Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chủ đề 12: Phép trừ các phân thức đại số

 CHỦ ĐỀ 12: PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.
A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1) Phân thức đối:
 - Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
 A A A A
 - Công thức: và .
 B B B B
2) Phép trừ:
 - Quy tắc: Muốn trừ phân thức A cho phân thức C , ta cộng A với phân thức đối của C
 B D B D
 A C A C
 - Công thức: 
 B D B D
B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Làm tính trừ các phân thức:
 3x 2 7x 4 3x 5 5 15x
 a) ; b) ;
 2xy 2xy 4x3 y 4x3 y
 4x 7 3x 6 9x 5 5x 7
 c) ; d) ;
 2x 2 2x 2 2(x 1)(x 3)2 2(x 1)(x 3)2
 xy x2 5x y2 5y x2
 e) ; f) ;
 x2 y2 y2 x2 x2 y xy2
 x x x 9 3
 g) ; h) ;
 5x 5 10x 10 x2 9 x2 3x
 3 x 6 x4 3x2 2
 i) ; j) x2 1 ;
 2x 6 2x2 6x x2 1
 x 1 1 x 2x(1 x) 3x 1 1 x 3
 k) ; l) ;
 x 3 x 3 9 x2 (x 1)2 x 1 1 x2
 5 4 3x2 3x 2 6 3x 2
 n) 3 ; m) .
 2x2 6x x2 9 x2 2x 1 x2 1 x2 2x 1
Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết
 A C E A C E
 .
 B D F B D F
 Áp dụng điều này để làm các phép tính sau: 1 1 3x 6 18 3 x
 a) ; b) .
 3x 2 3x 2 4 9x2 (x 3)(x2 9) x2 6x 9 x2 9
Bài 3. Rút gọn các biểu thức :
 3x2 5x 1 1 x 3 1 x2 2
 a) ; b) 1 ;
 x3 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x3 1
 7 x 36
 c) .
 x x 6 x2 6x
Bài 4. Thực hiện phép tính:
 1 2 3
 a) ;
 (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 1)
 1 1 1
 b) A .
 a(a b)(a c) b(b a)(b c) (a c)(c b)
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức:
 1 x2 2
 a) A = 1 với x = 99;
 x2 x 1 x3 1
 2x 1 1 2x 2 1
 b) B = với x = .
 4x 2 4x 2 1 4x2 4
C/ CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO
Bài 6. Rút gọn các biểu thức :
 a a a 1
 a) A = ;
 x(x a) (x a)(x 2a) (x 2a)(x 3a) x 3a
 1 1 1 1
 b) B = ... ;
 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)
 HD: 
 3 3 3 3
b) Thực hiện nhân hai vế với 3 ta được 3.B = ... 
 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)
 3 1 1
 Từ đó ta có 
 (3n 2)(3n 5) 3n 2 3n 5
 3 1 1 3 1 1 3 1 1
 Xét từng số hạng cụ thể : ; ; ..; 
 2.5 2 5 5.8 5 8 (3n 2)(3n 5) 3n 2 3n 5
 3 3 3 3 1 1 3n 5 2 3(n 1)
 ... = 
 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) 2 3n 5 2(3n 5) 2(3n 5) 3(n 1) n 1
 Hay 3.B = B 
 2(3n 5) 2(3n 5)
 1 1 1 1
c) C = ... .
 1.2 2.3 3.4 n(n 1)
 HD : Thực hiện như phần trên
Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z.
 x z x y y z
 .
 (x y)(y z) (x z)(y z) (x y)(x z)
Bài 8. Thực hiện phép tính :
 1 1 1
 a) A ;
 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
 1 1 1
 b) B ;
 a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b)
 bc ac ab
 c) C ;
 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
 a2 b2 c2
 d) D ;
 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho:
 1 ax b c
 a) ;
 (x2 1)(x 1) x2 1 x 1
 1 1 1
 Đáp số: Dùng phương pháp đồng nhất ta được a = , c = , b = .
 2 2 2
 1 a b c
 b) ;
 x(x 1)(x 2) x x 1 x 2
 1 1
 ĐS : a ;b 1;c 
 2 2
 1 a b c
 c) . 
 (x 1)2 (x 2) x 1 (x 1)2 x 2
 ĐS: a = -1; b = 1; c = 1)
Bài 10. Cho abc = 1 (1)
 1 1 1
 a b c (2)
 a b c
 Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1. HD
 bc ac ab
 Từ (2) : a b c 
 abc
 Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca (3)
 Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
 Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
 = (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
 Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 
bằng 0, do đó tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1.
 x 2x 3y
Bài 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức : A = .
 y 2 x 6
 3y 6 2x (x 6)
 HD : A = 3 1 4 .
 y 2 x 6
 x2 y2 z2 x2 y2 z2
Bài 12. Tìm x, y, z biết : .
 2 3 4 5
 HD: 
 x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 y2 z2 z2 
 Từ suy ra : 0
 2 3 4 5 2 5 3 5 4 5 
 3 2 1
 x2 y2 z2 0 x y z 0.
 10 15 20
 1 1
Bài 13. Tìm x, y biết: x2 y2 4 .
 x2 y2
 HD
 2 2
 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 
 Ta có x 2 y 2 4 x 2 2 y 2 2 0 x y 0
 x y x y x y 
 1
 x 
 x x2 1
 => Có bốn đáp số như sau:
 1 2
 y y 1
 y
 x 1 1 -1 -1
 y 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1
Bài 14. Cho biết : 2 (1), 2 (2). Chứng minh rằng a + b + c = abc.
 a b c a2 b2 c2
 HD
 1 1 1 1 1 1 
 Từ (1) suy ra : 2 2 2 2 4
 a b c ab ac bc 
 1 1 1 a b c
 Do (2) nên : 1 1 a b c abc
 ab ac bc abc
 x y z a b c a2 b2 c2
Bài 15. Cho 0 (1) , 2 (2). Tính giá trị biểu thức: .
 a b c x y z x2 y2 z2
 HD
 Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3)
 a2 b2 c2 ab ac bc 
 Từ (2) suy ra : 2 2 2 2 4
 x y z xy xz yz 
 a2 b2 c2 abz acy bcx
 Do đó : 4 2 4
 x2 y2 z2 xyz
 1 1 1 3
Bài 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. CMR: .
 a3 b3 c3 abc
 HD
 Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0.
 ab bc ca 1 1 1
 Do đó : 0 0
 abc a b c
 Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz.
 a b c b c a
Bài 17. Cho . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
 b c a a b c
 HD
 Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a2 (c b) a(c2 b2 ) bc(c b) 0
 (c b)(a2 ac ab bc) 0 (c b)(a b)(a c) 0
 Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai 
số bằng nhau.
Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên :
 2x3 6x2 x 8 5
 a) A ;ĐS : A 2x2 1 x 2;2;4;8
 x 3 x 3 x4 2x3 3x2 8x 1 3
 b) B ; ĐS : B x2 4 x 0;2
 x2 2x 1 (x 1)2
 x4 3x3 2x2 6x 2 2
 c) C . ĐS : C x2 3x x 0
 x2 2 x2 2
 1 1 2 4 8
Bài 19. Rút gọn biểu thức : A 
 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8
 HD
 Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một :
 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8
 A 
 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x4 1 x4 1 x8
 8 8 16
 = 
 1 x8 1 x8 1 x16
 Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Bài 20. Rút gọn biểu thức :
 3 5 2n 1
 B = ... 
 (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2
 HD 
 Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp, ta 
 2k 1 (k 1)2 k 2 1 1
được : 
 k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2
 1 1 1 1 1 1 1 n(n 2)
 Do đó B = ... 1 
 12 22 22 32 n2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2