Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Mộc Xuyên (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN MỘC XUYÊN ĐỀ THI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2017 – 2018
 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (3,0 điểm)
 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 4
 Cho biểu thức: A 3 2 :
 x 1 x x 1 x 1 x 1
 1)Rút gọn biểu thức 
 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
Bài 2: (4,5 điểm)
 1) Phân tich đa thức thành nhân tử: x4 64
 x 58 x 162 x 151 x 110
 2)Giải phương trình: 0
 7 31 17 10
 3) Tim số dư trong phép chia đa thức P(x) (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 2015 cho 
 đa thức Q(x) x2 10x 21
Bài 3: (4,5 điểm) 
 1 1 1 2 1
 1) Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn 3 và 9
 a b c ab c2
 Tinh giá tri biểu thức M (a 3 b c)2018
 2)Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của 
 chúng là một số chính phương lẻ.
 1 1 1 1 1
 3) Với n N ,n 2 và M  . Hãy so sánh M với 1
 22 32 42 52 n2
Bài 4: (5,0 điểm) 
 Cho hinh thang cân ABCD(AB / /CD) và AB CD . Gọi M, N,P,Q lần lượt là trung điểm
 CD,AB,DB,CA
 1)Chứng minh NM là tia phân giác của P· NQ
 2)Tính số do các góc của tứ giác MPNQ,biết hinh thang cân ABCD co Cµ Dµ 50 
 3)Chưng minh AC2 BD2 AD2 BC2 2AB.CD
Bài 5: (3,0 điểm) 
 Cho hinh binh hành ABCD có diện tich 12dm2 . Goi M là trung điểm cùa BC, AM cắt 
 BD tai Q . Tính diện tich tứ giác MQDC .
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MỘC XUYÊN
 Năm học: 2017-2018
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (3,0 điểm)
 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 4
 Cho biểu thức: A 3 2 :
 x 1 x x 1 x 1 x 1
 1)Rút gọn biểu thức 
 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
 Lời giải
 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 4
 1)A 3 2 :
 x 1 x x 1 x 1 x 1
 2 2 2
 3x 3 x 1 x x 1 2x2 5x 4
 :
 x3 1 x 1
 x2 x 1 x 1 1
 . 
 x3 1 2x2 5x 4 2x2 5x 4
 1
 Vậy A ( với x 1)
 2x2 5x 4
 2
 2 5 7 7
 2) Ta có 2x 5x 4 2 x với mọi x
 4 8 8
 8
 A với mọi x
 7
 8 5
 Vậy MaxA= khi x 
 7 4
Bài 2: (4,5 điểm)
 1) Phân tich đa thức thành nhân tử: x4 64
 x 58 x 162 x 151 x 110
 2)Giải phương trình: 0
 7 31 17 10
 3) Tim số dư trong phép chia đa thức P(x) (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 2015 cho 
 đa thức Q(x) x2 10x 21
 Lời giải
1) Ta có:
 2
 x4 64 x2 82 2x2 8 2  x2 8 
 2
 x2 8 (4x)2 x2 4x 8 x2 4x 8 
 Trang 2 x 58 x 162 x 151 x 110
 2) 0 
 7 31 17 10
 x 58 x 162 x 151 x 110 
 6 2 3 1 0 
 7 31 17 10 
 x 100 x 100 x 100 x 100
 0
 7 31 17 10
 1 1 1 1 
 (x 100) 0
 7 31 17 10 
 x 100 0 x 100
 Vậy x 100
 3) Ta có (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2015
 2 2 
 x 10x 21 5 x 10x 21 3 2015
 2
 x2 10x 21 3 x2 10x 21 5 x2 10x 21 15 2015
 2
 x2 10x 21 2 x2 10x 21 2000
 Vậy dư của phép chia là 2000
 Bài 3: (4,5 điểm) 
 1 1 1 2 1
 1) Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn 3 và 9
 a b c ab c2
 Tinh giá tri biểu thức M (a 3 b c)2018
 2)Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của 
 chúng là một số chính phương lẻ.
 1 1 1 1 1
 3) Với n N ,n 2 và M  . Hãy so sánh M với 1
 22 32 42 52 n2
 Lời giải
 1 1 1 2 1
1)Từ 3 và 9
 a b c ab c2
 2
 1 1 1 
 ta có 9
 a b c 
 2
 1 1 1 2 1
 2
 a b c ab c
 1 1 1 2 2 2 2 1
 a 2 b2 c2 ab bc ca ab c2
 2 2
 1 1 1 1 
 0
 a c b c 
 Trang 3 1 1 1
 a c b
 a c b
 1 1 1 1 1
 Mà 3 3 c 
 a b c c 3
 Do đó M (a 3 b c)2018 3c 2018 1 2018 1
2) 
 Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k2 và (k 1)2 Ta có: k2 (k 1)2 k2 . 
 2
 (k 1)2 k2 k2 2k 1 k4 2k3 k2 k4 2k3 3k2 2k 1 k2 k 1 [k(k 1) 1]2
 là só chính phương lẻ
3)Ta có
 1 1 1 1
 M  
 22 32 42 n2
 Ta thấy:
 1 1
 22 1.2
 1 1
 32 2.3
 1 1
 n2 (n 1)n
 1 1 1
 M  
 1.2 2.3 (n 1)n
 1 1 1 1 1
 M 1  
 2 2 3 n 1 n
 1
 M 1 1
 n
 M 1
Bài 4: (5,0 điểm) 
 Cho hinh thang cân ABCD(AB / /CD) và AB CD . Gọi M, N,P,Q lần lượt là trung điểm
 CD,AB,DB,CA
 1)Chứng minh NM là tia phân giác của P· NQ
 2)Tính số do các góc của tứ giác MPNQ,biết hinh thang cân ABCD co Cµ Dµ 50 
 3)Chưng minh AC2 BD2 AD2 BC2 2AB.CD
 Lời giải
 Trang 4 A N
 B
 P Q
 O
 D C
 M
1) Do N, P là trung điểm của AB, BD nên NP là đường trung bình ABD
 1
 NP//AD;NP AD (1)
 2
 1
Tương tự QM//AD;QM AD (2)
 2
 1
Từ (1) và (2) ta có tứ giác MQNP là hình bình hành mặt khác NQ BC mà 
 2
 AD BC PN NQ do đo hình bình hành MQNP là hình thoi 
suy ra MN là phân giác P· NQ
2) Ta có Q· MC A· DC 500 ( đồng vị)
 P· MD B· CD 500 ( đồng vị)
 P· MQ 1800 (500 500 ) 800
 3600 2.500
 N· PM N· QM 1000
 2
3) Kẻ AH  DC;BK  DC H,K DC 
=> ABKH là hình chữ nhật
 A
 B
 K
 D H C
 Trang 5 AB HK
 AD2 HA2 AD2 (Pytago)
 AC2 HA2 HC2 (Pytago)
 AC2 AD2 A2 AD2 (HC HD)(AC AD) CD(HC HD)
 Tương tự:
 BD2 BC2 CD(KD KC)
 Cộng vế với vế ta được:
 AC2 BD2 AD2 BC2 CD(HC HD KD AC)
 CD[(HC CC) (KD HQ)] CD(HK KD) CD.2AB 2.AB.CD
 Vậy AC2 BD2 AD2 BC2 2AB.CD
Bài 5: (3,0 điểm) 
 Cho hinh binh hành ABCD có diện tich 12dm2 . Goi M là trung điểm cùa BC, AM cắt 
BD tai Q . Tính diện tich tứ giác MQDC .
 Lời giải
 C
 D
 O
 M
 Q
 B A
 Gọi O là giao điểm AC,BD O là trung điểm BC
 2 1
 => Q là trong tâm tam giác ABC BQ BO BD
 3 3
 1
 Ta có: S  QK  BM
 BQM 2
 1 1 3 1 
SOBC  OH  BC  QK  2BM 3 QK  BM 3SBQM
 2 2 2 2 
 1 1 1
Lạ có: S S S .12 3(dm2 )
 OBC 2 BCD 4 ABCD 4
 1 1 12
 S S .12 S S S 1 5(dm2 )
 BQM 3 OBC 12 MQDC BCD BQM 2
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 6