Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Phú Hải

PHÒNG GD&ĐT PHÚ VANG
 TRƯỜNG THCS PHÚ HẢI
ĐỀ THI HSG TOÁN 8
Năm học: 2018 - 2019
Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------------
Bài 1(3 điểm). Cho a – b = 5 và a.b = 2. Tính : 
A = a3 – b3
B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5)
Bài 2(4 điểm). 
Tìm GTLN của các biểu thức: A = – (x + 2)4 + 3(x – 1)2 + x(x + 22) – 5.
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x2 – 3x + 1)(x2 + 2x + 1) – 6x2
Bài 3(4 điểm).
Giải phương trình : 
Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + + 32019 – 22019. 
Bài 4 (5 điểm). 
Cho tam giác ABC nhọn. Trên các đường cao BE, CF, lần lượt lấy các điểm I, K sao cho AIC = 900 và AKB = 900.
Chứng minh AF. AB = AE. AC
Chứng minh AI = AK
Cho A = 600, SABC = 120cm2. Tính diện tích tam giác AEF.
Bài 5 (2 điểm). 
 Tìm x để biểu thức A = + 1 có giá trị không âm.
Bài 6 (2 điểm). 
Cho tam giác đều ABC. M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN. Xác định vị trí của M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .
-------------------------------------Hết-----------------------------------
ĐÁP ÁN
Bài
Nội dung
Điểm
1
(3đ)
A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2 
= (25 + 2.2)2 – 2.22 
= 833
a5 – b5 = (a2 + b2)(a3 – b3) + a2b3 – a3b2
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a)
= [(a – b)2 + 2ab] . (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a)
= (25 + 4) . 5. (25 + 6) – 4.5
=4475
Vậy B = 3. 833 + 2 . 4475 = 11449
1đ
0,5đ
1đ
0,5đ
2
(4đ)
B = – (x + 2)4 + 4x2 + 16x – 2 
= – (x + 2)4 + 4(x + 2)2 – 18
= – 14 –
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + 2) 2 – 2 = 0 
Vậy GTLN của B bằng – 14 khi x = – 2 + hoặc x = – 2 – 
1đ
0,5đ
0,5đ
b) A = (x2 – 3x + 1)(x2 + 2x + 1) – 6x2
Đặt t = , khi đó:
 = (t – 3)(t + 2) – 6 = t2 – t – 12
= (t + 3)(t – 4)
= 
Vậy: A = x2 
= 
= (x2 + 3x + 1)(x2 – 4x + 1)
0,5đ
1đ
0,5đ
3
(4đ)
a) (1)
ĐK: 
(1) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 
0,5đ
1đ
0,5đ
b) S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + + 32019 – 22019. 
= (31 + 32 + 33 + + 32019) – (21 + 22 + 23 + + 22019)
Đặt A = 31 + 32 + 33 + + 32019, B = 21 + 22 + 23 + + 22019
A = 31 + 32 + 33 + + 32018 + 32019
 3A = 32 + 33 + 34 + + 32019 + 32020
3A – A = 32020 - 31
A = 
B = 21 + 22 + 23 + + 22018 + 22019
 2B = 22 + 23 + 24 + + 22019 + 22020 
2B – B = 22020 - 21
B = 22020 – 2 
Vậy S = 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
(5đ)
0,25đ
AEB AFC
 (1)
0,25đ
0,5đ
AIE ACI
 (2)
 Tương tự : AKF ABK
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AI = AK.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
 A = 600 ABE = ACF = 300 nên:
 AE = AB, AF = AC
Suy ra : AAEF ABC
 SAEF = .SABC = . 120 = 30 (cm2)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
5
(2đ)
 Ta cần tìm x để : + 1 0 (*)
x + 3 0 x - 3
x + 3 < 0 x < - 3
x – 1 0 x 1
x – 1 < 0 x < 1
Ta có bảng xét dấu:
Xét các trường hợp sau:
1. khi x < - 3:	
 (*) 
 (loại)
2. Khi :
 (*) 
 Kết hợp với điều kiện đang xét ta được 
3. Khi x > 1: 
(*) 
 Kết hợp với điều kiện đang xét ta được 
Tóm lại x cần tìm là : 	 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
6
(2đ)
0,25đ
 Gọi D và E là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB
Ta có tam giác ANE vuông ở E có A = 600
Þ ANE = 300	 
Þ AE = AN 
Tương tự đối với tam giác MDB ta có DB = BM 
Do đó : AE + DB = AN + BM =(AN + BM) = (AN + NC ) = AC 
Kẻ MH ^ EN, khi đó tứ giác DEHM là hình chữ nhật. 
Ta có MN ≥ MH
 Mà: MH = DE = AB – ( AE + BD ) = AB – AC = AB
Suy ra: MN ≥ AB 
 Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng AB . Khi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. 
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
 ( Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa)
 Giáo viên ra đề
 Huỳnh Văn Quý