Chuyên đề bồi dưỡng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên (Có đáp án)

 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa phép chia hết
Với a,b Z(b 0);q,r Z sao cho a bp r(0 r b ) 
+) Nếu r 0 ab
+) Nếu r 0 a/ b
2. Một số tính chất: a,b,c,d Z
+) Nếu a 0 aa;0a +) Nếu ab;bc ac
+) Nếu ab;ba a b +) Nếu ab;ac aBCNN[a,b]
+) Nếu ab;ac;(b,c) 1 abc +) Nếu ab acb(c Z)
3. Một số định lý thường dùng
+) Nếu ac;bc (a b)c +) Nếu ac;bd abcd
+) ab an bn (n Z )
4. Một số hệ quả áp dụng
+) a,b Z;n Z an bn a b
+) a,b Z và n chẵn n Z an bn a b 
+) a,b Z và n lẻ n Z an bn a b B. Các dạng toán
Dạng 1: Đưa về dạng tổng các bình phương
- Cơ sở của phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết 
được dưới dạng tổng các bình phương
- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng bình phương của các biểu thức chứa ẩn, vế 
còn lại là tổng bình phương của các số nguyên ( Số số hạng của hai vế là bằng nhau )
Ta sẽ đi giải các phương trình tương ứng sau
 A2 m2 A2 n2 A2 p2
 2 2 2 2 2 2
 B n ; B m ; B m
 2 2 2 2 2 2
 C p C p C n
Bài 1: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: 5x 2 4xy y2 169(1) 
Lời giải
 (2x y)2 x2 122 52 (1)
(1) 4x2 4xy y2 x2 144 25 169 0 
 2 2 2 2
 (2x y) x 13 0 (2)
 2 2
 (2x y) 12 x 5 x 5
 2 2 ; 
 x 5 y 2 y 22
Giải (1) 
 2 2 
 (2x y) 5 x 12 x 12
 ; 
 2 2 y 19 y 29
 x 12 
 2 2
 (2x y) 13 x 0
 2 2 
 x 0 y 13
Giải (2) 
 2 2 
 (2x y) 0 x 13
 2 2 y 26
 x 13 
(x, y) (5; 2),(5; 22),( 5,2);( 5,22),(12; 19),(12; 29),( 12;19),( 12;29),(0;13),(0; 13),(13;26),( 13; 26)
Bài 2: Tìm x, y, z Z thỏa mãn: x2 y2 x y 8(1) 
Lời giải
 2 2
 (2x 1) 3 x 2; x 1
 2 2 
 (2y 1) 5 y 3; y 2
(1) 4x2 4x 4y2 4y 32 (2x 1)2 (2y 1)2 52 32 
 2 2 
 (2x 1) 5 x 3; x 2
 2 2 y 2; y 1
 (2y 1) 3 Vậy (x, y) (2,3),(2; 2),( 1;3),( 1; 2),(3,2),(3; 1),( 2,2),( 2; 1)
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8y2 8xy 4y 8 0 
Hướng dẫn: 
 4x2 8y2 8xy 4y 8 0  (2x 2y)2 (2y 1)2 9 02 32
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 5y2 2y 4xy 3 0 
Hướng dẫn: 
 x2 5y2 2y 4xy 3 0  (x 2y)2 (y 1)2 4 22 02
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x 6 y2 2x3 y 64 
Hướng dẫn: 
 2x 6 y2 2x3 y 64  t 2 (t y)2 64(t x3 )
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x2 1)(x2 y2 ) 4x2 y 
Hướng dẫn: 
(x2 1)(x2 y2 ) 4x2 y  x4 x2 y2 x2 y2 4x2 y (x2 y)2 x2 (y 1)2 0
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 y2 2xy 2y 6x 5 0 
Hướng dẫn: 
 2x2 y2 2xy 2y 6x 5 0  (x2 2xy y2 ) 6x 2y x2 5 0  (x y)2 2(x y) 4x x2 5 0
  (x y 1)2 (x 2)2 0
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 2y2 2z2 4xy 4xz 2yz 6y 10z 34 0 
Hướng dẫn: 
  (2x)2 4x(y z) (y2 2yz z2 ) (y2 6y) (z2 10z) 34 0  (2x x y)2 (y2 6y 9) (z2 10z 25) 0
  (2x y z)2 (y 3)2 (z 5)2 0
BTVN
a. x2 4y2 115 2x
b. x 2 y2 z2 xy 3x 2z 4 Dạng 2: Đưa về phương trình ước số ( phương trình tích )
- Cơ sở: thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn phân tích được thành nhân 
tử
- Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng một vế là tích của các đa thức chứa ẩn, vế còn lại là 
tích của các số nguyên ( Số nhân tử của hai vế bằng nhau )
 A.B.C m.n.p(m,n, p Z) giải các phương trình tương ứng 
 A m A n A p
 B n ; B p ; B m
 C p C m C n
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 4x 5y 6xy 7 0(1)
Lời giải
 (1) 6xy 4x 5y 7 0 2x(3y 2) 5y 7 0 6x (3y 2) 5(3y 2) 11
 (3y 2)(6x 5) 11.1 1.11 ( 1)( 11) ( 11)( 1) 4 :TH (x, y) (1,1);( 1; 3)
Bài 2: Tìm x, y Z , thỏa mãn x3 y3 91(1) 
Lời giải
 (1) (x y)(x2 xy y 2 ) 91.1 13.7
Ta có: x2 xy y2 0 4 :TH (x, y) ( 5; 6);(3; 4);(4; 3)
Bài 3: Tìm x, y Z , thỏa mãn x2 x y2 0(1) 
Lời giải
 (1) 4x2 4x 4y2 0 (2x 1)2 (2y)2 1 (2x 2y 1)(2x 2y 1) 1 1.1 ( 1)( 1)
 2x 2y 1 1 x 0
+) 
 2x 2y 1 1 y 0
 2x 2y 1 1 x 1
+) (x, y) (0;0);( 1;0)
 2x 2y 1 1 y 0
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
a. 3xy x y 1 b. 2x2 3xy 2y2 7 c. 2xy2 x y 1 x2 2y2 xy d. 3x 2 y2 4xy 8x 2y 0 
e. x2 3y2 2xy 2x 4y 7 0 
Lời giải
a. 3xy x y 1 3(3y 1) y 1 (3y 1)3x 3y 3 (3y 1)(3x 1) 2
 3y - 1 2 1 - 1 - 2 Vậy (x, y) (0,1);( 1,0)
 3x + 1 1 2 - 2 - 1
 x 0 1 - 1 2
 3 3
 y 1 2 0 1
 3 3
b. 2x2 3xy 2y2 7 2x2 4xy xy 2y2 7 (x 2y)(2x y) 7
 2x - y 7 1 - 1 - 7
 X + 2y 1 7 - 7 - 1
 x 3 9 9 - 3
 5 5
 y -1 13 13 7
 5 5
c. 2xy2 x y 1 x2 2y2 xy 2xy2 x y 1 x2 2y2 xy 0 (x 1)(2y2 x y) 1 1.( 1) ( 1).1
 x 2; y 1(tm)
 x 1 1 
+) 2 1
 2y x y 1 x 2; y (loai)
 2
 x 1 1 x 0
+) 2 
 2y x y 1 y ...
d. 3x 2 y2 4xy 8x 2y 0 4x2 y2 1 4xy 4x 2y x2 4x 4 3 (2x y 1)2 (x 2)2 3
 (x y 3)(3x y 1) 3 1.( 3) ( 1).3 ( 3).1 3.( 1) 4 :TH
e. x2 3y2 2xy 2x 4y 7 0 (x y 1)2 (2y 1)2 7 (x 3y 2)(x y) 7 
 (x, y) (2;1),(5; 2),( 6,1);( 3,2) 
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 2(x y) 5 3xy 
Lời giải
 2 4
 2(x y) 5 3xy 3xy 2x 2y 5 y(3x 2) (3x 2) 5 (3x 2)(3y 2) 19
 3 3 Do x, y nguyên dương 3x 2 1;3y 2 1
Mà: 19 = 19 . 1 = 1 . 19
 3x 2 1 x 1 3x 2 19 x 7
+) +) 
 3y 2 19 y 7 3y 2 1 y 1
Vậy (x, y) (7,1);(1,7)
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 x 6 y2
Lời giải
 x2 x 6 y2 4x2 4x 24 4y2 (2x 1)2 4y2 23 (2x 2y 1)(2x 2y 1) 23
 4 :TH (x, y) (5,6);(5, 6);( 6, 6);( 6,6)
 2
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x xy 6x 5y 8
Lời giải
 (y 6)2 (y 6)2
 x 2 xy 6x 5y 8 x2 x(y 6) 5y 8 0 x2 x(y 6) 5y 8 0
 4 4
 4x2 4x(y 6) (y 6)2 (y 6)2 4(5y 8) 0 2x (y 6)2 (y 6)2 4(5y 8) 0
   
 A
 A2 y2 12y 36 20y 32 y2 8y 4 A2 (y 4)2 12 (y 4 A)(y 4 A) 12
Có: y – 4 – A và y – 4 + A có cùng tính chẵn lẻ nên chúng cùng phải chẵn vì 12 chẵn
 y – 4 – A 2 -2 6 -6 
 y – 4 + A 6 -6 2 -2
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x 2 5xy 2y2 7x 8y 1(1)
Lời giải
 2 2 m 2n 7 m 3
 2x 5xy 2y (x 2y)(2x y);7x 8y m(x 2y) n(2x y) (m 2n)x (2m n)y 
 2m n 8 n 2
Đặt a x 2y;b 2x y (1) ab 3a 2b 1 (a 2)(b 3) 7 4 :TH (x, y) (3,2);( 3, 4)
Bài 9: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho 
a. A x2 3x 10 là số chính phương b. B x2 2x 4 là số chính phương
c. B x2 2x 7 là số chính phương
Lời giải
a. Theo giả thiết: 
 x2 3x 10 y2 (y N) 4x2 12x 40 4y2 (2x 3)2 31 (2y)2 (2y 2x 3)(2y 2x 3) 31
Vì 2y 2x 3 2y 2x 3 4y 0
 2y 2x 3 1 2y 2x 3 31
+) TH1: +) TH2: x 9;6 
 2y 2x 3 31 2y 2x 3 1
b. B x2 2x 4 y2 (y N) (x 1)2 y2 5 (x 1 y)(x 1 y) 5 1.5 5.1 ( 1).( 5) ( 5).( 1)
 4 :TH x 2;4
c. B x2 2x 7 y2 (y N) (x 1)2 6 y2 (y x 1)(y x 1) 6 1.6 2.3 6.1 3.2 ( 1)( 6) ..
Sau đó xét các trường hợp và vô nghiệm
Cách khác: 
Ta có: y x 1 (y x 1) 2x 22 cungtinhchanle
+) Nếu y x 1 lẻ y + x – 1 lẻ tích là lẻ nên loại
+) Nếu y x 1 chẵn y + x – 1 chẵn tích chia hết cho 4, mà 6 không chia hết cho 4 nên 
cũng loại. Vậy không tồn tại x
Bài 10: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho: x(x 1)(x 7)(x 8) là số chính phương?
Lời giải
Theo giả thiết x(x 1)(x 7)(x 8) y2 (y N) a(a 7) y2 4a2 28a 4y2 (2a 7)2 49 (2y)2
 (2a 7 2y)(2a 7 2y) 49
Ta có: 2a 7 2y 2a 7 2y;49 72 cac :TH
 x 1
+) 1 và 49 
 x 9
+) 7 và 7 x 0; x 8
+) -7 và -7 x 1; x 7 +) - 49 và – 1 x 4
Vậy x 1; 9;0; 8; 1; 7; 4
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
a. x3 y3 1 6xy(1) b. x3 y3 9xy 1 
Lời giải
Ta có: a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c 2 ab bc ca)
 (1) x3 y3 23 3.x.y.2 7 (x y 2)(x2 y2 4 xy 2x 2y) 7
Lại có: 2(x2 y 2 4 xy 2x 2y) (x y)2 (x 2)2 (y 2)2 2 :TH
 (x y)2 3xy 2(x y) 4 7 x y 1
+) (x, y) (0, 1);( 1,0)
 x y 2 1 xy 0
 (x y)2 3xy 2(x y) 4 1 x y 5 y 5 x
+) (x, y) (2,3);(3,2)
 x y 2 7 xy 6 x(5 x) 6
Vậy phương trình có 4 nghiệm
b. Ta có: x3 ( y3 ) 33 3.3.x.( y) 28 (x, y) (1,3);( 3, 1)
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 2xy 6 
Hướng dẫn
 1 11
 x y 2xy 6  x(1 2y) y 6  x(1 2y) y  2x(1 2y) (2y 1) 11  (2x 1)(2y 1) 11
 2 2
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 3y 11 
Hướng dẫn
 y y2 y2 2x y y 3
 x2 xy 3y 11  (x2 2x. ) ( 3y) 11  ( )2 ( )2 2  (2x y)2 (y 3)2 8
 2 4 4 2 2
  (2x y y 3)(2x y y 3) 8
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 25 y(y 6) 
Hướng dẫn x2 25 y(y 6)  x2 (y 2 6y) 25 x2 (y 3)2 16  (x y 3)(x y 3) 16
Nhận xét: x y 3 x y 3 2x2 hai số đều chẵn
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x(x 1)(x 2)(x 3) y2 
Hướng dẫn
  (x2 3x)(x2 3x 2) y2 (a 1 y)(a 1 y) 1(voi.a x2 3x) 
DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 9
 f (x, y) / c
Nội dung: f (x, y).g(x, y) c 
 g(x, y) / c
Bài 1: [ Ams 2014 ]. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y xy 2x2 3x 4 0(1)
Lời giải
 (1) x(xy y 2x 3) 4 x / 4 x 1; 2; 4
Sau đó thay vào phương trình y ....
Hoặc ta nhận xét như sau: 
 xy(x 1) (2x2 3x 4) 0 (x 1)xy (2x 1) 5 (x 1) / 5 (x 1) 1; 5 x .. y ..
Bài 2: [ Chuyên KHTN 2015 vòng 1]
Tìm n để n + 5 và n + 30 đều là các số chính phương ( n Z )
Lời giải
 n 5 a2
Đặt (a,b N) b2 a2 (b a)(b a) 25
 2
 n 30 b
 b a 1;5
Ta có nhận xét sau: b a Z;b a b a;(b a) / 25 
 b a 25;5
 b a 1 a 12
+) 
 b a 25 b 13
 b a 5 a 0
+) 
 b a 5 b 5
Bài 3: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình a. 8x 37 y3 b. 2 x 57 y2
Lời giải
a. 8x 37 y3 (2x )3 y3 37 (2x y)(22x 2x y y2 ) 37
 2x y 0
Nhận xét: 22x 2x.y y 2 0 2x y 1;37
 x 
 2 y / 37
Lại có: 
 2x y 1 2x y 1
2 x y 22x 2x y y 2 (1 y)2 (1 y)y y2 37 x .. y ..
 2x x 2 2x x 2
 2 2 y y 37 2 2 y y 37
b. 2 x 57 y2 y 2 2x 57
+) Nếu x là số lẻ x 2k 1(k N) 2x 22k 1 2.4k
Có 4 1(mod3) 4k 1(mod3) 2.4k  2(mod3) 2x 57  2(mod3) y2  2(mod3) 2.4k  2(mod3)
 2 x 57  2(nod3) y2  2(mod3) voly x : chan x 2k(k N)
 y2 (2k )2 57 (y 2k )(y 2k ) 57 3.19
 y 2k 0 y 2k 19 y 2k 3 y 11 y 29
Mà: ; ;
 k k k k 
 y 2 y 2 y 2 3 y 2 19 x ... x ...