Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phân thức đại số (Có đáp án)

 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Các bài toán về biểu thức nguyên
1. (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca)
2. an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 ... bn 1)
3. a2n b2n (a b)(a2n 1 a2n 2b a2n 3b2 ... b2n 1)
4. an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 ... bn 1)
 n(n 1)
5. Nhị thức Newton: (a b)n an n.an 1.b an 2b2 ... bn
 2
Bài 1: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính A = a4 + b4 + c4
Lời giải:
Ta có: a b c 0 (a b c)2 0 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 14 2(ab bc ca)
 ab bc ca 7(1)
Lại có: a2 b2 c2 14 a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2 142 169(2)
Từ (1) a2b2 b2c2 c2a2 2ab2c 2a2bc 2abc2 49 a2b2 b2c2 c2a2 2abc(a b c) 49
 a2b2 b2c2 c2a2 49 (2) : a4 b4 c4 142 2.49 98
Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Tính A (x 1)2019 y2020 (z 1)2021
Lời giải :
Từ : x y z 0 x2 y2 z2 2(xy yz zx) 0 x2 y2 z2 0 x y z 0
 A 12019 02020 12021 0
Bài 3 : Cho x + y + z = 0 , chứng minh rằng
a. (x2 y2 z2 )2 2(x4 y4 z4 ) b. 5(x3 y3 z3 )(x2 y2 z2 ) 6(x5 y5 z5 )
c. 2(x5 y5 z5 ) 5xyz(x2 y2 z2 )
Lời giải:
a. (x2 y2 z2 )2 x4 y4 z4 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 )(1)
 1 x y z 0 x2 y2 z2 2(xy yz zx) (x2 y2 z2 )2 4(xy yz zx)2 (2)
Từ (1)(2) x4 y4 z4 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) 4(x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xy2 z 2x2 yz 2xyz2 )
 4[x2 y2 y2 z2 z2 x2 2(x y z)]=4(x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) x4 y4 z4 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 )
 
 =0
Thay vào (1), ta được : (x2 y2 z2 )2 2(x4 y4 z4 )
 1
b. VT x5 y5 z5 x2 y2 (x y) x2 z2 (x z) y2 z2 (y z)
 5
 1
Từ x y z 0 x y z; x z y; y z x VT x5 y5 z5 xyz(xy yz zx)(1)
 5
 x2 y2 z2
x y z 0 (x y z)2 0 x2 y2 z2 2(xy yz zx) xy yz zx 
 2
Theo câu a, ta có : x3 y3 z3 3xyz khi x + y + z = 0 
 x2 y2 z2 x3 y3 z3
 (xy yz zx).xyz . (2)
 2 3
Thay vào (1), ta được : 5(x3 y3 z3 )(x2 y2 z2 ) 6(x5 y5 z5 )(*)
c. Ta có : x3 y3 z3 3xyz , thay vào (*), ta được : 
5.3xyz(x2 y2 z2 ) 6(x5 y5 z5 ) 5xyz(x2 y2 z2 ) 2(x5 y5 z5 )(dpcm) 
Bài 4 : Chứng minh rằng
 3 3 3 2 2 2
a. 2(a b c 3abc) (a b c) (a b) (b c) (c a) 
b. (a b)(b c)(c a) 4abc c(a b)2 a(b c)2 b(c a)2
Lời giải :
a. VP (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
1
 VT a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3ab(a b) 3abc (a b)3 c3 3ab(a b c)
2
 (a b c)[(a+b)2 (a b)c c2 3ab] (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) VT VP
 2 b. VT 6abc ca2 ac2 ab2 a2b bc2 b2c
VP 6abc ca2 ac2 ab2 a2b bc2 b2c VT
Bài 5 : Cho a + b + c = 4m. Chứng minh rằng
a. 2ab b2 a2 c2 16m2 8mc
 a b c a c b a b c
b. ( )2 ( )2 ( )2 a2 b2 c2 4m2
 2 2 2
Lời giải:
a. VT (a b)2 c2 (4m c)2 c2 16m2 8mc VP
 a b c
b. Từ a b c 4m a b c 4m 2c 2m c
 2
Tương tự: 
VT (2m c)2 (2m b)2 (2m a)2 a2 b2 c2 12m2 4m(a b c) a2 b2 c2 4m2 VP
Bài 6: 
a. Cho (x y z)(xy yz zx) xyz(*),CMR : x2019 y2019 z2019 (x y z)2019
b. Nếu x y z6 A (x y)(y z)(z x) 2xyz6
Lời giải:
a. Theo (*)
 (x y z)(xy yz zx) xyz 0 xy2 x2 y xyz xyz y2 z z2 y x2 z xz2 xyz xyz 0
 xy(x y) yz(x y) z2 (x y) xz(x y) 0 (x y)(xy yz z2 xz) 0
 x y 0 x y
 (x y)(y z)(z x) 0 y z 0 y z
 z x 0 z x
Giả sử: x y x2013 y2013 x2013 y2013 z2013 z2013;(x y z)2013 z2013 dpcm
b. Theo câu a, ta có: 
 (x y z)(xy yz zx)
(x y)(y z)(z x) (x y z)(xy yz zx) xyz A xyz
 3
Vì x y z6 x y z là số chẵn 1 trong 3 số x, y, z là số chẵn 3xyz6 A6 
 3 Bài 7 : Cho a2 b2 c2 a3 b5 c7 1 . Tính A a2 b9 c1945 
Lời giải :
Ta có : a2 b2 c2 1 0 a2 1 a 1 1 a 1; 1 b,c 1
 2 2 3 a 0
 1 a 1 a (1 a) 0 a a ,'' '' 
 a 1
 3 3 2 2 5 b 0
 1 b 1 b 1 (1 b ).b 0 b b ,'' '' 
 b 1
 2 7 c 0
Tương tự : c c ,'' '' 
 c 1
Mặt khác ta lại có : a2 b2 c2 a3 b5 c7 1 a2 a3;b2 b5;c2 c7 a,b,c
Có 1 số = 1 và 2 số = 0 A 1
Bài 8 : Tìm các số a, b, c sao cho : x3 ax2 bx c (x a)(x b)(x c)x R
Lời giải:
Ta có: (x a)(x b)(x c) (a b c)x2 (ab bc ac)x abc x3 x3 ax2 bx c
 a b c a b c 0
 b c 0,a
 ab bc ca b a(b c) bc b bc b 
 a b 1;c 1
 abc c c(1 ab) 0
Bài 9: Cho a, b thỏa mãn: a3 3a2 5a 17 0;b3 3b2 5b 11 0.TinhA a b
Lời giải:
(a3 b3 ) 3(a2 b2 ) 5(a b) 6 0 (a b)3 3ab(a b) 3[(a b)2 2ab] 5(a b) 6 0
 (a b)3 3(a b)2 5(a b) 6 3ab(a b) 6ab 0
 (a b)3 3(a b)2 5(a b) 6 3ab(a b 2) 0(a b 2 a b 2 0)
 (a b)3 2(a b)2 (a b)2 2(a b) 3(a b) 6 3ab(a b 2) 0
 (a b)2 (a b 2) (a b)(a b 2) 3(a b 2) 3ab(a b 2) 0
 4 2 a b 2 0
 (a b 2)[(a+b) (a b) 3 3ab] 0 2
 (a b) (a b) 3 3ab 0
 A 2
 2 2 2 2
 a ab b a b 3 0 2a 2ab 2b
 2a 2b 6 0
 A 2
 2 2 2 A 2.
 (a b) (a 1) (b 1) 4 0(voly)
Bài 10: Chứng minh rằng A x8 x7 x5 x3 1 0
Lời giải:
+) Xét x 1 x7 (x 1) 0 x8 x7 ; x3 (x2 1) 0 x5 x3 A 1 0
+) 0 x 1 1 x3 0; x5 (1 x2 ) 0 1 x3; x5 x7 A x8 1 x3 x5 x7 0 A 0
 x7 0
+) x 0 
 3
 x 0
- x 1 x5 (x3 1) 0 x8 x5 0 A 1
- 1 x 0 1 x5 0 A 0
Vậy A > 0 với mọi x.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho: A(x) x4 ax3 bx2 8x 4 là bình phương của đa thức 
B(x) x2 cx d 
Lời giải:
 2c a
 2
 2 2 2 4 3 2 2 2 2 c 2d b
[B(x)] (x cx d) x 2cx (c 2d)x 2cdx d A(x) B (x) 
 2cd 8
 2
 d 4
+) d 2 c 2;a 4;d 8
 5 +) d 2 c 2,a 4,b 0
Bài 2: Cho a3 3ab2 19;b3 3a2b 98. Tính E a2 b2 
Lời giải:
Ta có: (a3 3ab2 )2 192 a6 6a4b2 9a2b4 ;982 (b3 3a2b) b6 6b4a2 9a4b2
192 982 a6 b6 3a4b2 3a2b4 (a2 b2 )3 a2 b2 3 9965
Bài 3: Chứng minh rằng: A x12 x9 x4 x 1 0x R
Lời giải
 x9 (x3 1) 0
+) Với x 1 A 1 0x R
 3
 x(x 1) 0
 x 0
+) Với x 0 9 A 0
 x 0
 1 x 0
+) Với 0 x 1 A 0
 4 9 4 5 Do dấu “ = ’’ không xảy ra
 x x x (1 x ) 0
Bài 4: Chứng minh rằng
a. Nếu a + b + c ≥ 0 thì a3 b3 c3 3abc 0(a,b,c R)
b. a4 b4 c4 d 4 4abcd 0a,b,c,d R
Lời giải
a. Có: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
mà: a b c 02(gt);(a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab;a2 c2 2ac;b2 c2 2bc
 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca 0
b. a4 b4 c4 d 4 4abcd a4 b4 2a2b2 c4 d 4 2c2d 2 2a2b2 2c2d 2 4abcd
 (a2 b2 )2 (c2 d 2 )2 2(ab cd)2 a,b,c,d R
 6 CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
 3a 2b 3b a
Bài 1: a. Cho a – 2b = 5. Tính giá trị biểu thức A 
 2a 5 b 5
Lời giải
 3(2b 5) 2b 3b (2b 5)
Ta có: a 2b 5 a 2b 5 A 2
 2(2b 5) 5 b 5
 5a b 3b 2a
b. Biết 2a – b = 7. Tính B 
 3a 7 2b 7
 Lời giải
2a b 7 b 2a 7 B 2
 2a b 5b a
c. Biết 10a2 3b2 5ab 0;9a2 b2 0 . Tính C 
 3a b 3a b
Lời giải
 (2a b)(3a b) (5b a)(3a b) 3a2 15ab 6b2
C (1)
 (3a b)(3a b) 9a2 b2
Từ giải thiết: 
 3a2 3(3b2 10a2 ) 6b2 27a2 3b2
10a2 3b2 5ab 0 5ab 3b2 10a2 A 3
 9a2 b2 9a2 b2
 a b
d. Cho 3a2 3b2 10ab và b a 0. Tính D 
 a b
Lời giải
Cách 1: Từ 
 2 2 2 2 b 3a a 3a 1
3a 3b 10ab 3a 3b 10ab 0 (3a b)(a 3b) 0 A 
 a 3b(loai) a 3a 2
 (a b)2 a2 2ab b2 3a2 3b2 6ab 1 1
Cách 2: A2 A 
 (a b)2 a2 2ab b2 3a2 3b2 6ab 4 2
 7 a b 0 1
Do b a A 0 A 
 a b 0 2
 x2 25 y 2
e. Biết x2 9y 2 4xy 2xy x 3 . Tính E :
 x3 10x2 25x y2 y 2
Lời giải
 2 2 2 x 3y 0 x 3 8
Có: x 9y 4xy 2xy x 3 (x 3y) x 3 0 A 
 x 3 0 y 1 3
 1
Bài 2: Cho x 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
 x
 1 1 1 1
a. A x2 b. B x3 c. C x4 d. D x5 
 x2 x3 x4 x5
Lời giải
 1 1 1
a. A x2 2.x. 2 (x )2 2 7
 x2 x x
 1 1 1
b. B x3 ( )3 (x )(x2 1 ) 3.6 18
 x x x2
 1 1 1 1
c. C x4 x4 2.x2. 2 (x2 ) 2 2 47
 x4 x4 x2 x2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
d. D x5 ( )5 (x )(x4 x3. x2. x. ) (x )(x4 x2 1 )
 x x x x2 x3 x4 x x4 x2
 3.(47 7 1) 123
 1 1 1 1
Cách 2: (x2 )(x3 ) x5 x 123
 x2 x3 x x5
 1 1
Bài 3: Cho x2 4x 1 0 . Tính A x5 và B x7 
 x5 x7
Lời giải
Có: x2 4x 1 0 x2 1 4x x 0
 1
Chia cả hai vế cho x ta được: x 4
 x
 8 1 1 1
Ta có: (x )2 x2 2 16 x2 14
 x x2 x2
 1 1 1 1 1 1
(x )3 x3 3.x. .(x ) x3 3.4 43 x3 52
 x x3 x x x3 x3
 1 1 1 1 1 1
 (x2 )(x3 ) x5 x 4 x5 x5 ...
 x2 x3 x x5 x5 x5
 x x2 x2
Bài 4: Cho 2008. Tính M và N 
 x2 x 1 x4 x2 1 x4 x2 1
Lời giải
Có: x4 x2 1 (x2 x 1)(x2 x 1); x 2008(x2 x 1)(1)
Từ: 
 x
 2008 x 2008(x2 1) 2008x 2009x 2008(x2 1) 2009x 2008x 2008(x2 x 1)
x2 x 1
 4017x 2008(x2 x 1)(2)
Lấy (1).(2) được: 
 4017x2 20082
4017x2 20082 (x4 x2 1)(*) 20082 4017.M 20082 M 
 x4 x2 1 4017
 20082
(*) x2 (x4 x2 1) M (x4 x2 1) x2 M (x4 x2 1 2x2 ) x2 M (x4 x2 1) 2Mx2
 4017
 (1 2M )x2 M
 (1 2M )x2 M (x4 x2 1) M (1 2M ).N M N 
 x4 x2 1 1 2M
 x y z a b c a b c
Bài 5: Cho 0(1); 2(2) . Tính A ( )2 ( )2 ( )2
 a b c x y z x y z
Lời giải
 x y z bcx acy abz
Ta có: 0 0 bcz acy abx 0(3)
 a b c abc
 a b c a b c a b c ab ac bc
Từ (2) 2 ( )2 4 ( )2 ( )2 ( )2 2( ) 4
 x y z x y z x y z xy xz yz
 9 a b c a b c a b c ab ac bc
 2 ( )2 4 ( )2 ( )2 ( )2 2( ) 4
x y z x y z x y z xy xz yz
 a b c abz acy bcx
 ( )2 ( )2 ( )2 2( ) 4(4)
 x y z xyz
 a b c
Thay (3) vào (4), ta được: A ( )2 ( )2 ( )2 4
 x y z
 a2 b2 c2
Bài 6: Biết a3 b3 c3 3abc và a b c 0. Tính A 
 (a b c)2
Lời giải
Ta có: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) a2 b2 c2 ab bc ca 0
 3a2 1
 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c A 
 (3a)2 3
 bc(y z)2 ac(z x)2 ab(x y)2 ax by cz 0
Bài 7: Tính A 2 2 2 , biết 
 ax by cz a b c 25
Lời giải
Đặt M bc(y z)2 ac(z x)2 ab(x y)2 by2 (a c) cz2 (a b) ax2 (b c) 2(bcyz acxz abxy)
Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c
M by2 (a b c) cz2 (a b c) ax2 (a b c) 2(......) b2 y2 c2 z2 a2 x2
 (a b c)(by2 cz2 ax2 ) 2(...) (b2 y2 c2 z2 a2 x2 )
Lại có : 
(ax by cz) 2 0 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2(abxy acxz bcyz) 0 M (a b c)(by2 cz2 ax2 )
 A a b c 25
 a b 2c
Bài 8: Cho a.b.c = 2, rút gọn : A 
 ab a 2 bc b 1 ac 2c 2
Lời giải
 a b 2c a 2 ab
A (nhanvoi : a)
 ab a 2 bc b 1 ac 2c abc ab a 2 ab a 2 abc ab a
 10