Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8 - Chuyên đề 4: Chia hết của đa thức

 CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
 A. LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa:
 - Cho A và B là hai đa thức (B 0) , Khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai đa thức P và R sao cho:
 A B.Q R , Trong đó: R 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q là đa thức thương, R là dư.
 - Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.
2. Mở rộng:
 - Có thể dử dụng thêm các phương pháp:
 + Sử dụng hằng đẳng thức: a3 b3 : a b a2 ab b2 hoặc a2 b2 : a b a b 
 + Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm.
 + Sử dụng các định lý: Bơzu. Lược đồ Horner. 
 B. LUYỆN TẬP
 Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ
1. Định nghĩa: 
 - Định lý Bơ-zu: ” Dư của phép chia f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”.
2. Hệ quả: 
 - Nếu a là nghiệm của đa thức f x thì f x  x a .
Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, f x 3x3 2x2 9x 2 có chia hết cho x-2 không, có 
chia hết cho x+2 không?
HD:
 Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 2 
 có giá trị là: f 2 2.23 2.22 9.2 2 0 . Vậy f x  x 2 
 Tương tự:
 Số dư của f x 3x3 2x2 9x 2 khi chia cho x + 2 có giá trị là:
 f 2 2. 2 3 2. 2 2 9. 2 2 4
 Vậy f x  x 2 
Bài 2: Tìm số a để 2x3 3x2 x ax 2
HD:
 Theo định lý Bơ- zu thì dư của f x 2x3 3x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2, 
 có giá trị là: f 2 2. 8 3.4 2 a a 22
 Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22
Bài 3: Tìm hế số a để: 4x2 6x ax 3
HD:
 Theo định lý Bơzu thì dư của f x 4x2 6x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x - 3, 
 có giá trị là: f 3 4.9 6.3 a a 18
 Để f(x) chia hết cho x - 3 thì a + 18 = 0 hay a = -18
 1 Bài 4: Tìm hế số a để: 2x2 x ax 3
HD:
 Theo định lý Bơzu thì dư của f x 2x2 x a khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị 
 là: f 3 2.9 3 a a 15
 Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a + 15 = 0 hay a = -15
Bài 5: Tìm hế số a để: 10x2 7x a2x 3
HD:
 Hạ phép chia ta có: 10x2 7x a 2x 3 5x 4 a 12 
 Để 10x2 7x a2x 3 a 12 0 a 12
Bài 6: Tìm hế số a để: 2x2 ax 1: x 3 dư 4
HD :
 Theo định lý Bơzu ta có :
 Dư của f x 2x2 ax 1, khi chia cho x - 3 là f 3 2.9 3a 1 3a 19
 Để có số dư là 4 thì 3a 19 4 3a 15 a 5
Bài 7: Tìm hế số a để: ax5 5x4 9x 1
HD :
 Theo định lý Bơ- Zu ta có :
 Dư của f x ax5 5x4 9 , khi chia cho x - 1 là f 1 a 5 9 a 4
 Để có phép chia hết thì a 4 0 a 4
Bài 8: Tìm hế số a để: 8x2 26x a2x 3
HD :
 Hạ phép chia ta có: 8x2 26x a 2x 3 4x 7 a 21
 Để 8x2 26x a2x 3 a 21 0 a 21
Bài 9: Tìm hế số a để: x4 x3 6x2 x ax2 x 5
HD :
 Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có:
 x4 x3 6x2 x a x2 x 5 x2 1 a 5
 Để phép chia là phép chia hết thì a - 5 = 0 hay a = 5
Bài 10: Tìm hế số a, b để: x3 ax bx2 x 2
HD :
 Hạ phép chia ta có:
 x3 ax b x2 x 2 x 1 a 3 x b 2
 Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2
Bài 11: Tìm hế số a để: x3 ax2 4x2 4x 4
HD :
 Hạ phép chia ta có :
 x3 ax2 4 x2 4x 4 x a 4 12 4a x 12 4a
 Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3
Bài 12: Tìm hế số a để: x4 ax bx2 4
HD :
 x4 ax bx 2
 Để x4 ax bx2 4 thì 
 4
 x ax bx 2
 Áp dụng định Bơzu ta có:
 f x x4 ax b f 2 16 2a b 0
 Và: f 2 16 2a b 0
 Giải hệ ta được a = 0 và b = -16
 2 Bài 13: Tìm hế số a để: x4 ax3 bx 1x2 1
HD :
 x4 ax3 bx 1x 1
 Để x4 ax3 bx 1x2 1 thì 
 4 3
 x ax bx 1x 1
 Áp dụng định Bơzu ta có: f x x4 ax3 bx 1 f 1 1 a b 1 0
 Và: f 1 1 a b 1 0 , Giải hệ ta được a tùy ý và b = - a
Bài 14: Tìm hế số a để: x3 ax bx2 2x 2
HD :
 Hạ phép chia ta có : x3 ax b x2 2x 2 x 2 a b x b 4
 Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4
Bài 15: Tìm hế số a để: x4 ax2 bx2 x 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : x4 ax2 b x2 x 1 x2 x a a 1 x a b
 Để là phép chia hết thì a-1=0 và a-b=0=> a=b=1
Bài 16: Tìm hế số a để: ax3 bx2 5x 50x2 3x 10
HD :
 Hạ phép chia ta có :
 ax3 bx2 5x 50 x2 3x 10 ax 3a b a 3b 5 x 30a 10b 50 
 Để là phép chia hết thì a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0
Bài 17: Tìm hế số a để: ax4 bx3 1 x 1 2
HD :
 Hạ phép chia ta có :
 4 3 2 2
 ax bx 1 x 2x 1 a.x 2a b x 3a 2b 8a 5b x 3a 2b 1 
 Để là phép chia hết thì : 8a + 5b = 0 và 3a + 2b - 1=0
Bài 18: Tìm hế số a để: x4 4 x2 ax b 
HD :
 Tách: x4 4 x2 2x 2 x2 2x 2 
 Vậy b = 2 và a = 2 hoặc a = -2
Bài 19: Tìm hế số m để: x4 3x3 6x2 7x mx2 2x 1
HD :
 Ta có: x4 3x3 6x2 7x m x2 2x 1 x2 x 3 m 3
 Để là phép chia hết thì m – 3 = 0 => m = 3
Bài 20: Tìm hế số a để: 10x2 7x a2x 3
HD :
 Hạ phép chia ta có: 10x2 7x a 2x 3 5x 4 a 12
 Để là phép chia hết thì a + 12 = 0 hay a = -12
Bài 21: Tìm hế số a để: 2x2 ax 4x 4
HD :
 Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của f x 2x2 a.x 4 khi chia cho x + 4 là:
 f 4 2.16 4a 4 28 4a
 Để là phép chia hết thì 28 - 4a = 0 => a = 7
Bài 22: Tìm hế số a để: x3 ax2 5x 3x2 2x 3
HD :
 3 2 2
 Hạ phép chia ta có: x a.x 5x 3 x 2x 3 x a 2 2a 6 x 3a 3
 3 Để là phép chia hết thì -3a - 3 = 0 => a = -1
 1
Bài 23: Tìm hế số a để: x2 ax 5a2 x 2a
 4
HD :
 1
 Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của f x x2 a.x 5a2 khi chia cho x + 2a là:
 4
 1 1 1 1
 f 2a 4a2 2a2 5a2 a2 , Để là phép chia hết thì a2 0 a 
 4 4 4 2
Bài 24: Tìm số dư của x x3 x9 x27 x81 khi chia cho x - 1
HD :
 Ta có : P x x 1 x3 1 x9 1 x27 1 x81 1 5 nên số dư là 5
Bài 25: Tìm số dư của : x x3 x9 x27 x81 khi chia cho x2 1
HD :
 Ta có : P x x3 x x9 x x27 x x81 1 5x => Dư 5x
Bài 26: Xác định dư của: P x 1 x x9 x25 x49 x81 khi chia cho x3 x
HD :
 P x x9 x x25 x x49 x x81 x 5x 1
 = x x8 1 x x24 1 x x48 1 x x80 1 5x 1, Vậy số dư là : 5x - 1
Bài 27: Tìm n nguyên để: 3n3 10n2 53n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 3n3 10n2 5 3n 1 n2 3n 1 4
 Để 3n3 10n2 53n 1 43n 1 3n 1 U 4 1; 2; 4
Bài 28: Tìm n nguyên để 2n2 n 22n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 2n2 n 2 2n 1 n 1 3
 Để : 2n2 n 22n 1 32n 1 2n 1 U 3 1; 3
Bài 29: Tìm các số x nguyên để 4x3 6x2 8x2x 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 4x3 6x2 8x 2x 1 2x2 2x 3 3
 Để 4x3 6x2 8x2x 1 32x 1 2x 1 U 3 1; 3
Bài 30: Tìm các số x nguyên để: 4x3 3x2 2x 83x 3
HD :
 Theo định Bơ zụ thì dư của f x 4x3 3x2 2x 83 , khi chia cho x-3 là :
 f 3 4.27 3.9 2.3 83 4 . Để 4x3 3x2 2x 83x 3 x 3 U 4 1; 2; 4
Bài 31: Tìm các số x nguyên để: 4n3 4n2 n 42n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 4n3 4n2 n 4 2n 1 2n2 3n 1 3
 Để 4n3 4n2 n 42n 1 32n 1 2n 1 U 3 1; 3
Bài 32: Tìm các số x nguyên để: 8n2 4n 12n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 8n2 4n 1 2n 1 4n 4 5
 Để 8n2 4n 12n 1 52n 1 2n 1 U 5 1; 5
 4 Bài 33: Tìm các số x nguyên để: 3n3 8n2 15n 63n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 3n3 8n2 15n 6 3n 1 n2 3n 4 2
 Để 3n3 8n2 15n 63n 1 23n 1 3n 1 U 2 1; 2
Bài 34: Tìm các số x nguyên để: 4n3 2n2 6n 52n 1
HD :
 Hạ phép chia ta có : 4n3 2n2 6n 5 2n 1 2n2 3 2
 Để 4n3 2n2 6n 52n 1 22n 1 2n 1 U 2 1; 2
3. Bài tập chưa làm :
Bài 1: Tìm phần dư của phép chia f x x2012 x2011 1 cho đa thức :
a, x2 1
b, x2 x 1
HD:
Bài 2: Cho đa thức: P(x) x4 x3 6x2 40x m 1979
a, Tìm m sao cho P(x) chia hết cho x-2
b, Với m tìm được, hãy giải thích phương trình P(x)=0
HD:
Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: 3n3 10n2 5 chia hết cho 3n 1 
HD:
 5 Dạng 2: TÌM ĐA THỨC
Bài 1: Tìm a, b sao cho f x x3 ax b , chia cho x + 1 dư 7, chia cho x - 3 dư -5
HD :
 f x x 1 .A x 7 a b 8
 Theo bài ra ta có: , Cho x = -1, x = 3=> 
 f x x 3 .B x 5 3a b 32
Bài 2: Tìm hằng số a, b, c sao cho: ax3 bx2 c chia hết cho x + 2, chia cho x2 1 dư 5
HD :
 Theo bài ra ta có: x2 1 x 1 x 1 
 Khi dó ta có : f x a.x3 bx2 c x 2 A x => f x x 1 x 1 B x 5
 Cho x = - 2 khi đó ta có : - 8a + 4b + c = 0
 Cho x = 1=> a + b + c = 5
 Cho x = -1 => - a + b + c = 5
 8a 4b c 0
 Khi đó ta có hệ: a b c 5
 a b c 5
Bài 3: Xác định a, b biết: 2x3 ax b chia cho x + 1 dư -6, chia cho x - 2 dư 21
HD :
 Theo bài ra ta có : f x 2x3 a.x b x 1 A x 6
 và f x 2.x3 a.x b x 2 B x 21
 Cho x 1 2 a b 6
 Cho x 2 16 2a b 21
 2 a b 6
 Khi đó ta có hệ : 
 16 2a b 21
Bài 4: Tìm hệ số a, b sao cho: x4 x3 3x2 ax b chia cho x2 x 2 được dư là 2x - 3
HD :
 Theo bài ra ta có : x2 x 2 x 2 x 1 
 Nên ta có : f x x4 x3 3x2 a.x b x 2 x 1 2x 3
 Cho x 2 16 8 12 2a b 1
 Cho x 1 1 1 3 a b 6
 2a b 5
 Khi đó ta có hệ 
 a b 5
Bài 5: Cho P(x) x4 x3 x2 ax b,Q x x2 x 2 , Xác định a, b để P x Q x 
HD :
 Đặt phép chia ta có : P x x4 x3 x2 a.x b x2 x 2 A x a 1 x b 2
 a 1 0 a 1
 Để P x Q x 
 b 2 0 b 2
Bài 6: Xác định các số hữu tỉ a, b, c sao cho: 2x4 ax2 bx c chia hết cho x - 2, 
chia cho x2 1 dư 2x
HD :
 Theo bài ra ta có : f x 2x4 a.x2 bx c x 2 A x 
 Và f x 2x4 a.x2 bx c x 1 x 1 .B x 2x
 Cho x 2 32 4a 2b c 0
 Cho x 1 2 a b c 2
 6 4a 2b c 32
 Cho x 1 2 a b c 2 . Khi đó ta có hệ : a b c 0
 a b c 4
Bài 7: Xác định a, b sao cho: P x ax4 bx3 1Q x x 1 2
HD :
 Đặt phép chia: P x a.x4 bx3 1 x 1 2 .A x 4a 3b x 1 3a 2b
 4a 3b 0
 Để P x Q x 
 1 3a 2b 0
Bài 8: Xác định a, b sao cho: 6x4 7x3 ax2 3x 2x2 x b
HD :
 Đặt phép chia 6x4 7x3 a.x2 3x 2 x2 x b A x a 5b 2 x 6b2 ab b 2 
 a 5b 2 0
 Để là phép chia hết thì 2
 6b ab b 2 0
Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x + 4 dư là 9, còn f(x) chia cho x - 3 dư là 2, và 
f x : x2 x 12 có thương là x2 3 và còn dư
HD :
 f x x2 x 12 x2 3 ax b x 3 x 4 x2 3 ax b
 f x 4a b 9 4a b 9
 Cho x 4, x 3 . Khi đó ta có hệ : 
 f x 3a b 2 3a b 2
Bài 11: Xác định đa thức A x ax3 bx2 c , biết: A(x) chia hết cho x - 2 và A x : x2 x 2 
 dư là 3x + 2
HD :
 Ta có : x2 x 2 x 1 x 2 
 Khi đó ta có : A x a.x3 bx2 c x 2 B x 
 Và A x a.x3 bx2 c x 1 x 2 C x 3x 2
 Cho x 2 8a 4b c 0 , Cho x 1 a b c 5 , Cho x 2 8a 4b c 4
 8a 4b c 0
 Khi đó ta có hệ : 8a 4b c 4
 a b c 5
Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x - 3 dư 2, f(x) chia cho x + 4 dư 9, và f x : x2 x 12 được 
 thương là x2 3 và còn dư
HD :
 Do f(x) chia cho x2 x 12 x 3 x 4 được thương là x2 3 còn dư nên ta có :
 f x x 4 x 3 x2 3 a.x b
 Cho x 4 f x 4a b 9
 Cho x 3 f x 3a b 2
 4a b 9
 Khi đó ta có hệ: 
 3a b 2
 7 Bài 13: Tìm 1 đa thức bậc 3 P(x) biết, P(x) chia cho các đa thức (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6, 
 và P(-1) = - 18
HD :
 Ta có: f x 6 chia hết cho x 1, x 2, x 3 
 Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) có dạng f x 6 m x 1 x 2 x 3 , m là hằng số
 Lại có : f 1 18 18 6 m 2 3 4 m 1 
 Vậy f x 6 x 2 x 3 x 4 f x x3 6x2 11x 
Bài 14: Tìm đa thức bậc 4 biết: P( 1) 0, P x P x 1 x x 1 2x 1 
HD :
 Cho x = 0=> P 0 P 1 0 mà P(-1) = 0 => P(0) = 0
 Lần lượt cho x = -2, 1, 2 ta có: P(-2) = 0, P(1) = 6, P(2) = 36
 Đặt P x e d x 2 c x 2 x 1 b x 2 x 1 x a x 2 x 1 x x 1 
 Chọn x = -2 => e = 0
 Chọn x = -1 => d = 0 
 Chọn x = 0 => c = 0 
 Chọn x = 1 => b = 1
 Chọn x = 2 => a = 1/2
 1
 Vậy đa thức cần tìm là: P x x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 
 2
Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x + 3 dư 1, P(x) chia cho x - 4 dư 8, 
chia cho (x + 3)(x - 4) được thương là 3x, còn dư
HD :
 Vì P(x) chia cho (x + 3)(x - 4) được thương là 3x còn dư nên ta có:
 P x x 3 x 4 3x ax b Và P x x 3 A x 1 Và P x x 4 B x 8
 Cho x 3 P x 1 3a b
 Cho x 4 P x 8 8a b
 3a b 1
 Khi đó ta có hệ: 
 8a b 8
Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995
HD :
 Đặt: P x c b x 0 a x 0 x 1 
 Cho x = 0 => c = 19
 Cho x = 1 => b = -14
 Cho x = 2 => a = 1002
 Vậy đa thức cần tìm là: P x 1002x x 1 14x 19
Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1
HD :
 Đặt P x d cx bx x 1 ax x 1 x 2 
 Cho x 0 P 0 10 d
 Cho x 1 P 1 12 c d c 2
 Cho x 2 P 2 4 d 2c 2b b 5
 5
 Cho x 3 P 3 1 d 3c 6b 6a a 
 2
 8 5
 Vậy đa thức cần tìm là: P x x x 1 x 2 5x x 1 2x 10
 2
Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985
HD :
 Đặt P x a.x x 1 bx c
 Cho x 0 P 0 19 c c 19
 Cho x 1 P 1 85 b c b 66
 Cho x 2 P 2 1985 2a 2b c a 917
 Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P x 917x x 1 66x 19
Bài 19: Cho đa thức: P x x4 ax2 1 và Q x x3 ax 1, xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm 
chung
HD :
 Giả sử nghiệm chung là c => P x xQ x x 1 P c cQ c c 1 
 vì x = c là nghiệm , Nên P c Q c 0 c 1 0 c 1, 
 Khi c = 1 => P(1) = Q(1) = a + 2 = 0 = > a = - 2 
 Vậy a = - 2 thì P(x) và Q(x) có nghiệm chung
1. Bài tập chưa làm:
Bài 1: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư 6 và chia cho x2 7x 10 được thương là 
x2 4 và còn dư
Bài 2: Xác định các số hữ tỉ a, b sao cho x3 ax b chia hết cho x2 2x 3
Bài 3: Cho đa thức bậc hai : P x ax2 bx c biết P(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)-
P(2x-1)=6x-6. CMR :a+b+c=0 và xác định đa thức P(x)
Bài 4: Cho đa thức: f x ax2 bx c , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14
Bài 5: Cho đa thức bậc nhất f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện của b để thỏa mãn hệ thức: 
f x1 x2 f x1 f x2 với mọi x
Bài 6: Cho đa thức: f x ax2 bx c , Xác định các hệ số f 0 2 , f 1 7, f 2 14
Bài 7: Cho đa thức: f x x8 x5 x2 x 1, CMR f x luôn dương với mọi giá trị của x
Bài 8: Cho a và b là hai số tự nhiên. Số a chia 5 dư 1, số b chia 5 dư 2, CMR: ab chia 5 dư 2
Bài 9: Cho đa thức: f x x3 2ax2 4x 3b . Tìm các hệ số a, b biết khi chia đa thức cho x-3 ta được 
đa thức dư là -5 và khi chia đa thức cho x+1 thì được dư là -1
Bài 10: Xác định các hệ số của a, b để x4 a.x2 b chia hết cho x2 x 1 
Bài 11: Cho đa thức: A x4 2x3 2x m 1 và đa thức: B x2 2x 1 , Tìm m để đa thức A chia 
cho đa thức B có dư là giá trị của ẩn làm cho đa thức B bằng 0 
 9 10