Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Bến Tre (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 NĂM HỌC: 2020 – 2021
 MÔN: TOÁN LỚP 8 
 Ngày thi 13/03/2021
 Thời gian làm bài: 150phút
 Bài 1: (4 điểm)
 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M x2 x 1 x2 3x 1 x2
 2. Tìm đa thức f x biết rằng: f x chia cho x 3dư 7 , f x chia cho x 3dư3, f x 
 chia cho x2 9 được thương là 2x và còn dư.
 Bài 2: (4 điểm)
 1. Chứng minh rằng số A 20202 20202.20212 20212 là số chính phương.
 2. Chứng minh rằng số B 23n 1 23n 1 1chia hết cho 7 
 Bài 3: (4 điểm)
 4 2
 1. x2 x 1 4x2 x2 x 1 5x4
 2. 3x 2 x 1 2 3x 8 16
 Bài 4: (4 điểm)
 a b b c b c c a c a a b
 1. Chứng minh rằng . . . 1
 a b b c b c c a c a a b
 ax2 1 ay2 1 az2 1
 2. Tính tổng P= 
 (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y)
 Bài 5: (4 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy
 M (MB MA) và trên cạnh BC lấy MOˆN 900 . Gọi E là giao điểm của AN và DC , gọi
 K là giao điểm của ON và BE .
 1. Chứng minh MON vuông cân.
 2. Chứng minh: MN / /BE và CK  BE
 Bài 6: (2 điểm)
 Đường phân giác của các góc tù ở một cạnh đáy của một hình thang cắt nhau tại một 
 điểm thuộc cạnh đáy kia. Tính các cạnh của hình thang, biết chiều cao hình thang bằng 
 12cm, các đường phân giác nói trên dài 15cm và 13cm.
 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 THCS
 Trang 1 THÀNH PHỐ BẾN TRE
 Năm học: 2020-2021
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (4 điểm)
 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M x2 x 1 x2 3x 1 x2
 4. Tìm đa thức f x biết rằng: f x chia cho x 3dư 7 , f x chia cho x 3dư3 , f x 
 chia cho x2 9 được thương là 2x và còn dư.
 Lời giải
 1. M= x2 x 1 x2 3x 1 x2
 2 2 2
 = x 2x 1 x x 2x 1 x x
 = x 1 2 x2 x2
 = x 1 2
 2. Đặt biểu thức dư của phép chia f(x) cho x2 9 là ax b . Vì f(x) chia cho x2 9 được 
 thương là 2x nên:
 f (x) x2 9 .2 ax+b (1)
 Vì f(x) chia cho x 3 dư 7 f(x)= x 3 .A x 7 (A x là một đa thức)
 f(3)=7 (2)
 Vì f(x) chia cho x 3 dư 3 f(x)= x 3 .B x +3 (B x là một đa thức)
 f(-3)=3 (3)
 Thay (2) vào (1) ta có: 7 (32 9).2.3 3a b
 3a b 7
 Thay (3) vào (1) ta có: 3 (( 3)2 9).2.3 3a b
 3a b 3
 3a b b
 3a b 7
 2 (*)
 a 
 3
 b 5
 Thay (*) vào (1) 
 2 52
 f (x) (x2 9).2x x 5 2x3 x 5
 3 3
 Trang 2 Bài 2: 
 1. Chứng minh rằng số A 20202 20202.20212 20212 là số chính phương.
 2. Chứng minh rằng số B 23n 1 23n 1 1 chia hết cho 7 
 Lời giải
 1. Đặt a 2020 a 1 2021
 A a2 a2 (a 1)2 (a 1)2
 a2 a2 (a 1)2 a2 2a 1
 a2 (a 1)2 2a(a 1) 1
 a(a 1) 12
 Vậy A là một số chính phương.
 2. B 23n 1 23n 1 1 (n ∈ N*)
 2.8n 2 3. n 1 2 1chia 7 dư 2, chia 7 dư 4
 2.8n 4.8n 1 1
 Ta có: 8 chia 7 dư 1 8n ,8n 1 chia 7 dư 1
 2.8n chia 7 dư 2, 4.8n chia 7 dư 4
 2.8n 4.8n 1 1 chia hết cho 7
 B chia hết cho 7 
Bài 3: (4 điểm)
 4 2
 a) x2 x 1 4x2 x2 x 1 5x4
 b) 3x 2 x 1 2 3x 8 16
 Lời giải
 4 2
 a) x 1 4x2 x2 x 1 x2 5x4
 Đặt (x2 x 1)2 a; x2 b (a 0;b 0)
 Trang 3 a2 4ab 5b2
 a(a b) 5b(a b) 0
 (a b)(a 5b) 0
 a b 0
 a 5b 0
 • a b 0
 a b
 2
 x2 x 1 x2
 x2 x 1 x
 2
 x x 1 x
 x 1 2 0
 2
 x 1 0
 x 1
 OMN 5b 0
 Vì a 0,b 0 a 5b 0
 a 0
 Dấu “=” xảy ra 
 b 0
 (x2 x 1)2 0
 2
 x 0
 02 0 1 0
 (Vô lí)
 x 0
 Loại
 Vậy S={1}
 2 8 2 
 b) 3x 2 x 1 3x 8 16 x 
 3 3 
 9 x 1 2 25 x 1 2 16
 2
 Đặt x 1 a a 0 Ta có 
 9a2 25 a2 16
 Trang 4 9a 4 9a 2 16a 2 16 0
 9a 2 16 a2 1 0
 16
 a2 
 9
 2
 a 1
 2 16
 x 1 
 9
 2
 x 1 1
 1
 x 
 3
 7
 x 
 3
 x 0
 x 2
 1 7 
Vậy S ; ;0; 2
 3 3 
Bài 4: 
 a b b c b c c a c a a b
 1. Chứng minh rằng . . . 1
 a b b c b c c a c a a b
 ax2 1 ay2 1 az2 1
 2. Tính tổng P= 
 (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y)
 Lời giải
 a b b c b c c a c a a b
 1. Ta có: . . .
 a b b c b c c a c a a b
 a b b c c a b c c a a b c a a b b c 
 = 
 a b b c c a 
 b2 ab bc ac c a c2 ab ac bc a b a2 ab bc ac b c 
 = 
 a b b c c a 
 b2 c a c2 a b a2 b c ab bc ac c a a b b c 
 =
 a b b c c a 
 Trang 5 c a a b c b c b 
 =
 a c b c a b 
 c a a b b c 
 = 1
 a b b c c a 
2. Ta có:
 ax2 1 ay2 1 az2 1
 P= 
 (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y)
 ax2 1 ay2 1 az2 1
 P= 
 (x y)(z x) (x y)(y z) (z x)(y z)
 (ax2 1)(y z) (ay2 1)(z x) (az2 1)(x y)
 (x y)(y z)(z x)
 a(x2 (y z) y2 (z x) z2 (x y))
 (x y)(y z)(z x)
 Từ câu 1) ta suy ra P=-1
 Bài 5: (4 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy
 M (MB MA) và trên cạnh BC lấy MOˆN 900 . Gọi E là giao điểm của AN và DC , gọi
 K là giao điểm của ON và BE .
 3. Chứng minh MON vuông cân.
 4. Chứng minh: MN / /BE và CK  BE
 Lời giải
 Trang 6 OA OB OC OD(t / c)
 1. Xét hình vuông ABCDcó A cắt BD tại O.
 ˆ ˆ ˆ ˆ
 BCD OCB ABC 2OBA
 Ta có:1800 AOC COˆN MOˆN AOˆN
 900 NOC AOˆM 1800
 NOC MOˆA 1800
 Mà 900 AOˆB AOM BOˆM
 NOC BOˆM
 Xét ONC và OBM có:
 COˆN BOˆM
 OC OB
 OCˆN OBˆM
 ONC OBM (g.c.g)
 ON OM
 ∆ â푛 푡ạ푖 . à = 90° 
 OMN vuông cân tại 0 (đpcm)
 DC AN
 DE NE
 2. Xét∆ có NC / / AD; N AE,C DE (2)
 NC CE
 AD DE
 Trang 7 Từ (1) NC MB
Có AB BC CD=DA (do ABCD là hình vuông)
 CE MB
 DE AB
 DE AB
 CE MB
 DC AM
 1 1
 CE MB
 DC AM
 (3)
 CE MB
 AN AM
Từ (2) và (3) 
 NE MB
Xét∆ ó:
N AE, M AB
AN AM 
NE MB  
 MN / /BE (4)
Từ (4) BKˆO MOˆN ( đồ푛 푣ị) 
 BKˆO 450 ( 푣ì ∆ 푣 ô푛 â푛 푡ạ푖 )
 1
 BKˆO OCˆB(OCˆ B DCˆB 450 )
 2
Hay BKˆN OCˆN( N BC OK)
Xét ONC và BNK có:
OCˆN BKˆN
 (cmt)
ONˆC BNˆK
 ONC : BNK(g.g)
 ON CN
 BN KN
 ON BN
 CN KN
Xét ONBvà CNK có:
 Trang 8 ON BK
 CN KN
 ONˆB CNˆK
 ONB : CNK(g.g)
 1
 CKˆN 450 ( do OBˆN OBˆC 450 )
 2
 BKˆC CKˆN BKˆN 450 450 900
 CK  BK CK  BE (đpcm)
Bài 6: (2 điểm)
 Đường phân giác của các góc tù ở một cạnh đáy của một hình thang cắt nhau tại một 
 điểm thuộc cạnh đáy kia. Tính các cạnh của hình thang, biết chiều cao hình thang bằng 
 12cm, các đường phân giác nói trên dài 15cm và 13cm.
 Lời giải
 Giả sử có hình thang ABCD với M là giao điểm 2 đường phân giác, MH=12cm là đường 
 cao, AM=15cm, BM=13cm (AB//CD). AD và BC là 2 cạnh bên.
 Có AB//CDnên:
 BAˆM AMˆD AMˆD DAˆM AM MD
 ˆ ˆ ˆ ˆ
 ABM BMC MBC BMC BC MC
 Xét AMH vuông tại H có: 
 AH 2 HM 2 AM 2
 AH 2 152 122
 AH 9(AH 0)
 Xét BMH vuông tại H có:
 Trang 9 BH 2 HM 2 BM 2
 BH 2 132 122
 BH 5
 AB AH BH 14cm
Xét AH 'D vuông tại H’ ta có:
MD2 AD2 x2 122  7
 x 
 2 2 2 2 
MD (MH x) (AH x) (9 x)  2
 7
 DA MD 9 12,5cm
 2
Tương tự ta tính được BC MC 16,9cm
 CD MD MC 29,4cm
Vậy độ dài các cạnh hình thang là AB 14cm; AD 12,5cm, BC 16,9cm,CD=29,4cm
 Trang 10