Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chủ đề 9: Bài tập rút gọn phân thức

 CHỦ ĐỀ 9: BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC.
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
 x2 16 x2 4x 3 15x(x y)3
 a) (x 0, x 4) b) (x 3) c) (y (x y) 0)
 4x x2 2x 6 5y(x y)2
 5(x y) 3(y x) 2x 2y 5x 5y x2 xy
 d) (x y) e) (x y) f) (x y,y 0)
 10(x y) 2x 2y 5x 5y 3xy 3y2
 2ax2 4ax 2a 4x2 4xy
 g) (b 0, x 1) h) (x 0, x y)
 5b 5bx2 5x3 5x2y
 (x y)2 z2 x6 2x3y3 y6
 i) (x y z 0) k) (x 0, x y)
 x y z x7 xy6
Bài 2. Rút gọn các biểu thức.
 4 2 3 2
 a) m m ; b) ab a a b ;
 2m2 2m 2 a3b b4
 c) xy 1 x y ; d) ax ay bx by ;
 y z 1 yz ax ay bx by
 2 2 2 2 2
 e) a b c 2ab ; f) a b ;
 a2 b2 c2 2ac a2 a b b2
 3 a3 (b2 c2 ) b3 (c2 a2 ) c3 (a2 b2 )
 g) a 1 ; h) ;
 2a2 4a 2 a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b)
 x2 (a b)x ab 2 2 2 2
 i) ; j) x a b 2bc 2ax c ;
 x2 (a b)x ab x2 b2 a2 2bx 2ac c2
 3 2 x x 2
 k) 3x 2x 4x 5 ; l) .
 6x2 3x 9 x2 5x 6
 2x 2x 2
 n) a b ; m) 1 (2a 3b) ;
 a x bx 2a 3b 1
 3x 3y 4m 4n
 o) 3 3 ; ơ) 2 2 ;
 3x 3y 22n 22m
 2 2 2 3 2
 p) a (b c) b (c a) c (a b) ; q) 2x 7x 12x 45 ;
 ab2 ac2 b3 bc2 3x3 19x2 33x 9
 x3 y3 z3 3xyz x3 y3 z3 3xyz
 u) ; ư) .
 (x y)2 (y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z)2 (z x)2 Bài 3: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
 (2x2 2x)(x 2)2 1 x3 x2y xy2
 a) A với x b) B với x 5,y 10
 (x3 4x)(x 1) 2 x3 y3
Bài 4: Rút gọn các phân thức sau:
 a b 2 c2 2 2 2
 a) ( ) b) a b c 2ab
 a b c a2 b2 c2 2ac
 3 2
 c) 2x 7x 12x 45
 3x3 19x2 33x 9
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:
 3 3 3 3 3 3
 a) a b c 3abc b) x y z 3xyz
 a2 b2 c2 ab bc ca (x y)2 (y z)2 (z x)2
 3 3 3 2 2 2
 c) x y z 3xyz d) a (b c) b (c a) c (a b)
 (x y)2 (y z)2 (z x)2 a4(b2 c2) b4(c2 a2) c4(a2 b2)
 2 2 2 24 20 16 4
 e) a (b c) b (c a) c (a b) f) x x x ... x 1
 ab2 ac2 b3 bc2 x26 x24 x22 ... x2 1
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
 x 2 23 x3 3x 3x(x y)
 a) (x 0) b) (x y)
 x x(x2 2x 4) x y y2 x2
 x y 3a(x y)2
 c) (a 0, x y)
 3a 9a2(x y)
Bài 7: Tìm giá trị của biến x để:
 1 1
 a) P đạt giá trị lớn nhất ĐS: max P khi x 1
 x2 2x 6 5
 x2 x 1 3
 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: minQ khi x 1
 x2 2x 1 4
Bài 8: Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:
 (x2 a)(1 a) a2x2 1 3xy 3x 2y 2 9x2 1 1 
 a) b) x ,y 1 
 (x2 a)(1 a) a2x2 1 y 1 3x 1 3 
 ax2 a axy ax ay a (x a)2 x2
 c) (x 1,y 1) d) 
 x 1 y 1 2x a 2 2
 e) x y f) 2ax 2x 3y 3ay
 (x y)(ay ax) 4ax 6x 9y 6ay
Bài 9. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
 4 3 4 2
 a) x x x 1 ; b) x 5x 4 .
 x4 x3 2x2 x 1 x4 10x2 9
Bài 10. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức.
 A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
 HD: 
 Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
 x2 y2 z2
Bài 11. Rút gọn biết rằng x + y + z = 0.
 (y z)2 (z x)2 (x y)2
Bài 12. Tính giá trị của phân thức A = 3x 2y , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0.
 3x 2y
 HD
 9x2 4y2 12xy 20xy 12xy 8xy 1
 Ta có A2 = 
 9x2 4y2 12xy 20xy 12xy 32xy 4
 1
 Do 2y < 3x < 0 3x 2y 0,3x 2y 0 A 0 . vậy A = .
 2
 (14 4)(54 4)(94 4)...(214 4)
Bài 13. Rút gọn biểu thức: P = .
 (34 4)(74 4)(114 4)...(234 4)
 HD
 Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
 ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 2 1
 Do đó P =  .... 
 (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577
Bài 14. Cho phân số A = 1 (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập 
 1,00...01
phân.
 HD
 100
 Ta có A = 10 . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được:
 10100 1 100 100
 10100 (10100 1) 99...900...0
 A= 200 0,9 9...90 0...0
 10 1 9 9...9 100 100
 200
 (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
 (a2 b2 c2 )(a b c)2 (ab bc ca)2
Bài 15. Cho phân thức: M = 
 (a b c)2 (ab bc ca)
 a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
 b) Rút gọn biểu thức M.
 HD:
a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
 Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
 a + b = b + c = c + a
 a = b = c.
 Vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, 
 tức là a2 + b2 + c2 0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
 Đặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y.
 x(x 2y) y2 x2 2xy y2 (x y)2
 Ta có M = x y a2 b2 c2 ab bc ca
 x 2y y x y x y
 (Điều kiện là a2 + b2 + c2 0)