Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8 - Chuyên đề 7: Số chính phương, số nguyên tố (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG, SỐ NGUYÊN TỐ 
 A. LÝ THUYẾT:
1. Định nghĩa:
 - Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên
2. Tính chất:
 - Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9
 - Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số 
nguyên tố với lũy 
 thừa chẵn
 - Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1
 - Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1
 - Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4
 - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
 - Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số 
chẵn
 - Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
 - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ.
 B. LUYỆN TẬP :
 Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho số A 11...11122...2225 ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2).
 Chứng minh rằng A là số chính phương 
HD:
 Ta có: 9A 100...00100...0025 100...00 100...00 25
 2004 2005 4012 2007
 2
 2 2 2006
 9A 100...00 2.5.100...00 5 10 5 , là số chính phương
 2006 2006
Bài 2: Chứng minh rằng số C 44...4488...89 có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới 
dạng bình phương 
 của 1 số tự nhiên
HD:
 n
 Đặt 111...11 a 10 9a 1
 n n
 Ta có: 444...448 8...89 444...44888...8 1 4a.10 8a 1
 n n 1 n n
 2
 2 2 
 4a 9a 1 8a 1 36a 12a 1 6a 1 666...67 
 n 1 
Bài 3 : Chứng minh rằng số A 1 1...1 4 4...4 1 là số chính phương 
 2n n
HD :
 2
 10n 2 
 Biến đổi A khi đó A là số chính phương
 3 
Bài 4 : Chứng minh số B 1 1...1 1 1...1 6 6...6 8 là số chính phương.
 2n n 1 n
HD :
 2
 10n 8 
 Biến đổi tổng B khi đó B là số chính phương
 3 
Bài 5 : Chứng minh rằng số C 4 4...4 2 2...2 8 8...8 7 là số chính phương.
 2n n 1 n
HD :
 2
 2.10n 7 
 Biến đổi C khi đó C là số chính phương
 3 
Bài 6 : Chứng minh rằng A 2249 9...910 0...09 cũng là số chính phương
 n 2 n
HD :
 A 224.102n 99...9.10n 2 10n 1 9 224.102n 10n 2 1 .10n 2 10n 1 9
 2
 A 224.102n 102n 10n 2 10n 1 9 225.102n 90.10n 9 15.10n 3 
 Vậy A là số chính phương.
Bài 7 : Chứng minh rằng B 1 1...15 5...56 cũng là số chính phương.
HD :
 n n
 n 10 1 n 10 1
 B 1 1...15 5...5 1 1 1...1.10 5.1 1...1 1 B .10 5. 1
 n n n n 9 9
 2
 102n 10n 5.10n 5 9 10n 2 
 B , Vậy B là số chính phương
 9 3 
Bài 8 : Cho a 11...1 (2008 chữ số 1) và b 100...05 ( 2007 chữ số 0).
 Chứng minh rằng: ab 1 là số tự nhiên.
HD: 2008
 10 1 2008
 Ta có: a 1 1...1 ,b 10 5
 2008 9
 2
 2008 2008 1008 2008 2
 10 1 10 5 10 4.10 5 9 102008 2 
 ab 1 1 
 9 9 3 
 Vậy ab 1 là 1 số tự nhiên
Bài 1 : Cho m 111...1,n 444...4 , Chứng minh rằng m n 1 là số chính phương.
 2k k
HD:
 Ta có: 
 102k 1 10k 1 102k 1 10k 1 102k 1 4.10k 4 9
 m ,n m n 1 4. 1 
 9 9 9 9 9
 2
 10k 2 
 , Vậy m n 1 là số chính phương.
 3 
Bài 1: Cho số nguyên dương n và các số A 444...4 và B 888...8 .
 2n n
 Chứng minh rằng: A 2B 4 là số chính phương.
HD:
 n
 Ta có: A 444.....4 444......4000...0 444.....4 444....4. 10 1 888....8
 2n n n n n n
 2
 4.111....1.999....9 B 4.111....1.9.111....1 B 6.111....1 B
 n n n n n 
 2 2
 3 3 
 .888....8 B B B
 4 n 4 
 2 2 2
 3 3 3 3 
 A 2B 4 B B 2B 4 B 2. B.2 4 B 2 
 4 4 4 4 
 2 2 2
 3 
 .888....8 2 3.222....2 2 666....68 Vậy A 2B 4 là số chính 
 4 n n n 1 
phương. 
Bài 1: Cho: A 111...1 ( 2m chữ số 1); B 111...1 (m + 1 chữ số 1); C 666...6 (m 
chữ số 6) . 
 Chứng minh A B C 8 là số chính phương
HD:
 m
 102m 1 10m 1 1 6 10 1 
 Ta có: A 111...1 và B 111...1 và C 666...6 
 9 9 9 Khi đó : 
 m 2
 102m 1 10m 1 1 6 10 1 102m 16.10m 64 10m 8 
 A B C 8 8 
 9 9 9 9 3 
 Mà 10m 83 10m 8 Z . Vậy A B C 8 là số chính phương.
Bài 9 : Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; . Dãy số trên được xây 
dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả 
các số của dãy trên đều là số chính phương.
HD :
 Xét số tổng quát :
 n
 4 4...48 8...89 4 4...48 8...8 1 4 4...4.10 8 8...8 1
 n n 1 n n n n
 n n
 n 10 1 n 10 1
 4.1 1...1.10 8.1 1...1 1 4. .10 8. 1
 n n 9 9
 2
 4.102n 4.10n 8.10n 8 9 4.102n 4.10n 1 2.10n 1 
 9 9 3 
 Mà 2.10n 1 có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng 
 trên đều là số chính phương
Bài 1: Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: 2a2 a 3b2 b
 Chứng minh rằng 2a 2b 1 là số chính phương. 
HD:
 Ta có: 2a2 a 3b2 b a b 2a 2b 1 b2 (*) 
 Gọi d là UC a b;2a 2b 1 với d N * , Thì: 
 a bd 2 2 2
 a b 2a 2b 1 d b d bd ,
 2a 2b 1d
 Mà : a b d ad 2a 2b d , mà 2a 2b 1 d 1d d 1
 Do đó : a b,2a 2b 1 1 , Từ (*) ta được : a b,2a 2b 1 là số chính 
phương 
 Vậy 2a 2b 1 là số chính phương.
Bài 1: Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn : 2x2 x 3y2 y
 Chứng minh : x y;2x 2y 1;3x 3y 1 đều là các số chính phương. Bài 1: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2 . 
 CMR : n2 m không là số chính phương.
HD:
 Giả sử: n2 m là số chính phương. Đặt: n2 m k 2 k N (1)
 2n2
 Theo bài ra ta có: 2n2 mp p N m Thay vào (1) ta được :
 p
 2
 2n 2
 n2 k 2 n2 p2 2pn2 p2k 2 n2 p2 2p pk 
 p 
 2
 Do n2 , pk là các số chính phương, nên p2 2p là số chính phương.
 2
 Mặt khác: p2 p2 2p p 1 p2 2p không là số chính phương (Mâu 
thuẫn với giả sử)
 Vậy n2 m không là số chính phương.
Bài 1: Chứng minh: A 13 23 ... 1003 là số chính phương
Bài 10 : Chứng minh rằng : S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... k k 1 k 2 thì 4S 1 là số 
chính phương.
HD :
 Ta có : 4S 1.2.3 4 0 2.3.4 5 1 ... k k 1 k 2 k 3 k 1 
 4S 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 ... k k 1 k 2 k 3 k 1 k k 1 k 2 
 4S k k 1 k 2 k 3 
 4S 1 k k 1 k 2 k 3 1 là tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 
 nên 4S 1 là số chính phương.
Bài 11 : Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số 
chính phương.
HD:
 Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là: n,n 1,n 2,n 3
 Xét tích: 
 2
 P n n 1 n 2 n 3 n 4 n2 3n n2 3n 2 n2 3n 2 n2 3n 
 2 2
 Dễ dàng nhận thấy: n2 3n P n2 3n 1 Vậy P không thể là số chính 
phương. Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì : 
 A x y x 2y x 3y x 4y y4 là số chính phương.
HD :
 Ta có : 
 A x y x 2y x 3y x 4y y4 x2 5xy 4y2 x2 5xy 6y2 y4
 Đặt x2 5xy 5y2 t t Z Khi đó : 
 2
 A t y2 t y2 y4 t 2 y4 y4 t 2 x2 5xy y2 . Vậy A là số chính 
phương.
Bài 13 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính 
phương.
HD :
 Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n,n 1,n 2,n 3 n N . Ta có :
 A n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 2 n 1 1
 2
 A n2 3n n2 3n 2 1 , Đặt n2 3n t t N A t t 2 1 t 1 
 Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
Bài 14 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không 
thể là 1 số chính 
 phương.
HD :
 Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n 2;n 1;n;n 1;n 2 n N,n 2 
 2 2 2 2
 Xét A n 2 n 1 n2 n 1 n 2 5 n2 2 
 Nhận thấy A5 nhưng không chia hết cho 25 vì n2 không có tận cùng là 3 
hoặc 8
Bài 1: Chứng minh rằng:n N,n 1 thì A n6 n4 2n3 2n2 không thể là số 
chính phương.
HD:
 Giả sử: n6 n4 2n3 2n2 k 2 , k Z 
 2 2
 n4 n2 1 2n2 n 1 k 2 n 1 n2 n3 n2 2 k 2 n 1 n2 n 1 1 k 2
 2
 n 1 1 phải là số chính phương.
 2 2 2
 Ta lại có: n 1 n 1 1 n2 2 1 n n2 , Do n 1 n 1 1 không 
phải là số chính phương.
 Vậy A n6 n4 2n3 2n2 không thể là số chính phương. Bài 16 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một 
số chính phương
HD :
 Gọi a 2k 1,b 2m 1 k,m N 
 2 2
 Xét a2 b2 2k 1 2m 1 4k 2 4k 1 4m2 4m 1
 4 k 2 k m2 m 2 4t 2 t N 
 Như vậy a2 b2 chia cho 4 dư 2, mà ta biết số chính phương chia 4 không 
có số dư là 2, 
 Vậy a2 b2 không là 1 số chính phương
Bài 17 : Chứng minh rằng: A n4 2n3 2n2 2n 1 , không phải là số chính 
phương
HD:
 2
 Ta có: A n2 n2 2n 1 n2 2n 1 n2 1 n 1 
 Vì n2 1 không phải là số chính phương nên A không thể là số chính 
phương
Bài 18 : Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 
không thể là các số 
 chính phương
HD :
 Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không chia hết cho 4
 (1)
 Giả sử p 1 là số chính phương. Đặt p 1 m2 m N 
 Vì p chẵn nên p+1 lẻ=> m2 lẻ => m lẻ
 Đặt m 2k 1 k N m2 4k 2 4k 1 p 1 4k 2 4k 1
 p 4k 2 4k 4k k 1 4 mâu thuẫn với ( 1)
 Vậy p+1 không thể là số chính phương
 Lại có : p 2.3.5.7.... là 1 số chia hết cho 3 => p 1 3k 2 k N ( Vô lý)
 Vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2 => p-1 không là số chính 
phương
 Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là số 
chính phương
Bài 19 : Cho N 1.3.5.7....2019 . Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 
 2N 1;2N;2N 1
 không có số nào là số chính phương. HD :
 Ta có : 2N 1 2.1.3.5.7...2019 1
 Thấy 2N3 2n 1 3k 2 k N => 2N 1 không là số chính phương
 Và 2N 2.1.3.5.7...2019 là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 
2N không là số chính phương
 Và 2N 1 2.1.3.5....2019 1 lẻ nên không chia hết cho 4
 2N  4 2N 1 không chia cho 4 dư 1=> 2N+1 không là số chính phương.
Bài 20 : Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N 1,2N,2N 1 không có 
số nào là số chính 
 phương, trong đó : N 1.3.5...1999
HD :
 Ta thấy : 2N2,2N  4 2N không là số chính phương
 N3 2N 1  2 mod3 2N 1 không là số chính phương
 Giả sử : 2N 1 k 2 k lẻ 2N k 2 1 k 1 k 1 4 N2 Vô lý
 Vậy ta có đpcm
Bài 21 : Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số 
hàng đơn vị là 6, 
 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1 
số chính phương.
HD :
 Theo tính chất : ‘ Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số 
 hàng chục của nó là 1 số lẻ, vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương 
 đã cho là : 1 ;3 ;5 ;7 ;9 khi đó tổng của chúng là : 
 1+3+5+7+9=25 là 1 số chính phương
Bài 22 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn : ab bc ca 1
Chứng minh rằng: A 1 a2 1 b2 1 c2 là số chính phương 
HD:
 Ta có: ab bc ca 1
 1 a2 ab bc ca a2 a a b c a b a b a c 
 Tương tự : 1 b2 a b b c và 1 c2 a c b c 
 2
 2 2 2 
 Khi đó : 1 a 1 b 1 c a b b c c a , 
 Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương
Bài 23 : Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: a b c 0 , Chứng minh rằng 
 1 1 1
 M là bình phương của 1 số hữu tỉ
 a2 b2 c2
HD:
 Ta có: 2 2 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 1 1 1 
 2 2 2 2 2. 
 a b c a b c ab bc ac a b c abc a b c 
 a b c b2 c2 a2
Bài 1: Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và .
 b2 c2 a2 a b c
 Chứng minh rằng một trong ba số a,b,c là bình phương của một số hữu tỉ.
Bài 1: Cho đa thức bậc ba f x với hệ số x3 là 1 số nguyên dương và 
 f 5 f 3 2010
 Chứng minh rằng: f 7 f 1 là hợp số
HD:
 3 2
 Ta có: f x a.x bx cx d a Z , 
 Theo đề bài ta có: 
 2010 f 5 f 3 53 33 a 52 32 b 5 3 c 98a 16b 2c 16b 2c 2010 98a
 Và : 
 f 7 f 1 73 1 a 72 1 b 7 1 c 342a 3 16b 2c 342a 3 2010 98a 
 48a 6030 3 16a 2010 3 . Vì a nguyên dương nên: 16a 2010 1 , 
 Vậy f 7 f 1 là hợp số.
Bài 1 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì 
tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương.
HD :
 Giả sử: a m2 n2 và b p2 q2 , m,n, p,q Z 
 Ta có: 
 a.b m2 n2 p2 q2 m2 p2 m2q2 n2 p2 n2q2 m2 p2 n2q2 2mnpq m2q2 n2 p2 2mnpq
 2 2
 mp nq mq np , ĐPCM.
Bài 1: Cho A 10n 10n 1 10n 2 ..... 10 1 10n 1 5 1. 
 Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không là lập phương của một 
số tự nhiên.
Bài 5:Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 
111...11 mà chia hết cho p.
 3 5 3 5
Bài 1: Với n 2008là số nguyên dương , đặt: S an bn , Với a ;b 
 n 2 2 2
 n n 
 5 1 5 1 
 Chứng minh: S 2 . Tìm số n để S 2 là số chính 
 n 2 2 n
phương.
Bài 1: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số 
chính phương thì 5n + 3 không phải là số nguyên tố.
 a a2 b2
Bài 1: Cho a, b, c nguyên tố khác 0, a c thỏa mãn: 
 c c2 b2
 Chứng minh rằng : a2 b2 c2 không thể là một số nguyên tố
Bài 1: Cho b là số nguyên tố khác 3. Số A 3n 1 2015b2 (n là số tự nhiên) là số nguyên tố 
hay hợp số.
Bài 1: Xét những số được tạo thành bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với 2n + 1 
chữ số 1 
 có dạng như sau:10101; 101010101; ..; 1010 101; .. (n nguyên dương)
 Chứng minh các số trên đều là hợp số.
Bài 1: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 4n là hợp số.
Bài 1: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng n2 + 2018 là hợp số.
Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai x2 ax b 1 0 có hai nghiệm nguyên dương. 
 Chứng minh rằng a2 b2 là hợp số
Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng 
số: A ak bk ck d k là hợp số với mọi số nguyên dương k.
Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương bất kỳ thì khi viết 124n 
dưới dạng thập phân thì ta luôn có chữ số hàng chục là một số lẻ.
Bài 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn k 2 4 và k 2 16 là các 
số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
Bài 1:Chứng minh rằng: 22 p 22q không thể là số chính phương, với mọi p, q là các 
số nguyên không âm
Bài 1:Giả sử các số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình: x5 y5 2x2 y2 .