Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chủ đề 4: Chia đơn thức, đa thức

 CHỦ ĐỀ 4: CHIA ĐƠN THỨC, ĐA THỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Chia đơn thức cho đơn thức
 * Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau :
 + Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
 + Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa cùng biến đó trong B.
 + Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
 * Với mọi x ≠ 0, m, n ∈ N ta có :
 xm : xn = xm-n (nếu m > n)
 xm : xn = 1 (nếu m = n)
 (xm)n = xm.n
 x0 = 1 ; 1n = 1
 (-x)n = xn nếu n là một số chẵn
 (-x)n = -xn nếu n là số lẻ
 (x – y)2 = (y – x)2
 (x – y)n = (y – x)n với n là số chẵn
2. Chia đa thức cho đơn thức
 Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết 
cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
3. Định lý Bezout
 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a)
 Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài toán 1 : Thực hiện phép tính chia đơn thức cho đơn thức.
 a) 10x3y2z : (-4xy2z) f) (−35xy5z) : (−12xy4)
 b) 32x2y3z4 : 14y2z g) x3y4 : x3y
 c) 25x4y5z3 : (-3xy2z) h) 18x2y2z : 6xyz d) 5x3y2z : (-2xyz) i) 27x4y2z : 9x4y
 e) (-12x5y4) : (-4x2y) k) 5x3y : 23xy
DẠNG 2: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài toán 2 : Thực hiện phép tính.
 a) (4x5 – 8x3) : (-2x3)
 b) (9x3 – 12x2 + 3x) : (-3x)
 c) (xy2 + 4x2y3 – 3x3y4) : (-2xy2)
 d) (-3x2y3 + 4x3y4 – y4y5) : (-x2y3)
 e) [2(x – y)3 – 7(y – x)2 – (y – x)] : (x – y)
 f) [3(x – y)5 – 2(x – y)4 + 3(x – y)2] : [5(x – y)2]
DẠNG 3 : CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP.
Bài toán 3 : Thực hiện phép chia.
 a) (2x3 – 5x2 – x + 1) : (2x + 1)
 b) (x3 – 2x + 4) : (x + 2)
 c) (6x3 – 19x2 + 23x – 12) : (2x – 3)
 d) (x4 – 2x3 – 1 + 2x) : (x2 – 1)
 e) (6x3 – 5x2 + 4x – 1) : (2x2 – x + 1)
 f) (x4 – 5x2 + 4) : (x2 – 3x + 2)
 g) ( x3 – 2x2 – 5x + 6 ) : ( x + 2 )
 h) ( x3 – 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 )
DẠNG 4: TÌM THƯƠNG VÀ DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC
Phương pháp giải : 
 Từ điều kiện đề bài trên, ta đặt phép chia A : B được kết quả là thương Q và dư R.
Bài toán 4 : Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R biết.
 a) A = x4 + 3x3 + 2x2 – x – 4 và B = x2 – 2x + 3
 b) A = 2x3 – 3x2 + 6x – 4 và B = x2 – x + 3
 c) A = 2x4 + x3 + 3x2 + 4x + 9 và B = x2 + 1
 d) A = 2x3 – 11x2 + 19x – 6 và B = x2 – 3x + 1
 e) A = 2x4 – x3 – x2 – x + 1 và B = x2 + 1 DẠNG 5: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ ĐA THỨC A CHIA HẾT CHO ĐA THỨC B
I/ Phương pháp giải:
 * Thực hiện phép chia A : B để tìm biểu thức dư R theo m
 Để A chia hết cho B thì R = 0 => m =
 * Tìm số nguyên n để A chia hết cho B (với A , B là các biểu thức theo n)
 - Thực hiện A : B tìm số dư là số nguyên k, thương là biểu thức Q
 - Viết A = Q.B + k
 - Để A chia hết cho B  k chia hết cho B  B là Ư(k) => n =
II/ Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của n để giá trị biểu thức 4n 3 – 4n2 – n + 4 chia hết cho giá trị của 
biểu thức 2n + 1.
 Giải
 Thực hiện phép chia 4n3 – 4n2 – n + 4 cho 2n + 1, ta được :
 4n3 – 4n2 – n + 4 = (2n + 1).(n2 + 1) + 3
 Từ đó, để có phép chia hết điều kiện là 3 chia hết cho 2n + 1, tức là cần tìm giá trị nguyên 
của n để 2n + 1 là ước của 3, ta được :
 2n + 1 = 3 n = 1
 2n + 1 = 1 n = 0
 2n + 1 = -3 n = -2
 2n + 1 = -1 n = -1
Vậy n = 1, n = 0, n = 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 2: Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết 
 A = 8x2 – 26x + m và B = 2x – 3
 Giải
 A : B được thương là 4x – 7 và số dư là m – 21
 Để A chia hết cho B thì m – 21 = 0  m = 21
III/ Vận dụng.
Bài toán 5: Tìm m sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B biết.
 b) A = x3 + 4x2 + 4x + m và B = x + 3 c) A = x3 – 13x + m và B = x2 + 4x + 3
 d) A = x4 + 5x3 – x2 – 17x + m + 4 và B = x2 + 2x – 3
 e) A = 2x4 + mx3 – mx – 2 và B = x2 – 1
Bài toán 6 : Cho các đa thức sau:
 A = x3 + 4×2 + 3x – 7 B = x + 4
 a) Tính A : B
 b) Tìm x ∈ Z sao cho A chia hết cho B
Bài toán 7 : Tìm x, biết.
 a) (8x2 – 4x) : (-4x) – (x + 2) = 8
 b) (2x4 – 3x3 + x2) : (-x2) + 4(x – 1)2 = 0
Bài toán 8 : Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức 
B biết.
 a) A = 8n2 – 4n + 1 và B = 2n + 1
 b) A = 3n3 + 8n2 – 15n + 6 và B = 3n – 1
 c) A = 4n3 – 2n2 – 6n + 5 và B = 2n – 1
DẠNG 6 : ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ Bezout
I/ Định lý:
 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a là f(a)
 Hệ quả : Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức bậc nhất x – a khi và chỉ khi f(a) = 0
II/ Vận dụng.
Bài toán 9 : Không làm phép chia hãy tìm số dư khi :
 a) Khi f(x) = x3 + 2x2 – 4x + 3 chia cho x – 2
 b) Khi f(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 chia cho x + 1
 c) Khi f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 5 chia cho x – 2
 d) Khi f(x) = x27 + x9 + x3 + x chia cho x – 1
Bài toán 10 : Chứng minh :
 a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1
 b) x2012 + x2008 + 1 chia hết cho x2 + x + 1