Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2009-2010 (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Đề chính thức
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN LỚP 9 - BẢNG A
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4,5 điểm): 
	a) Cho hàm số 
	 Tính tại 
	b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 2. (4,5 điểm): 
	a) Giải phương trình: 
	b) Giải hệ phương trình:	
Câu 3. (3,0 điểm):
	Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 4. (5,5 điểm):
	Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: 
	a) 
	b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (2,5 điểm):
	Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:.................................................................................................... Số báo danh:....................
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009 – 2010
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang )
Môn: TOÁN - BẢNG A
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1,
(4,5đ)
a)
(2,0đ)
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
(2,5đ)
 (1)
0,25
Đặt (2) 
0,25
(1) trở thành (3)
Từ (2) thay vào (3) ta được
0,25
 (*)
0,25
Để (*) có nghiệm 
0,25
0,25
Vì hoặc 
0,25
Thay vào (*) 
 Với 
0,25
0,25
 Với 
0,25
0,25
2,
(4,5đ)
a)
(2,5đ)
ĐK hoặc 
0,25
Với thoã mãn phương trình
0,25
Với Ta có 
0,5
0,5
0,25
Dấu "=" Xẩy ra 
0,25
 Vô lý
0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
0,25
b)
(2,0đ)
 ĐK 
0,25
Từ (1) 
0,25
Thế vào (2) ta được:
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Thay vào hệ (I) ta được: 
0,25
3,
(3,0đ)
Ta có 
0,25
0,25
Mà x; y > 0 =>x+y>0
0,25
Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
0,25
Þ x3 + y3 ≥ (x + y)xy
0,25
Þ x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz
0,25
Þ x3 + y3 + 1 ≥ xy(x + y + z) > 0
0,25
Tương tự:	y3 + z3 + 1 ≥ yz(x + y + z) > 0
0,25
	z3 + x3 + 1 ≥ zx(x + y + z) > 0
0,25
Þ
0,25
Þ
0,25
Þ
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 Û x = y = z = 1
0,25
4,
(5,5đ)
a)
(3,0đ)
Ta có:	 (cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O)
0,25
	 (cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O')
0,25
	Þ 
0,25
hay Þ BDMI là tứ giác nội tiếp
0,50
Þ (cùng chắn cung MI)
0,25
mà (cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O)
0,25
Þ 
0,25
mặt khác (chứng minh trên)
0,25
Þ DMBI ~ D ABE (g.g)
0,25
ÞÛ MI.BE = BI.AE
0,50
b)
(2,5đ)
Gọi Q là giao điểm của CO và DE Þ OC ^ DE tại Q
Þ D OCD vuông tại D có DQ là đường cao
Þ OQ.OC = OD2 = R2 (1)
0,50
Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm của AB và OO' Þ OO' ^ AB tại H.
0,50
Xét DKQO và DCHO có chung
Þ DKQO ~ DCHO (g.g)
0,50
Þ 
Từ (1) và (2) 
0,50
Vì OH cố định và R không đổi 
Þ OK không đổi Þ K cố định
0,50
5,
(2,5đ)
DABC vuông cân tại A Þ AD là phân giác góc A và AD ^ BC
Þ D Î (O; AB/2)
0,25
Ta có ANMP là hình vuông (hình chữ nhật có AM là phân giác)
Þ tứ giác ANMP nội tiếp đường tròn đường kính NP
mà H thuộc đường tròn đường kính NP
Þ (1)
0,50
Kẻ Bx ^ AB cắt đường thẳng PD tại E
Þ tứ giác BNHE nội tiếp đường tròn đường kính NE
0,25
Mặt khác DBED = DCDP (g.c.g) Þ BE = PC
mà PC = BN Þ BN = BE Þ DBNE vuông cân tại B
Þ mà (cùng chắn cung BN)
Þ (2)
0,50
Từ (1) và (2) suy ra Þ H Î (O; AB/2)
gọi H' là hình chiếu của H trên AB
lớn nhất Û HH' lớn nhất
0,50
mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cùng thuộc đường tròn đường kính AB và OD ^ AB)
Dấu "=" xẩy ra Û H º D Û M º D
0,50
Lưu ý:	- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.