 	
c. d. e. 	 
 f. 
g. 
h. 	 
Lời giải
a. Ta có :b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. Ta có :h.Ta có : 
Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. b. 
Lời giải
a. Ta có:
b. Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. 
 b. 
Lời giải
a. 
b. 
Bài 5: Tìm GTLN của 
Lời giải
Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ] .
 Tìm GTNN của 
Lời giải
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm GTNN của: 
Hướng dẫn
Bài 2: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 3: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 4: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 5: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 6: Tìm max của: 
Hướng dẫn
Bài 7: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 8: Tìm max của: 
Hướng dẫn
Bài 9: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 10: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 11: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 12: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 13: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 14: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 15: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 16: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 17: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 18: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 19: Tìm max của: 
Hướng dẫn
Bài 20: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 21: Tìm GTNN của 
Hướng dẫn
Ta có: 
Bài 22: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:
Hướng dẫn
Bài 24: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 25: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 26: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 27: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 28: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : 
Hướng dẫn
Bài 30: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Bài 31: Tìm min của: 
Hướng dẫn
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến
Phương pháp : 
- Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức.
- Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế.
- Sử dụng thêm một số bất đẳng thức phụ :
+ ( Dấu = khi a = b, với a, b không âm)
+ ( Dấu “=” khi a = b)
+ ( Dấu “=” khi a = 1)
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. 	 b. 
c. 	 d. 
Lời giải
a. 
Có : Dấu bằng xảy ra 
b. Có c. 
d. Ta có :
Bài 2: [ HSG – BG – 2011 ]
Cho a + b = 1. Tìm GTNN của 
Lời giải
Có a + b = 1 
Bài 3: [ HSG – HN – 2006 - 2007 ]
Cho các số thực x, y thỏa mãn: x + y = 2. Tìm GTNN của 
Lời giải
Theo giả thiết Bài 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn : x + y + 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
Lời giải
Ta có : 
Bài 5: [ HSG – HN – 1996 - 1997 ]
Cho các số thực x, y thỏa mãn: . Tìm GTLN, GTNN của 
Lời giải
Ta có: 
Vậy GTLN của P = -2 
Mặt khác: 
Vậy GTNN của P = 
Bài 6: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: . Tìm GTLN của biểu thức
Lời giải
Từ giả thiết: 
Bài 7: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 6. Tìm GTLN của 
Lời giải
Từ giả thiết 
Bài 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Lời giải
Từ giả thiết 
+) 
+) 
Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của , với a, b, là hai số thực khác 0 và 
Lời giải
Ta có:
Ta lại có: 
Vậy GTNN của S = 2007 
Bài 10: [ Tuyển sinh vào 10 – TH – 2009 – 2010 ]
Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: . Tìm GTNN, GTLN của 
Lời giải
Theo giả thiết có: 
+) 
+) 
Bài 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : . Tìm GTLN, GTNN 
Lời giải
Từ 
+) 
+) 
Bài 12: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn : 
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
Lời giải
+) 
+) 
Bài 13: Cho x + y = z = 3 ; 
a. Chứng minh 	 b. Tìm GTNN của A
c. Tìm GTLN của B	 d. Tìm GTNN của A + B 
Lời giải
a. Xét 
b. Ta có :
c. 
d. Có: 
Bài 14: Cho thỏa mãn: . Tìm GTLN của 
Lời giải
Với , ta có: 
Áp dụng : 
Bài 15: Cho thỏa mãn . Tìm GTLN của 
Lời giải
Ta có : 
Dấu ‘ = ’’ xảy ra 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm min của: biết 
Hướng dẫn
Từ 
Bài 2: Tìm min của: biết 
Hướng dẫn
Ta có 
Bài 3: Tìm min của: biết: a – b =1
Hướng dẫn
Ta có:
 =
Bài 4: Tìm max của: biết: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có: , thay vào 
Bài 5: Tìm min của: biết: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết => thay vào C ta được: 
Bài 6: Tìm min của: biết: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra thay vào 
Bài 7: Tìm min của: biết: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra thay vào E và làm tiếp
Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của 
Hướng dẫn
Ta có: 
Do 
Khi đó: , dấu = xày ra khi 
Bài 9: Tìm min của: , biết: a + b = 1 và a,b > 0
Hướng dẫn
Cách 1:
Ta có: =
Cách 2:
Ta có: 
	(1) 
Mà thay vào (1) ta được: 
Lại có: 
Dấu = khi và chỉ khi 
Bài 10: Cho x, y thỏa mãn: , tìm Max của: A= x.y
Hướng dẫn
 Từ giả thiết ta có : =>
 =>
Bài 11: Cho hai số thực a,b 0, thỏa mãn: , Tìm min, max của: 
Hướng dẫn
 Từ giả thiết ta có : 
=>
Mặt khác : 
=>=>
Bài 12: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: , Tìm min, max của: 
Hướng dẫn
 Từ gt ta có : 
 =>
 	Mặt khác : 
 =>
Bài 13: Cho x, y R khác 0 biết: , Tìm x, y để đạt min và đạt max
Hướng dẫn
Ta có : 
4 =
Mặt khác : 
Bài 14: Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1, Tìm min của: 
Hướng dẫn
Ta có : 
Vì x + y = 1 nên , thay vào A
, Đặt xy = t khi đó: 
Bài 15: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: Tìm min của biểu thức: 
Hướng dẫn
Ta có : 
Do Thay vào C ta được :
 , Dấu = xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Bài 16: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: x + 2y = 3 tìm min của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có: thay vào 
Bài 17: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn: , Tìm min và max của: 
Hướng dẫn
Ta có : 
 hay
Mặt khác : 
 => 
Hay 
Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có : thay vào A ta được : 
Bài 19: Cho các số thực x, y thỏa mãn: , Tìm max của: 
Hướng dẫn
Ta có: , nên , 
 thay vào 
Bài 20: Cho x, y, z R, thỏa mãn: , tìm max của: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết thay vào A ta được :
Bài 21: Cho x, y, z R thỏa mãn: . Tìm max của: 
Hướng dẫn
Từ gt => thay vào 
Bài 22: Cho x,y R thỏa mãn: . Tìm min và max của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có: 
Bài 23: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: . Tìm min, max của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có : 
=>
=>=>
Bài 24: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: , Tìm min, max của: 
Hướng dẫn
Ta có : , nên ta nhân 6 vào gt :
=>
Bài 25: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: , 
Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có : 
=>
=>=>
Bài 26: Cho x, y, z thỏa mãn: , Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ gt => thay vào =
Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có: =>
Bài 28: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của 
Hướng dẫn
Từ gt => thay vào 
Bài 29: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có : thay vào 
Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , tìm min của: 
Hướng dẫn
Từ x + y = -2, ta có: thay vào và y = - 2 - x thay vào 
Bài 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: , Tìm min của
Hướng dẫn
Từ x + y = - 2, ta có: 
, , Thay vào b ta được : 
, thay 
Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: , Tìm max của: 
Hướng dẫn
Vì nên và thay vào
Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x + y = 5, Tìm max của: 
Hướng dẫn
Vì x + y = 5 nên , , 
Bài 34: Cho hai số x, y thỏa mãn: , Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra: 
=>=>
Bài 35: Cho các số thực x, y thỏa mãn: , Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra: =>
Bài 36: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có: 
=>
=>
Bài 37: Cho các số x, y, z thỏa mãn: . Tìm min max của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có: =>khi đó :
Bài 38: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1, Tìm max của: 
Hướng dẫn
Từ gt => thay vào 
Bài 39: Cho x, y R, thỏa mãn: x + 2y = 1, Tìm max của: P = x. y
Hướng dẫn
Từ gt => thay vào 
Bài 40: Cho x, y 0, x + y = 1, Tìm min, max của: 
Hướng dẫn
Từ gt => thay vào 
Bài 41: Tìm min max của: , biết: 
Hướng dẫn
Từ gt =>
=>
=>
Bài 42: Cho , Tìm min, max của: 
Hướng dẫn
Từ gt =>
=>=>
Bài 43: Cho a, b, c không âm thỏa mãn: 3a + 2c = 51 và c + 5b = 21.
Tìm max của A = a + b + c
Hướng dẫn
Cộng theo vế giả thiết ta được : 
Do 
Bài 44: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: 2a + b = 6 - 3c và 3a + 4b = 3c + 4. 
Tìm min 
Hướng dẫn
Cộng theo vế ta được : do 
Khi đó: 
Bài 45: Cho , Tìm GTLN của biểu thức 
Hướng dẫn
Cộng theo vế của gt ta có: do 
nên 
Bài 46: Cho ,Tìm max của: 
Hướng dẫn
Ta có: 
, Max 
Bài 47: Cho x, y thỏa mãn: , Tìm min của: 
Hướng dẫn
Từ gt ta có : hoặc 
TH1: Ta có : thay vào P
TH2: ta có: thay vào P 
Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : , Tìm GTLN của :
Hướng dẫn
Ta có : 
== 
Bài 49: Cho , tìm Min hoặc max của biểu thức : 
Hướng dẫn
Ta có : 
Dạng 5: Phương pháp đổi biến số
Phương pháp:
- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
- Sử dụng các hằng đẳng thức . 
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
Đặt 
Bài 2: Tìm GTNN của 
Lời giải
Đặt 
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
Bài 4: Tìm GTNN của:
Lời giải
, đặt , khi đó:
, dấu “ = ” khi 
Vậy Min A = - 36 khi x = 1 hoặc x = 6 
Bài 5: Tìm GTNN của: 
Lời giải
 , Đặt . Khi đó:
 , Dấu “ = “ khi 
Bài 6: Tìm min của: 
Lời giải
 , Đặt . Khi đó: 
 , Dấu “ = ” Khi đó:
Bài 7: Tìm GTNN của: 
Lời giải
 , Đặt , Khi đó:
 , Dấu “ = “ khi 
Bài 8: Tìm GTNN của: 
Lời giải
Đặt . Khi đó: 
Dấu “ = “ xảy ra khi: 
Bài 9: Tìm GTNN của : 
Lời giải
 , Đặt . Khi đó:
 , Dấu “ = ” khi 
Bài 10: Tìm GTNN của: 
Lời giải
 , Đặt , Khi đó:
 , Dấu “ = “ khi:
Bài 11: Tìm min của: 
Lời giải
, Đặt 
Khi đó: 
Bài 12: Tìm max của: 
Lời giải
 , đặt . 
Khi đó:
Dấu “ = “ Khi 
Bài 13: Tìm GTNN của: 
Lời giải
 , Đặt . 
Khi đó: , Dấu “ = ” khi 
Bài 14: Tìm min của:
Lời giải
 , Đặt 
Khi đó: , Dấu “= “ xảy ra khi:
Bài 15: Tìm GTNN của: 
Lời giải
Bài 16: Tìm GTNN của: 
Lời giải
Đặt: 
Bài 17: Tìm max của: 
Lời giải
Đặt 
Bài 18: Tìm min của: 
Lời giải
Đặt 
Bài 19: Tìm min của: 
Lời giải
Bài 20: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: 
Lời giải
 , Đặt , Khi đó:
Dạng 6 : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
a. Định nghĩa: 
b. Tính chất
+) 
+) 
+) 
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. b. 
c. 	 d. 
e. 
Lời giải
a. 
b. 
Ta có : 
Mà : 
c. 
Ta có : 
d. 
Áp dụng bất đẳng thức 
Ta có : 
e. Ta có :
Bài 2: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. 	 b. 
Lời giải
a. 
Dấu ‘ = ’ 
b. 
Bài 3: Cho số thực x. Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. 	 b. 
Lời giải
a. 
Áp dụng bất đẳng thức : 
b. 
Vì 
Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x. Tìm GTNN của 
Lời giải
Đặt 
Bài 5: Cho số thực x. Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. 	 
b. 
Lời giải
a. Đặt 
b. Đặt 
Bài 6: (HSG Tỉnh Sóc Trăng năm 2014 – 2015) 
Tìm GTNN của 	 
Lời giải
Ta có 
Lại có : 
Mà 
Vậy 
Bài 7: (HSG Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) 
Tìm GTNN của 
Lời giải
Ta có 
Lại có 
Vậy 
Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của 
Lời giải
- Trường hợp 
Ta có 
- Trường hợp 
Ta có: 
Lại có 
Bài 9: (HSG Tỉnh Yên Bái năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của 
Lời giải
Ta có 
Mặt khác 
Lại có 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015) 
 Tìm GTNN của 
Lời giải
	 Ta có 
Bài 2: Tìm GTNN của 
Lời giải
Ta có 
Bài 3: Tìm GTNN của 
Lời giải
Ta có hay 
Bài 4: Tìm GTNN của 
Lời giải
Ta có hay 
Bài 5: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của 
Lời giải
Ta có hay 
Bài 6: (Chuyên Toán Quảng Trị năm 2015 – 2016) Tìm GTNN của 
Lời giải
Ta có hay 
Dạng 7: Dạng phân thức
A. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất
Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau
a) b) 
c) 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
+) 
+) 
Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức sau
a) 	b) 	 c) 
Lời giải
a) Ta có thể viết: 
Vì 
Vậy GTLN của tại 
b) Ta có:
c) 
+) 
Vì 
Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức sau
a) 	b) 	
Lời giải
a) 
b) 
Bài 4: Tìm min của: 
Lời giải
Ta có : , Dấu “ = “ khi x=2
Bài 5: Tìm max của: 
Lời giải
Ta có : , dấu “ = ’’ khi 
Bài 6: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : 
Bài 7: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : 
Bài 8: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : 
B. Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức
Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
Ta đưa về dạng: 
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. b. 
c. d. 
e. f. 
Lời giải
a. 
Cách khác: 
Đặt 
b. 
c. Đặt khi đó:
d. 
Vì 
e. 
Ta có: 
Lời giải ngắn gọn hơn
Cách khác: 
f. 
Do 
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. b. 
c. d. 
Lời giải
a. 
Có: 
b. 
Đặt 
c. 
d. . Đặt 
Bài 3: Tìm GTNN, GTLN của 
Lời giải
Điều kiện 
+) 
+) 
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
+) 
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Vì 
Bài 7: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
, đặt 
Bài 8: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt 
 , 
Đặt : 
Bài 9: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt , khi đó:
, đặt 
Bài 10: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt , đặt 
Bài 11: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt , Đặt 
Bài 12: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : , Đặt 
Bài 13: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : , đặt 
Bài 14: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt , Đặt 
Bài 15: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 ,Đặt 
 , Đặt 
Bài 16: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , Đặt 
Bài 17: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , Đặt 
C. Tìm GTLN, GTNN của phân thức có dạng khác
Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
1. Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. b. 
c. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
Bài 2: Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau
a. [ HSG – Thanh Chương – 2011] b. 
c. d. 
e. 
Lời giải
a. [ HSG – Thanh Chương – 2011] 
+) 
Cách khác:
Nháp để nhẩm GTLN và GTNN nếu có :
, 
Xét 
Khi đó ta có : , Dấu = khi 
Mặt khác : , Dấu = khí 
b. 
+) 
+) 
c. 
+) 
d. 
+) 
e. 
+) 
Bài 3: [ HSG – Yên Phong – 14/04/2014 ]
Tìm GTLN của biểu thức 
Lời giải
Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ] 
Tìm GTNN của các biểu thức sau 
Lời giải
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức sau 
Lời giải
Ta có: 
Bài 6: Tìm GTLN của biểu thức sau 
Lời giải
Ta có: 
Vì nên chia cả tử và mẫu cho ta được: 
Vì 
Bài 7: Tìm GTLN của biểu thức sau 
Lời giải
+) Xét giá trị này không phải giá trị lớn nhất của A vì với 
+) Xét đặt 
Ta có 
Bài 8: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : 
Có 
Khi đó ta có : 
Mặt khác : 
Bài 9: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : 
Có 
Khi đó : 
Mặt khác : 
Bài 10: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : , có 
Khi đó : 
Mặt khác : 
Bài 11: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , Đặt 
Bài 12: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : , có 
Khi đó : 
Mặt khác : 
Bài 13: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : , có :
Khi đó : 
Mặt khác : 
Bài 14: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : 
Bài 15: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : 
Bài 16: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được: , Đặt 
Sau đó sử dụng co si là ra.
Bài 17: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : 
Bài 18: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : , có 
Khi đó ; 
Mặt khác : 
Bài 19: Tìm min hoặc max của:
Lời giải
Ta có : 
Bài 20: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt , khi đó 
Đặt 
Bài 21: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : , mà 
Bài 22: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : Đặt 
Khi đó : , Không xảy ra dấu bằng
Mặt khác : 
Bài 23: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt 
Khi đó : , đặt 
Bài 24: Tìm min 
Lời giải
Nháp : , có 
Khi đó : 
Mặt khác : 
Bài 25: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : 
Nháp : , có : 
Bài 26: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : , có 
Bài 27: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : , 
Có 
Bài 28: Tìm GTLN của biểu thức: , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x
Lời giải
Ta có :=
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức: 
Lời giải
Ta có : 
Đặt , ta có: 
Bài 30: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
Do , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0
2. Bậc của tử bằng bậc của mẫu
Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau
a. b. 
c. d. 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
d. 
Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. b. 
Lời giải
a. 
b. 
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau
a. b. 
Lời giải
a. 
+) 
b. 	
+) Với 
Ta lại có: 
Bài 4: Tìm GTLN của 
Lời giải
Bài 5: Tìm GTLN của biểu thức sau 
Lời giải
Ta có: 
Bài 6: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
, Nháp : , có 
Khi đó : 
Mặt khác : 
Bài 7: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , Nháp : , có : 
Khi đó ta có : 
Mặt khác : 
Bài 8: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : , mà 
Bài 9: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : ,
Mà 
Bài 10: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : ,
Nháp : 
Có 
Làm tương tự như các bài trên .
Bài 11: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : , Đặt , khi đó ta có :
 , Đặt 
Bài 12: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , Đặt 
Bài 13: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : 
Nháp : , có :
, 
Bài 14: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , đặt 
Bài 15: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : , mà 
Bài 16: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Thực hiện phép tính ta được : , 
Đặt 
Bài 17: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , mà 
Bài 18: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Nháp : , có 
Bài 19: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Với y = 0 ta được H = 2
Với y ≠ 0. Chia cá tử và mẫu cho ta được: 
 , đặt 
Nháp : , 
Có : , làm giống các bài trên
Bài 20: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Ta có : 
Nháp : , có 
Khi đó : 
Mặt khác : 
Bài 21: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Chia cả tử và mẫu cho ta được: , đặt 
Nháp : , có : 
=>
Bài 22: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Chia cả tử và mẫu cho ta được: , Đặt 
Nháp : , 
Có 
Bài 23: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Bài 24: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Chia cả tử và mẫu cho ta được: , Đặt 
Bài 25: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Chia cả tử và mấu cho ta được: , Đặt 
Bài 26: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt , khi đó : , 
Đặt 
Bài 27: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Đặt , Khi đó : 
Đặt 
Bài 28: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Hạ phép chia ta được : 
Bài 29: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Chia cả tử và mẫu cho ta được: , Đặt 
Nháp: ,
có : 
Bài 30: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , Đặt 
Đặt 
Bài 31: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , đặt 
Đặt 
Bài 32: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Với y = 0 thì M = 
Với y ≠ 0 chia cả tử và mẫu cho ta được: , 
Đặt 
Nháp , có : 
Bài 33: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Chia cả tử và mấu cho ta được: , Đặt 
, Đặt 
Đặt 
Bài 34: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Chia cả tử và mẫu cho ta được: , Đặt 
Nháp: , có 
Bài 35: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
 , Đặt Khi đó : 
Đặt 
Bài 36: Tìm min hoặc max của: 
Lời giải
Với y = 0 thì R = 1
Với y ≠ 0. Chia cả tử và mẫu cho ta được: , 
Đặt 
Nháp : , có