Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8 - Chuyên đề 8: Tính giá trị biểu thức (Có đáp án)

 CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
 A. LÝ THUYẾT
1. Chia sẻ cá nhân :
 - Chuyên đề tính giá trị của biểu thức là một chuyên đề hay và đòi hỏi người học phải có 
sự nhìn nhận nhanh về mối qua hệ giữa biểu thức và các điều kiện của đầu bài.
 - Có rất nhiều các phương pháp tùy từng đối tượng bài, Xong ở chương trình lớp 8, Tài 
Liệu Toán xin phép được ra một vài phương pháp hay giặp như sau :
 + Biến đổi biểu thức sao cho có chứa nhân tố của điều kiện để khử.
 + Nếu biểu thức có nhiều mẫu, ta có thể phân tích mẫu thành nhân tử và quy đồng.
 + Nếu biểu thức cần tính còn thiếu so với giả thiết, ta có thể nhân thêm hoặc chia xuống 
cho phù hợp
 +Đối với các bài toán có lũy thừa cao, thường các giá trị của ẩn chỉ nằm trong phạm vi là 
 1;0;1 hoặc các giá trị của biến bằng nhau.
 ab
Bài 1: Cho : 4a2 b2 5ab và 2a b 0 , Tính giá trị của : A 
 4a2 b2
HD :
 Từ : 4a2 b2 5ab 4a2 4ab ab b2 0 4a b a b 0
 TH 1: 4a b 0 4a b ( mâu thẫn vì 2a > b)
 a2 1
 TH 2: a b 0 a b A 
 4a2 a2 3
 a b
Bài 2: Cho 3a2 3b2 10ab và b a 0 , Tính A 
 a b
HD:
 Từ: 3a2 3b2 10ab 3a2 9ab ab 3b2 0 a 3b 3a b 0
 TH 1: a 3b 0 a 3b ( mâu thuẫn vì b>a>0)
 a 3a 1
 TH 2: 3a b 0 3a b A 
 a 3a 2
 3x 2y
Bài 3: Cho 9x2 4y2 20xy 2y 3x 0 , Tính A 
 3x 2y
HD:
 Từ: 9x2 4y2 20xy x 2y 9x 2y 0
 3x x 1
 TH1: x 2y A 
 3x x 2
 TH2: 9x 2y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0)
 x y
Bài 4: Cho x2 2y2 xy, y 0, x y 0 ,Tính A 
 x y
HD:
 Từ x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x 2y x y 0 2y y 1
TH1: x 2y 0 x 2y A 
 2y y 3
TH2: x y 0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 ) x y
Bài 5: Cho x y 0 và 2x2 2y2 5xy , Tính A 
 x y
HD:
 Từ: 2x2 2y2 5xy 2x2 5xy 2y2 0 x 2y 2x y 0
 2y y
 TH1: x 2y A 3
 2y y
 TH2: 2x y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0)
 x2 2xy
Bài 6: Cho 3x y 3z và 2x y 7z , Tính A , x, y 0
 x2 y2
HD:
 3x y 3z x 2z 4z2 12z2 8
 Từ gt ta có: A 2 2 
 2x y 7z y 3z 4z 9z 13
 1 1
Bài 7: Cho xy 1, Tính P 
 y2 xy x2 xy
HD:
 1 1 x y x y 
 Ta có: P 1
 y y x x x y xy x y 1 x y 
 x 2x 3y
Bài 8: Cho 3y x 6 , Tính giá trị của A 
 y 2 x 6
HD:
 3y 6 2 3y 6 3y
 Ta có: 3y x 6 x 3y 6 A 3 1 12
 y 2 3y 6 6
 x y z
Bài 9: Tính biểu thức : P với x.y.z =1 và các mẫu khác 0
 xy x 1 yz y 1 xz z 1
HD :
 z x y 
Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của: B 1 1 1 
 x y z 
HD :
 a b
Bài 11:Tình giá trị của biểu thức: A với b> a> 0 và 2a2 2b2 5ab
 a b
HD :
 x2 y2 10 x y
Bài 12: Cho y x 0, , tính giá trị của biểu thức: M 
 xy 3 x y
HD :
 2a 1 5 a 1 2
Bài 13: Cho biểu thức: P , a , Tính giá trị của P biết: 10a 5a 3
 3a 1 3a 1 3 
HD:
 Ta có: 2a 1 3a 1 5 a 3a 1 6a2 2a 3a 1 15a 5 3a2 a 3a2 15a 6
P 2 2
 3a a 3a 1 3a 12 9a 1
 Mặt khác 10a2 5a 3 9a2 a2 5a 3 Thay vào P ta được :
 3a2 15a 6
 P 3
 a2 5a 2
 2015a b c
Bài 14: Cho abc=2015, Tính A 
 ab 2015a 2015 bc b 2015 ac c 1
HD :
 a2bc b c
 A 
 ab a2bc abc bc b abc ac c 1
 a2bc b c ac c 1
 1
 ab 1 ac c b c 1 ac ac c 1 ac c 1
 a b 2c
Bài 15: Cho abc=2, Tính B 
 ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
HD :
 a b abc2 a b abc2
B 1
 ab a abc bc b 1 ac abc2 abc a b 1 bc bc b 1 ac 1 bc b 
 a b c
Bài 16: Cho abc=1, Tính A 
 ab a 1 bc b 1 ac c 1
HD :
 a2bc b c a2bc b c
 A 1
 ab a2bc abc bc b abc ac c 1 ab 1 ac c b c 1 ac ac c 1
 a b 2012c
Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính B 
 ab a 2012 bc b 1 ac 2012c 2012
HD :
 a b abc2 a b abc2
 B 1
 ab a abc bc b 1 ac abc2 abc a b 1 bc bc b 1 ac 1 bc b 
 1 1 1
Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì 1
 1 x xy 1 y yz 1 z zx
HD :
 xyz xyz 1 xyz xyz 1
VT 1 VP
 xyz x2 yz xy xyz y yz 1 z zx xy z xz 1 y xz 1 z 1 z zx 2010x y z
Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: 1
 xy 2010x 2010 yz y 2010 xz z 1
HD :
 x2 yz y z
 VT 1
 xy x2 yz xyz yz y xyz xz z 1
Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : abc 2016 
 2bc 2016 2b 4032 3ac
 P 
 3c 2bc 2016 3 2b ab 3ac 4032 2016a
 x 2xy 1 y 2yz 1 z 2zx 1
Bài 21: Tính GTBT P biết xyz 1
 x xy xz 1 y yz yx 1 z zx zy 1
HD :
 yz x 2xy 1 xz y 2yz 1 xy z 2zx 1 
 P 
 yz x xy xz 1 xz y yz xy 1 xy z zx xy 1 
 1 y y 1 z 1 z z 1 x 1 x x 1 y 
 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 
 y 1 1 1 z 1 x
 1 y 1 z 1 x 1 x 1 z 1 y 1 x
 y 1 1 z 1 x
 3
 y 1 1 z x 1
 a 10 16a2 40ab
Bài 22: Cho , Tính A 
 b 3 8a2 24ab
HD :
 100 10 50
 16. b2 40. b2
 a 10 10
 a b A 9 3 9 5
 100 10 10
 b 3 3 8. .b2 24. .b2
 9 3 9
Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a b c 0 , CMR: a3 b3 c3 3abc
HD :
 Ta có : a b c a b 3 c3 a3 b3 3ab a b c3 a3 b3 c3 3abc
Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a3 b3 c3 3abc , CMR: a b c 0
HD :
 Ta có : a3 b3 c3 a b c a2 b2 c2 ab bc ac 3abc
 Vì a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0
 Mà a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 ( Mâu thuẫn vì 
 a b c )
 Nên a b c 0
 3 3 3 a b c 
Bài 25: Cho a b c 3abc, a,b,c 0 , Tính P 1 1 1 
 b c a HD :
 Ta có : a3 b3 c3 a b c a2 b2 c2 ab bc ca 3abc , Mà 
a3 b3 c3 3abc Nên 
 a b b c a c c a b
 TH1 : a b c 0 P . . . . 1
 b c a b c a
 TH2 : a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b c P 1 1 1 1 1 1 8
 a b b c c a a b c 
Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và , Tính B 1 1 1 
 c a b b c a 
HD :
 a b b c c a 2 a b c 
 Từ gt 
 c a b a b c
 a b b c a c c a b
 TH1 : Nếu a b c 0 B . . . . 1
 b c a b c a
 a b b c a c 2c 2a 2b
 TH2 : nếu a b c 0 gt 2 B . . . . 8
 b c a b c a
 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b c 
Bài 27: Cho a b b c c a 3a b c , Tính A 1 1 1 
 b c a 
HD :
 Đặt 
 ab x
 3 3 3 a b b c c a y z x z x y
 bc y x y z 3xyz x y z 0 A . . . .
 b c a bc ac ab
 ac z
 ab bc ac
 . . 1Hoặc : x y z a b c A 8
 bc ac ab
 a b c b c a c a b
Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn: . Tính 
 c a b 
 a b c 
A 1 1 1 
 b c a 
HD :
 a b c b c a c a b a b c
 Từ gt=> 
 c a b a b c
 a b b c a c
 TH1 : a b c 0 A . . 1
 a c a
 TH2 : a b c 0 gt 1 a b 2c,b c 2a,c a 2b A 8
 ax by c
 3 3 3
Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn: bx cy a , CMR : a b c 3abc
 cx ay b
HD :
 Cộng theo vế của gt=> a b c x a b c y a b c a b c x y 1 0 TH1: a b c 0 a3 b3 c3 3abc
 TH2: x y 1 a b c a3 b3 c3 3abc
 a2 b2 c2
Bài 30: Cho a3 b3 c3 3abc và a b c 0 , Tính giá trị N 
 a b c 2
HD:
 3a2 1
 Từ gt a b c N 
 9a2 3
 xyz
Bài 31: Cho x3 y3 z3 3xyz , Rút gọn A 
 x y y z z x 
HD:
 xyz x3 1
 Từ gt=>TH1: x y z 0 A 1 TH 2 : x y z A 
 xyz 2x.2x.2x 8
Bài 32: Rút gọn : A a b 2c 3 b c 2a 3 c a 2b 3
HD:
 Đặt: a b 2c x,b c 2a y,c a 2b z
 A x y z x2 y2 z2 xy yz zx a b 2c b c 2a c a 2b x2 y2 z2 ... 0
 1 1 1 1 1 1
Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 , Rút gọn: A 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD:
 1 1 1
 Ta có: 0 ab bc ca 0 a2 2bc a2 bc ab ca a b a c 
 a b c
 Tương tự: b2 2ac b a b c ,c2 2ba c a c b 
 1 1 1 c b a c b a
 Khi đó: A 0
 a b a c b a b c c a c b a b b c c a 
 1 1 1 1 1 1
Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và 0 , Tính P 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD :
 1 1 1 bc ac ab
Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 , Rút gọn: B 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD:
 Theo bài 26 =>
 bc ac ab ab c b ac a c ab b a 
 B 
 a b a c b a b c c a c b a b b c c a 
 Phân tích tử => B
 1 1 1 a2 b2 c2
Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 ,Rút gọn: C 
 a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab
HD: Theo bài 26 
 a2 b2 c2 a2 c b b2 a c c2 b a 
 C 
 a b a c b c b a c a c b a b b c c a 
 Phân tích tử =>C
 1 1 1 bc ac ab
Bài 37: Cho a,b,c 0, và 0 , Tính A 
 a b c a2 b2 c2
HD:
 1 1 1 1 1 1 3
 Từ gt = 0 
 a b c a3 b3 c3 abc
 abc abc abc 1 1 1 3
 Khi đó: A 3 3 3 abc 3 3 3 abc. 3
 a b c a b c abc
 1 1 1 yz xz xy
Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và 0, Tính A 
 x y z x2 2yz y2 2xz z2 2xy
HD:
 ab bc ac
Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c 0, Rút gọn A 
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
HD:
 Từ a b c 0 a b c a2 b2 2ab c2 a2 b2 c2 2ab
 Tương tự: b2 c2 a2 2bc,c2 a2 b2 2ac , Khi đó:
 ab bc ac 3
 A 
 2ab 2bc 2ac 2
 a2 b2 c2
Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn B 
 a2 b2 c2 b2 a2 c2 c2 a2 b2
HD:
 Từ a b c 0 b c a b2 c2 2bc a2 a2 b2 c2 2bc , 
 Tương tự: b2 a2 c2 2ac,c2 a2 b2 2ab , Khi đó:
 a2 b2 c2 1 3abc 3
 B a3 b3 c3 
 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2
 1 1 1
Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn A 
 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
HD:
 Từ: a b c 0 b c a b2 c2 2bc a2 b2 c2 a2 2bc
 Tương tự: c2 a2 b2 2ac,a2 b2 c2 2ab , Khi đó: 
 1 1 1 1 a b c 
 A 0
 2bc 2ac 2ab 2 abc a2 b2 c2
Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn A 
 bc ca ab
HD:
 a3 b3 c3 3abc
 Từ a b c 0 a3 b3 c3 3abc , khi đó: A 3
 abc abc abc abc
 1 1 1 yz xz xy
Bài 43: Cho 0, x 0, y 0, z 0 , Tính giá trị của biểu thức: 
 x y z x2 y2 z2
HD: 
 1 1 1
 Với a ,b ,c , Áp dụng kết quả câu a ta có: 
 x y z
 1 1 1 3 yz zx xy xyz xyz xyz 1 1 1 3
 3 3 3 2 2 2 3 3 3 xyz 3 3 3 xyz. 3
 x y z xyz x y z x y z x y z xyz
 1 1 1
Bài 44: Cho a+b+c=1, 0 , CMR: a2 b2 c2 1
 a b c
HD:
 Từ a b c 1 a2 b2 c2 2 ab bc ca 1, (1)
 1 1 1 ab bc ca
 Mà: 0 0 ab bc ca 0 , thay vào (1)=> ĐPCM
 a b c abc
 1 1 1 1 1 1
Bài 45: Cho x,y,z 0, Thỏa mãn: x y z xyz và 3 , Tính A 
 x y z x2 y2 z2
HD:
 Từ: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z 
 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3
x y z x y z xy yz zx x y z xyz 
 Nên A 2 3 A 1
 1 1 1 1 1 1
Bài 46: Cho a,b,c 0 và 2 , và a b c abc , CMR: 2
 a b c a2 b2 c2
HD:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 
 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4
 a b c a b c ab bc ca a b c abc 
 a b c
Bài 47: Cho a b c 0, x y z 0 và 0 , CMR: a.x 2 b.y 2 c.z 2 0
 x y z
HD:
 1 1 1
Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a b c 3 và 0 , Tính 
 a b c
A a2 b2 c2
HD:
 Từ: a b c 3 a2 b2 c2 2 ab bc ca 9 , (1) 1 1 1
 Mà: 0 ab bc ca 0 thay vào (1) A 2.0 9 A 9
 a b c
 1 1 1 1 1 1
Bài 49: Cho 2 và a b c abc , Tính A 
 a b c a2 b2 c2
HD:
 1 1  1 1 1 1 1 1 
 Từ: 2 2 2 2 2 4
 a b c a b c ab bc ca 
 a b c 
 A 2 4 A 2 4 A 2
 abc 
 1 1 1 1 1 1
Bài 50: CMR: Nếu 3 và a+b+c=abc Thì ta có: 7
 a b c a2 b2 c2
HD:
 x y z a b c x2 y2 z2
Bài 51: Cho 1 và 0 , Tính A 
 a b c x y z a2 b2 c2
HD:
 x y z x2 y2 z2 xy yz zx cxy ayz bzx 
 Từ: 1 2 2 2 2 1 A 2 1 
 a b c a b c ab bc ca abc 
(1)
 a b c
 Mà: 0 ayz bxz cxy 0 thay vào (1) ta được: A 2.0 1 A 1
 x y z
 x y z a b c a2 b2 c2
Bài 52: Cho 0, 2 , Tính A 
 a b c x y z x2 y2 z2
HD:
 a b c a2 b2 c2 ab bc ca abz bcx cay 
 Từ: 2 2 2 2 2 A 2 2 
 x y z x y z xy yz zx xyz 
(1)
 x y z
 Mà: 0 bcx acy abz 0 thay vào (1) ta được: A 2.0 2 A 2
 a b c
 a b c b2 c2 a2
Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc 1 và , CMR trong ba 
 b2 c2 a2 a b c
số a,b,c phải có 1 số bằng bình phương số còn lại
HD:
 a b c b2 1 c2 1 a2 1
 Đặt: x , y , z , , xyz 1 và 
 b2 c2 a2 a x b y c z
 1 1 1
 x y z xy yz zx
 x y z
 Xét tích: x 1 y 1 z 1 0 x 1, y 1, z 1. Với x 1 a b2 (ĐPCM)
 2 2 2 2 2 2
 x y z x y z a b c 
Bài 54: Cho 0, Rút gọn: A 
 a b c ax by cz 2