Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Quy Nhơn (Có đáp án)

 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mụn: Toỏn 8
 Thời gian: 150 phỳt
Bài 1 (4.0 điểm):
a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cựng của hai số tự nhiờn n và n5 là như nhau.
b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x thỏa món x2 x p 0 ; với p là số nguyờn số.
Bài 2: (3.0 điểm):
a) Cho ba số a, b, c khỏc 0 và thỏa món a b c 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
 1 1 1
 P 
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức sau:
 x2 2x 2016
 A x4 2x3 3x2 4x 2015; B 
 x2
Bài 3 (3.0 điểm):
 1 1 1 1 1
 Cho biểu thức: P 
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20
a) Tỡm điều kiện của x để biểu thức P cú giỏ trị.
b) Rỳt gọn biểu thức P
c) Tỡm giỏ trị của P khi x thỏa món x3 x2 2 0
Bài 4 (4.0 điểm):
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng:
 ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca)
b) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x; y) thỏa món
 10x2 50y2 42xy 14x 6y 57 0
Bài 5 (4.0 điểm)
Cho M là một điểm bất kỡ nằm trong hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng 1
a) Chứng minh rằng: MA2 MB2 MC 2 MD2 2
b) Xột điểm M nằm trờn đường chộo AC, kẻ MN  AB tại N, gọi O là trung điểm của AM. Chứng 
minh rằng: CN 2 2.OB2 .
Bài 6 (2.0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú àA Bà . Trờn cạnh BC lấy điểm Hsao cho Hã AC ãABC . Đường phõn giỏc 
của Bã AH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẻ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh 
rằng: CF//AE
 Hướng dẫn
Bài 1 (4.0 điểm):
a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cựng của hai số tự nhiờn n và n5 là như nhau.
b) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn x thỏa món x2 x p 0 ; với p là số nguyờn số.
 Giải
 a) n5 n n(n2 1)(n2 1) (n 1)n(n 1)(n2 1)
 (n 2)(n 1)n(n 1)(n 2) 5n(n 1)(n 1)
Ta cú (n 2)(n 1)n(n 1)(n 2)25
 5n(n 1)(n 1)25
 n5 n10
Chữ số tận cựng của hai số tự nhiờn n và n2 là như nhau
b) P x2 x x(x 1)
Vỡ x(x 1)2 p2 p 2 x(x 1) 2 x2 x 2 0
 x2 2x x 2 0
 x(x 2) (x 2) 0
 (x 1)(x 2) 0
 x 1
 x 2
Bài 2: (3.0 điểm):
a) Cho ba số a, b, c khỏc 0 và thỏa món a b c 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức:
 1 1 1
 P 
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của cỏc biểu thức sau:
 x2 2x 2016
 A x4 2x3 3x2 4x 2015; B 
 x2
 Giải
 a) a b c 0
 a b c
 (a b)2 c2
 a2 b2 c2 2ab
TT c2 b2 a2 2cb
 a2 c2 b2 2ac
 1 1 1 1 a b c 
 P 0
 2ab 2bc 2ac 2 abc 
 A x4 2x3 3x2 4x 2015
 A x4 2x3 x2 2x2 4x 2 2013
 A x2 (x2 2x 1) 2(x2 2x 1) 2013
 (x 1)2 (x2 2) 2013
GTNN của A là 2013 tại x 1
 2
 x2 2x 2016 (x 1)2 2015 x 1) 2015 2015
 B 2 2 2 2
 x x x x x
 2
 x 1) 
 0 2015
GTNN B khi x Vậy GTNN B 2015
 1
 x 1
Bài 3 (3.0 điểm):
 1 1 1 1 1
 Cho biểu thức: P 
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20
a) Tỡm điều kiện của x để biểu thức P cú giỏ trị.
b) Rỳt gọn biểu thức P
c) Tỡm giỏ trị của P khi x thỏa món x3 x2 2 0
 Giải: 1 1 1 1 1
 P 
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 20
 1 1 1 1 1
 x(x 1) (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5)
 x 0;1;2;3;4;5
a) ĐKXĐ 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 P 
 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5
 1 1
b) 
 x x 5
 x3 x2 2 0
 x3 x2 2x2 2 0
 x2 (x 1) 2(x 1)(x 1) 0
c) (x 1)(x2 2x 2) 0
 x 1 0
 x 1
 5
Thay x 1vào P ta được P 
 6
Bài 4 (4.0 điểm):
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng:
 ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca)
b) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x; y) thỏa món
 10x2 50y2 42xy 14x 6y 57 0
 Giải
a) Vỡ a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc 
 a b c
 a2 b2 c2 2ab
TT : a2 c2 b2 2ac; c2 b2 a2 2cb(1)
 (a b)2 0
 a2 b2 2ab
TT c2 b2 2cb; a2 c2 2ac
 a2 b2 c2 ab bc ac (2)
Từ (1) và (2) ab bc ac a2 b2 c2 2(ab bc ac)
 10x2 50y2 42xy 14x 6y 57 0
 2 2 2 2
b) 9x 49y 42xy x 14x 49 y 6y 9 1 0
 (3x 7y)2 (x 7)2 (y 3)2 1 B H A
 x 7 0
 x 7
 y 3 0 
 y 3
 3x 7y 0 M
Bài 5 (4.0 điểm)
Cho M là một điểm bất kỡ nằm trong hỡnh vuụng ABCD cú cạnh 
bằng 1
a) Chứng minh rằng: MA2 MB2 MC 2 MD2 2
 C K D b) Xột điểm M nằm trờn đường chộo AC, kẻ MN  AB tại N, gọi O là trung điểm của AM. Chứng 
minh rằng: CN 2 2.OB2 .
 Giải.
a) Kẻ HK vuụng gúc với AB, DC và HK đi qua điểm M
 MA2 HA2 HM 2
 MB2 HB2 HM 2 B N A
 MC 2 KC 2 KM 2
 2 2 2 O
 MD KD KM H
 MA2 MB2 MC 2 MD2 HA2 HB2 KC 2 KD2 2(HM 2 KM 2 ) M
 (HA HB)2 (KC KD)2
 (HM KM )2
 2 2
 1 1
 1 2
 2 2 C D
 MA2 MB2 MC 2 MD2 2
Dấu “=” xả ra khi HA = HB; KC = KD; HM = KM
b)
 MH  BC MH NB
Kẻ tại H 
 AMN
 vuụng cõn cú O là trung điểm của AM
 ON 2 1
 MN 2 2.ON 2 (1)
 MN 2 2
 2 2
 2 2 MH 1 NB 1
 MHC MC 2MH 2 2 (2)
 vuụng cõn ở H MC 2 MC 2
 ON NB
 (3)
Từ (1) và (2) suy ra MN MC
 OB ON OB2 ON 2
 ONB ∽ NMC (c g c) (4)
 NC MN NC 2 MN 2
 2
 OB 1 2 2
 2 NC 2.OB
Từ (1) và (4) NC 2
Bài 6 (2.0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú àA Bà . Trờn cạnh BC lấy điểm Hsao cho Hã AC ãABC . Đường phõn giỏc 
của Bã AH cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẻ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh 
rằng: CF//AE
 Giải
 x
Gọi Cx là tia đối của tia CA F
 CAH CBA
Xột và cú C
 ãACH chung
 à à H
 A1 B (gt)
 1 2 E
 CAH ∽ CBA (g g) 3
 A B
 CH AH M
 (1)
 CA BA
 AH HE
 (2)
Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc vào tam giỏc HBA ta cú AB EB
Áp dụng Menelaus vào tam giỏc HAB cỏc điểm M, E, F MB FA EH EH FH
 . . 1 (3)
 MA FH EB EB FA
 CH FH
Từ (1) (2) (3) CA FA
 CH FH
 AHC 
 cú CA FA theo tớnh chất phõn giỏc ngoài ta cú 
 ãACH
CF là phõn giỏc ngoaig 
 1
 xãCF Bã CF Bã Cx
 2
 Bã Cx àA Bà
Áp dụng tớnh chất gúc ngoài cuat tam giỏc ABC cú
 1 àA 2àA àA
 xãCF (àA Bà ) 1 1 1 àA ảA Cã AF
 2 2 1 2
 xãCF Cã AE ( vị trớ đồng vị ) Suy ra CF//AE
Ta được