Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Cẩm Xuyên (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN CẨM XUYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
 NĂM HỌC: 2020 – 2021
 ĐỀ THI SỐ 5 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8
 Thời gian làm bài: 90 phút
 I. PHẦN ĐIỀN KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm các giá trị a,b thỏa mãn đẳng thức 5a2 b2 2ab 4a 1 0 .
Câu 2: Tìm a để khi chia đa thức f (x) 2x2 x a cho đa thức g(x) x 2 có dư là 1.
Câu 3: Tìm số tự nhiên n để n3 n2 n 1 là số nguyên tố.
Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) có AC  BD . Biết AC 6cm , BD 8cm . Tính chiều 
cao của hình thang.
Câu 5: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x2 y2 3y 2 .
 2x2 xy 3y2
Câu 6: Rút gọn biểu thức A .
 2x2 5xy 3y2
Câu 7: Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy vẽ đường thẳng đi qua A chia tứ giác thành hai phần có diện 
tích bằng nhau. 
Câu 8: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB 5cm , đáy lớn CD 8cm . Đường trung bình của 
hình thang cắt AC, BD tại I, K . Tính độ dài đoạn IK . 
 1 1
Câu 9: Cho các số thực a,b thỏa mãn a2 b4 4 . Tính giá trị biểu thức P a b2 .
 a2 b4
Câu 10: Tìm các số nguyên n để n 2018 và n 2021đều là số chính phương.
 II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
 1 1 1 1
Câu 11: Giải phương trình: .
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18
 1 1 1
Câu 12: Cho x,y,z thỏa mãn 0 . 
 x y z
 1 1 1
 Tính giá trị của biểu thức P .
 x2 2yz y2 2zx z2 2xy
Câu 13: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) . Gọi E là trung điểm của AB; AC cắt ED tại M ; BD 
 cắt EC tại N . Đường thẳng MN cắt AD, EC lần lượt tại P vàQ . Chứng minh 
 AP CQ
 1.
 AD BC
Câu 14: Cho lục giác lồi ABCDEF trong đó các cạnh và các đường chéo của lục giác được tô bởi 
một trong hai màu Xanh (X) hoặc Đỏ (Đ). Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của lục giác là ba 
đỉnh của một tam giác có các cạnh cùng màu.
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
 NĂM HỌC: 2020 – 2021
 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1: Tìm các giá trị a,b thỏa mãn đẳng thức 5a2 b2 2ab 4a 1 0 .
 Lời giải
 Ta có: 5a2 b2 2ab 4a 1 0
 4a2 4a 1 a2 2ab b2 0
 2a 1 2 a b 2 0
 1
 2a 1 0 a 1
 2 a b 
 a b 0 2
 a b
Câu 2: Tìm a để khi chia đa thức f (x) 2x2 x a cho đa thức g(x) x 2 có dư là 1.
 Lời giải
 f (x) 2x2 x a cho đa thức g(x) x 2 có dư là 1
 f ( 2) 1
 2. 2 2 ( 2) a 1
 a 7
 Vậy a 7 thì đa thức f (x) 2x2 x a chia cho đa thức g(x) x 2 có dư là 1.
Câu 3: Tìm số tự nhiên n để n3 n2 n 1 là số nguyên tố.
 Lời giải
 Ta có n3 n2 n 1 n2 n 1 n 1 n 1 n2 1 
 3 2 n 1 1
 Để n n n 1 là số nguyên tố thì 2
 n 1 1
 Với n 1 1 n 2 , suy ra n2 1 5 là số nguyên tố (thỏa mãn)
 Với n2 1 1 n 0, suy ra n 1 1 (không thỏa mãn)
 Vậy Với n 2 thì n3 n2 n 1 là số nguyên tố.
Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) có AC  BD . Biết AC 6cm , BD 8cm . Tính chiều 
cao của hình thang.
 Lời giải
 Trang 2 B A H
 O
 C D
 Kẻ DH  AB H AB 
 Ta có AB//CD (ABCD là hình thang)
 Gọi O là giao điểm của AC và BD
 OA OB
 (định lí Talet)
 OC OD
 OA OC OA OC
 (Tính chất tỉ lệ thức và tinh chất dãy tỉ số bằng nhau)
 OB OD OB OD
 OA OC AC 6 3
 OB OD BD 8 4
 Xét BHD và DOC có:
 B· HD D· OC 90o
 H· BD O· DC (hai góc so le trong, AB//CD )
 Do đó BHD ∽ DOC (TH3)
 BH DH OC DH DH 3 4DH
 BH 
 OD OC OD BH BH 4 3
 Xét DBH vuông tại H có BD2 DH 2 BH 2 (định lí Py-Ta-Go)
 Suy ra
 2
 2 2 4DH 
 8 DH 
 3 
 25
 DH 2 64
 9
 DH 23,04 4,8
Câu 5: Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x2 y2 3y 2 .
 Lời giải
 Ta có x2 y2 3y 2
 x2 y2 3y 2
 x2 y 1 y 2 
 Vì x, y Z nên x2 là số chính phương
 Mà y 1 y 2 là tích hai số nguyên liên tiếp 
 2 y 1 0 y 1
 Do đó để x y 1 y 2 0 thì 
 y 2 0 y 2
 Trang 3 Với y 1 x 0
 Với y 2 x 0
 Với y 1 x 0
 2 2
 Vậy các cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình x y 3y 2 là 0;1 ; 0;2 
 2x2 xy 3y2
Câu 6: Rút gọn biểu thức A .
 2x2 5xy 3y2
 Lời giải
 2x2 xy 3y2 2x2 2xy 3xy 3y2 2x x y 3y x y 
 A 
 2x2 5xy 3y2 2x2 2xy 3xy 3y2 2x x y 3y x y 
 x y 2x 3y x y
 x y 2x 3y x y
Câu 7: Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy vẽ đường thẳng đi qua A chia tứ giác thành hai phần có diện 
tích bằng nhau. 
 Lời giải
 B
 A
 H
 E
 D F C
 K
 Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại E. Gọi F lả trung điểm của 
DE. Kẻ BH  AC, EK  AC
 Xét tứ giác BEKH có 
 BE//HK (BE//AC)
 BH //EK (cùng vuông góc với AC)
 Do đó tứ giác BEKH là hình bình hành
 BH EK
 1 1
 S .AC.BH; S .AC.EK 
 ABC 2 ACE 2
 Suy ra SABC SACE
 Trang 4 Ta có: SABCF SABC SACF SACE SACF SAEF
 Xét AED có AF là đường trung tuyến SADF SAEF
 1
 Suy ra S S S
 ABCF ADF 2 ABCD
 Vậy AF là đường thẳng cần vẽ.
Câu 8: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB 5cm , đáy lớnCD 8cm . Đường trung bình của 
hình thang cắt AC, BD tại I, K . Tính độ dài đoạn IK . 
 Lời giải
 A 6cm B
 M N
 K I
 D 8cm C
 Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình
 AB CD 6 8
 MN //AB;MN 7(cm)
 2 2
 Xét ABD có MA MD, MK //AB 
 K là trung điểm của BD
 MK là đường trung bình của ABD
 1 1
 MK AB .6 3(cm)
 2 2
 1 1
 Chứng minh tương tự, ta tìm được IN AB .6 3(cm)
 2 2
 Ta có MN MK KI IN
 KI MN MK IN 7 3 3 1 cm 
 1 1
Câu 9: Cho các số thực a,b thỏa mãn a2 b4 4 . Tính giá trị biểu thức P a b2 .
 a2 b4
 Lời giải
 Ta có:
 1 1
 a2 b4 4
 a2 b4
 1 1
 a2 2 b4 2 0
 a2 b4
 2 2
 1 2 1 
 a b 2 0
 a b 
 Trang 5 1 a2 1 a 1
 a 0 0 
 a a a 1
 4 
 2 1 b 1 b 1
 b 0 0 
 2 
 b b b 1
 + Với a 1,b 1 P 1 13 2
 + Với a 1,b 1 P 1 13 0
 3
 + Với a 1,b 1 P 1 1 0
 3
 + Với a 1,b 1 P 1 1 2
 Vậy P 2;0;2 .
Câu 10: Tìm các số nguyên n để n 2018 và n 2021đều là số chính phương.
 Lời giải
 Vì n 2018 và n 2021đều là số chính phương nên ta đặt 
 n 1021 a2
 a,b N;a b
 2 
 n 2018 b
 Suy ra a2 b2 n 2021 n 2018 3
 a b a b 3
 a b,a b U (3) 1; 3
 Mà a,b N;a b a b a b 0
 a b 3 a 2
 Suy ra 
 a b 1 b 1
 n 2021 4
 Do đó n 2017
 n 2018 1
 Vậy n 2017 thì n 2018 và n 2021đều là số chính phương.
 II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
 1 1 1 1
Câu 11: Giải phương trình: .
 x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18
 Lời giải
 ĐKXĐ x 4; 5; 6; 7
 1 1 1 1
 x2 9x 20 x211x 30 x2 13x 42 18
 1 1 1 1
 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
 1 1 1 1 1 1 1
 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
 1 1 1
 x 4 x 7 18
 3 1
 x 4 x 7 18
 Trang 6 x 2 11x 28 54
 x 2 11x 26 0
 x 2 x 13 0
 x 2 0 x 2
 (TMĐK)
 x 13 0 x 13
 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
 S 2; 13
 1 1 1
Câu 12: Cho x,y,z thỏa mãn 0 . 
 x y z
 1 1 1
 Tính giá trị của biểu thức P .
 x2 2yz y2 2zx z2 2xy
 Lời giải
 1 1 1 yz xy xz
 Ta có: 0 0
 x y z xyz
 Suy ra yz xy xz 0
 yz xy xz
 xy yz xz
 xz yz xy
 1 1 1 1 1
 Ta có: 
 x2 2yz x2 yz yz x2 xy xz yz x(x y) z(x y) x y x z 
 1 1 1 1 1
 y2 2zx y2 zx zx y2 yz xy zx y(y z) x(y z) y z y x 
 1 1 1 1 1
 z2 2xy z2 xy xy z2 yz zx xy z(z y) x(z y) z y z x 
 Do đó 
 1 1 1 1 1 1
 P 
 x2 2yz y2 2zx z2 2xy x y x z y x y z z x z y 
 y z x z (x y)
 0
 x y x z y z 
Câu 13: Cho hình thang ABCD (AB / /CD) . Gọi E là trung điểm của AB; AC cắt ED tại M ; BD 
 cắt EC tại N . Đường thẳng MN cắt AD, EC lần lượt tại P vàQ . Chứng minh 
 AP CQ
 1.
 AD BC
 Lời giải
 Trang 7 A E B
 P Q
 M N
 D C
 Ta có: AB//CD gt 
 AE//DC; BE//DC
 AM EM AE
 (định lí Talet)
 MC MD DC
 BN EN EB
 và (định lí Talet)
 ND NC DC
 Mà AE EB ( E là trung điểm của AB )
 AE EB EM NE
 MN //DC (định lí Talet đảo)
 DC DC MD NC
 AE EB AM BN AM BN AM BN
 Ta có 
 DC DC MC ND AM MC BN ND AC BD
 AM AP
 Do MN //DC PM //DC 
 AC AD
 CQ ND
 Do MN //DC NQ//DC 
 BC BD
 AP CQ AM ND BN ND BD
 Suy ra 1
 AD BC AC BD BD BD BD
Câu 14: Cho lục giác lồi ABCDEF trong đó các cạnh và các đường chéo của lục giác được tô bởi 
một trong hai màu Xanh (X) hoặc Đỏ (Đ). Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của lục giác là ba 
đỉnh của một tam giác có các cạnh cùng màu.
 Lời giải
 A
 B
 F
 C
 E
 D
 Xét các đoạn thẳng AB, AC, AD, AE,AF
 Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 5 đoạn thẳng khi được tô màu sẽ có ít nhất 3 đoạn cùng 
 màu. Giả sử AC, AD, AE cùng xanh. Khi đó xét ba đoạn EC, CD, DE trong ba đoạn 
 có 1 đoạn tô màu xanh thì ta có được tam giác thỏa mãn đề bài. 
 Trang 8 Nếu cả 3 đoạn EC, CD, DE đều đỏ, suy ra ECD thỏa mãn đề bài. 
Vậy luôn tồn tại ba đỉnh của lục giác là ba đỉnh của một tam giác có các cạnh cùng màu.
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 9