Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Bất đẳng thức (Có đáp án)

 BẤT ĐẲNG THỨC
I. Các kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b ( a b;a b;a b ) là một bất đẳng thức
 A B  A B 0
 A B  A B 0
2. Các tính chất
 a b
a. Bắc cầu: a c
 b c
b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a b a c b c
Hệ quả 1: a b a c b c
c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bđt cùng chiều với bđt đã cho
 a b
  a c b d ( lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế )
 c d 
d. Nhân cả hai vế của bddt với cùng một số
 a b a b
 a b
 a b;c 0 a.c b.c (c 0)
 Hệ quả: c c 
 a b;c 0 a.c b.c a b 
 a b
 (c 0)
 c c
 a b
e. Trừ từng vế của bđt ngược chiều: a c b d
 c d
f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: a b 0;c d ac bd
g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: 
- a b 0 an bn - a b an bn (n :le)
- a b  an bn (n : chan)
h. Lấy căn
 a b 0,n N * n a n b
 1 Hệ quả: a,b 0,co : a b  a2 b2 ;a,b 0 a b  a2 b2
i. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bđt nếu hai vế cùng dấu
 1 1
- a b 0 0 
 a b
 1 1
- a b,ab 0 
 a b
II. Các hằng đẳng thức
1. a2 0; a 2 0 2. a 0  a 0
3. a a  a 0 4. a b a b  ab 0
 ab 0
5. a b a b  
 a b
III. Các bổ đề hay sử dụng
 a b
1. a2 b2 2ab 2. ( )2 ab  (a b)2 4ab(cosi)
 2
 1 1 4 a b
3. (a,b 0) 4. 2(a,b 0)
 a b a b b a
5. (a2 b2 )(x2 y2 ) (ax by)2 (bunhiacopski)
 2 IV. Các dạng toán
Dạng 1: Dùng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương
- Để chứng minh: A B ta xét A – B và chứng minh A B 0 
Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 ab bc ca(1)
Lời giải
 (1)  2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung)
Dấu “ = ” xảy ra  a b c
Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: (ab bc ca)2 3abc(a b c)(1)
Lời giải
 (1)  a2b2 b2c 2 c2a2 a2bc ab2c abc2 0  2(...) 0  (ab bc)2 (bc ca)2 (ca ba)2 0
Dấu “ = ” xảy ra  ab bc;bc ca;ca ab  a b c
Bài 3: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)a,b,c,d,e R
Lời giải
 a2 a2 a2 a2
 a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)  ab b 2 ac c2 ad d 2 ae e2 0
 4 4 4 4
 a a
  ( b)2 ... ( e)2 0(dung)
 2 2
 a b c b a c
Bài 4: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 a b c.CMR : 
 b c a a c b
Lời giải
Xét hiệu: 
 a b c b a c 1 1
 (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2 ) (a2c b2c) (b2a ab2 ) (c2b ac2 ) 
 b c a a c b abc abc 
 1 1
 c(a b)(a b) ab(a b) c2 (a b) (a b)(b c)(c a) 0(do : 0 a b c)
 abc abc
 a b c 1 1 1
Bài 5: Chứng minh rằng: 2( ) với a, b, c > 0
 bc ac ab a b c
 3 Lời giải
 a b c bc ac ab
Xét hiệu:  2( ) 0  a2 b2 c2 2bc 2ca 2ab 0  (a b c)2 0
 bc ac ab abc abc abc
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a b 2 thì a3 b3 a 4 b4 
Lời giải
Xét hiệu: a 4 b4 a3 b3 a3 (a 1) b3 (b 1) a3 (a 1) (a 1) (a 1) b3 (b 1) (b 1) (b 1)
 (a 1)(a3 1) (b 1)(b3 1) a b 2 (a 1)2 (a2 a 1) (b 1)2 (b2 b 1) a b 2 0 0 0 0
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a,b,c ta luôn có: a 4 b4 c4 abc(a b c) 
Lời giải
 1
 a 4 b4 c4 abc(a b c) a4 b 4 c4 a2bc b2ac c2ab (2a4 2b4 2c4 2a2bc 2b2ac 2c2ab)
 2
 1
 (a4 2a2b2 b4 ) 2a2b2 (a4 2a2c2 c4 ) 2a2c2 (b4 2b2c2 c4 ) 2b2c2 a2bc b2ac c2ab 
 2 
 1
 (a2 b2 )2 (a2 c2 )2 (b2 c2 )2 (a2b2 b2c2 2ab2c) (b2c2 c2a2 2abc2 ) (a2b2 c2a2 2a2bc) 
 2 
 1
 (a2 b2 )2 (b2 c2 )2 (c2 a2 )2 (ab bc)2 (bc ca)2 (ab ac)2 0a,b,c
 2 
 4 Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương
- Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được 
chứng minh là đúng
- Nếu A B  C D , với C < D luôn đúng
Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, CMR:
 b2
a. a 2 ab b. a2 b2 1 ab a b
 4 
 a2 b2 c2 a b c
c. a2 4b2 4c2 4ab 4ac 8bc d. ( )2
 3 3
Lời giải
 b2
a.  a 2 ab 0  4a2 b2 4ab  (2a b)2 0(dung)
 4
b. a2 b2 1 ab a b  2(a2 b2 1) 2(ab a b)  (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0  a b 1
c.  (a2 4ab 4b2 ) 4c2 (4ac bc) 0  (a 2b)2 2(a 2b).2c (2c)2 0  (a 2b 2c)2 0
 a2 b2 c2 a b c
d. ( )2  3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
 3 3
  (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(dung)
 1 1 1
Bài 2: Cho ba số a,b,c R thỏa mãn: abc = 1 và a b c 
 a b c
a. Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) 0 
b. Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1
Lời giải
a. Ta có: 
 (a 1)(b 1)(c 1) 0  abc ab bc ca a b c 0  abc (a b c) (ab bc ca) 0 1 (a b c)
 (ab bc ca) 0(1)
 1 1 1 ab bc ca
và a b c  a b c  a b c ab bc ca(2)
 a b c abc
Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh
 5 b. Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1 abc 1 ( mâu thuẫn với giả thiết )
Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1.
Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 )(1) 
Lời giải
 (1)  (a10 b10 )(a2 b2 ) (a8 b8 )(a4 b4 ) 0  a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b a4b8 b12 0
  (a10b2 a8b4 ) (a2b10 a4b8 ) 0  a8b2 (a2 b2 ) a2b8 (a2 b2 ) 0  (a2 b2 )2 a2b2 (a4 a2b2 b4 ) 0
 a b c
Bài 4: Chứng minh rằng: 1 2(a,b,c 0) 
 a b b c c a
Lời giải
 1 1 a a
Ta có: a b a b c 
 a b a b c a b a b c
 b b c c a b c
Tương tự: ; . Vậy 1(*)
 b c a b c a c a b c a b b c c a
 a a c b a b c c b
Lại có: a a b ; ; 
 a b a b c b c a b c c a a b c
 a b c
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: 2(**) dpcm
 a b b c c a
Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ].
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3 
Lời giải
 a3b2 b3c2 c3a2 a2b3 b2c3 c2a3  a3b2 a2b3 b3c2 c2a3 c3a2 b2c3 0
 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3
  a b (a b) c (b a ) c (a b ) 0  (a b) a b c (b ab a ) c (a b) 0
  (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 0(luon.dung)
Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ].
 a 5(a2 1) 11
Chứng minh rằng: 
 a2 1 2a 2
Lời giải
 6 a 5(a2 1) 11 a 1 5(a2 1) (a 1)2 5a2 a 5 (a 1)2 (a 1)2 9(a2 1)
  5 0  . 0  .
 a2 1 2a 2 a2 1 2 2a 2(a2 1) a(a2 1) 2 2a(a2 1)
(nhan.voi.2) 0,dau" "  a 1
Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ]
 x2 y2 x y
Chứng minh rằng với mọi số thực x, y 0 ta có 4 3( )(1) 
 y2 x2 y x
Lời giải
 x2 y2 x y x y x y x y x y x y
(1)  4 3( ) 0  ( )2 2( ) ( ) 2 0  ( 2)( 1) 0
 y2 x2 y x y x y x y x y x y x
 (x y)2 (x2 xy y2 ) 2(x y)2 (x2 xy y2 ) (x y)2 (2x2 2xy 2y2 )
  0  0  0
 x2 y2 x2 y2 x2 y2
 (x y)2 (x2 y2 (x y)2 )
  0(luon.dungx, y)  x y 0
 x2 y2
Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ]
Cho a 4,b 4.CMR : a2 b 2 ab 6(a b)
Lời giải
Do a 4,b 4 a 4 0;b 4 0
Đặt x a 4(x 0); y b 4(y 0) (1)  (x 4)2 (y 4)2 (x 4)(y 4) 6(x y 8)
  x 2 y2 xy 6(x y) 0(dung.do : x, y 0)  x y 0  a b 4
Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ]
 4x2 y2 x2 y2
Cho hai số thực x, y 0,CMR : 3(1) 
 (x2 y2 )2 y2 x2
Lời giải
 4x2 y2 x2 y2 4x2 y2 (x2 y2 )2 x4 y4 2x2 y2 (x2 y2 )2 (x2 y2 )2
(1)  1 2 0  0  0
 (x2 y2 )2 y2 x2 (x2 y2 )2 x2 y2 (x2 y2 )2 x2 y2
 2 2 2 2 2 4 4 2 2
 2 2 2 1 1 2 2 2 (x y ) x y 2 2 2 x y x y
  (x y ) . 2 2 2 2 2 0  (x y ) . 2 2 2 2 2 0  (x y ) . 2 2 2 2 2 0  x y
 x y (x y ) x y (x y ) x y (x y )
 7 Bài 10: [ Lớp 9 ]
 2a a2 b2 a b
Cho các số thực a,b. Chứng minh rằng: ab (1)
 a b 2 2
Lời giải
 a2 b2
 2 2 2 ab 2
 a b 2a (a b) a b (a b)
Ta có: ; ab 2 
 2 a b 2(a b) 2 a2 b2 a2 b2 
 ab 2 ab 
 2
 2 
 2 
 (a b) 1 1
(1)  0  (a b)2 2a 2b 2(a2 b2 ) 2 ab 0
 2 a2 b2 a b 
 ab 
 2 
  2a 2b 2(a2 b2 ) 2 ab 0(*)
 (a b)2 (a b)2
- Ta có: a b 2 ab ( a b)2 ;a b 2(a2 b2 ) 
 ( a b)2 2(a2 b2 ) (a b)
 2
 1 1 
(*)  (a b) 0  (a b)2 2(a2 b2 ) a b ( a b)2 0
 2 2 2 
 ( a b) 2(a b ) (a b) 
 2(a2 b2 ) 4ab 2(a b)4
  (a b)2 2(a2 b2 ) 2 ab 0  (a b)2. 0  0  a b
 2(a2 b2 ) 2 ab 2(a2 b2 ) 2 ab
 8 Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu )
 1 1 4 1 1 1 9
- - 
 a b a b a b c a b c
 1 1 1 n2
- ...  a1 a2 ... ana,a1,.....,an 0
 a1 a2 an a1 a2 ... an
 1 1 1 3 3 3
Bài 1: Cho a, b, c > 0. CMR: 
 a b c a 2b b 2c c 2a
Lời giải
 1 1 1 9
Áp dụng bất đẳng thức dạng: ( tự chứng minh bđt)
 a b c a b c
 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9
 ; ; 
 a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: VT VP  a b c
 2 3 4 5 6 7
Bài 2: Cho a, b, c > 0. CMR: 4( ) 
 a b c a b c a b c
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức dạng: 
 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1
 2. 2( ); 3. 3.( ); 4. 4( )
 x y x y a b a b a b a b c a c a a c c a b c b c b c b c
Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 
 2 3 4 5 6 7
 4( ) 
 a b c a b c a b c
 a b c 1
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1) 
 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3
Lời giải
 3a 3b 3c 3a 3b
(1) 1  ( 1) ( 1) (..) 4
 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a 4b 4c b 4c 4a
 1 1 1 1 1 1 1
 4(a b c)( ) 4  (2)
 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c
 1 1 1 9
Áp dụng bất đẳng thức: 
 x y z x y z
 9 9 1
Ta được: VT (2) . dpcm
 9(a b c) a b c
 a b c
Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c 3. Tìm GTLN của A 
 1 2a 1 2b 1 2c
Lời giải
 2a 2b 2c 1 1 1
Cách 1: 2A 1 1 1 3 B
 1 2a 1 2b 1 2c 1 2a 1 2b 1 2c
 1 1 1 9
 B 1
 1 2a 1 2b 1 2c 3 2(a b c)
 2A 3 B 2 A 1  a b c
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 
 9 1 1 1 9 1 1 1 1 1 2 a a 2
 (1 ) 
 x y z x y z 1 a a 1 a a 1 2a 9 a 1 2a 9 9
 b b 2 c c 2
Tương tự: ; 
 1 2b 9 9 1 2c 9 9
 a b c 6
Cộng ba vế của bất đẳng thức ta được: A 1  a b c
 9 9
 ab bc ca a b c
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 
 a b 2c b c 2a c a 2b 4
Lời giải
 4 1 1
Áp dụng bất đẳng thức: 
 x y x y
 1 1 1 1 1 1 1 1
VT ab. bc. ca. ab( ) bc(...) ca.(...)
 (a c) (b c) ... ... 4 a c b c 4 4
 1 bc ca ab bc ab bc a b c
 ( ) 
 4 a b b c a c 4
 1 1
Bài 6: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTNN: A 
 abc a2 b2 c2
Lời giải
 1 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9
 ; 9
 abc abc ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca (a b c)2
 10