Đề thi khảo sát học sinh khá, giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Phú Xuyên (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN PHÚ XUYÊN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ, GIỎI
 NĂM HỌC: 2018 – 2019
 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (5,0 điểm)
 4 3 2
 3 4 x 1 x x(4x 1) 4 x 29x 78
 1. Cho biểu thức: A x 2  7 2 : 2
 2 x 1 x 6x x 6 3x 12x 36
 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A .
 b) Rút gọn biểu thức A .
 c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.
Bài 2: (4,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì B n2 3n 4 không chia hết cho 49 . 
 b) Tìm số nguyên dương n để n4 4 là số nguyên tố.
Bài 3: (3,5 điểm) 
 Giải các phương trình sau:
 a) x4 2x3 4x2 5x 6 0
 x2 8x 20 x2 12x 42 x2 4x 6 x2 16x 72
 b) 
 x 4 x 6 x 2 x 8
Bài 4: (4,5 điểm) 
 Gọi O là trung điểm của cạnh đáy BC của tam giác đều ABC . Mà x· Oy 60o quay 
 quanh O có các cạnh Ox , Oy lần lượt cắt các cạnh BA và CA của tam giác ở M và 
 N .
 a) Chứng minh OB2 BM.CN 
 b) Xác định tính chất của các tia MO và NO đối với B· MN và C· MN .
 c) Chu vi AMN không đổi.
Bài 5: (2,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC . Hãy xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng 
 cách từ B và C đến AM lớn nhất. 
Bài 6: (1,0 điểm) 
 Chứng minh rằng nếu a, b , c là độ dài các cạnh của một tam giác thì:
 a b c
 2 
 b c c a a b
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ, GIỎI
 HUYỆN PHÚ XUYÊN
 NĂM HỌC: 2018 – 2019
 Thời gian làm bài: 120 phút
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (5,0 điểm)
 4 3 2
 3 4 x 1 x x(4x 1) 4 x 29x 78
 1. Cho biểu thức: A x 2  7 2 : 2
 2 x 1 x 6x x 6 3x 12x 36
 a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A .
 b) Rút gọn biểu thức A .
 c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.
 Lời giải
 a) Để biểu thức A xác định thì
 x2 1 0(TMx)
 6
 7 6 x 1 x 6 0
 x 6x x 6 0 
 3x2 12x 36 0 3 x 2 x 6 0 
 x2 29x 78 x 3 x 26 0
 0 
 3x2 12x 36
 x 1
 x 6
 x 2
 x 3
 x 26
 b)
 4 3 2
 3 4 x 1 x x. 4x 1 4 x 29x 78
 A x 2  7 6 : 2
 2 x 1 x 6x x 6 3x 12x 36
 3 x6 1 x3 4x2 x 4 (x 3)(x 26)
  :
 2 x2 1 6 3(x 2)(x 6)
 x 1 (x 6) 
 3 x6 1 (x 4)(x2 1) 3(x 2)(x 6)
  .
 2 x2 1 6 (x 3)(x 26)
 x 1 (x 6) 
 3 x 4 3(x 2)(x 6)
 .
 2 x 6 (x 3)(x 26)
 3x 18 2x 8 3(x 2)(x 6)
 .
 2(x 6) (x 3)(x 26)
 3(x 26)(x 2)
 2(x 3)(x 26)
 3(x 26)(x 2)
 2(x 3)(x 26)
 Trang 2 3(x 2)
 2(x 3)
 3x 6
 2x 6
 c) Với x Z thỏa mãn ĐKXĐ, để A nguyên thì:
 3x 62x 6
 2(3x 6)2x 6
 6x 122x 6
 3(2x 6) 302x 6
 Mà 3(2x 6)2x 6 ,x Z 
 suy ra302x 6
 15x 3 
 x 3 U (15) 15; 5; 3; 1;1;3;5;15
 x 18; 8; 6; 4; 2;0;2;12;15
 Thử lại và kết hợp ĐKXĐ và x Z suy ra x 18; 8; 4; 2;0;12 thỏa mãn điều kiện 
 của đề bài.
 Vậy x 18; 8; 4; 2;0;12
Bài 2: (4,0 điểm)
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì B n2 3n 4 không chia hết cho 49 . 
 b) Tìm số nguyên dương n để n4 4 là số nguyên tố.
 Lời giải
 a) Ta có:
 B n2 3n 4
 (n 5)(n 2) 14
 + Nếu (n 5)7 (n 2)7 (n 5)(n 2)49
 Mà 14 49 nên B  49
 + Nếu (n 5) 7 (n 2) 7 (n 5)(n 2) 7
 Mà 147 nên B  7 B  49
 Vậy B n2 3n 4 không chia hết cho 49 với mọi số nguyên n .
 b) n4 4 (n4 4n2 4) 4n2
 (n2 2)2 (2n)2
 (n2 2 2n)(n2 2 2n)
 n2 2 2n n2 2 2n,n N *
 Vì 
 2 *
 n 2 2n 1,n N
 Suy ra để n4 4 là số nguyên tố thì n2 2 2n 1
 n2 2n 1 0 n 1 2 0 n 1(TMĐK)
 Khi đó n4 4 5 là số nguyên tố (TM)
 Vậy n4 4 là số nguyên tố khi n=1
Bài 3: (3,5 điểm) 
 Trang 3 Giải các phương trình sau:
a) x4 2x3 4x2 5x 6 0
 x2 8x 20 x2 12x 42 x2 4x 6 x2 16x 72
b) 
 x 4 x 6 x 2 x 8
 Lời giải
a) x4 2x3 4x2 5x 6 0
 x2 (x2 x 6) x(x2 x 6) (x2 x 6) 0
 (x2 x 6)(x2 x 1) 0
 (x 3)(x 2)(x2 x 1) 0
 (x 3) 0
 (x 2) 0
 2
 (x x 1) 0
 x 3
 x 2
 2
 1 3
 x 
 2 4
 2
 1 3
Ta có x (vô lý) .
 2 4
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 3;2 
b) ĐKXĐ: x 4; 6; 2; 8 
x2 8x 20 x2 12x 42 x2 4x 6 x2 16x 72
 x 4 x 6 x 2 x 8
 (x 4)2 4 (x 6)2 6 (x 2)2 2 (x 8)2 8
 x 4 x 6 x 2 x 8
 4 6 2 8
 x 4 x 6 x 2 x 8 
 x 4 x 6 x 2 x 8
 2 3 1 4
 x 4 x 6 x 2 x 8
 2 1 4 3
 x 4 x 2 x 8 x 6
 x x
 (x 4)(x 2) (x 8)(x 6)
 x 0(t / m)
 2 2 
 x 6x 8 x 14x 48
 Trang 4 x 0
 x 5(t / m)
 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 0; 5 
Bài 4: (4,5 điểm) 
 Gọi O là trung điểm của cạnh đáy BC của tam giác đều ABC . Mà x· Oy 60o quay 
 quanh O có các cạnh Ox , Oy lần lượt cắt các cạnh BA và CA của tam giác ở M và 
 N
 a) Chứng minh OB2 BM.CN 
 b) Xác định tính chất của các tia MO và NO đối với B· MN và C· MN .
 c) Chu vi AMN không đổi.
 Lời giải
 Ta có B· ON là góc ngoài của NOC nên:
 B· ON O· NC Cµ 
 B· OM M· ON O· NC Cµ
 Mà M· ON Cµ ( 60o ) nên B· OM O· NC
 Xét BOM và CNO có:
 Bµ Cµ ( 60o )
 B· OM O· NC
 BOM ∽ CNO(g.g) 
 BO BM
 BO.CO BM.CN
 CN CO
 Mà BO CO (do O là trung điểm BC ).
 OB2 BM.CN (đpcm)
 b)Xét ONM và CNO có: 
 BO BM
 và M· ON Cµ ( 60o ) ONM ∽ CNO(c.g.c) 
 CN CO
 O· NC O· NM
 NO là tia phân giác của M· NC.
 Chứng minh tương tự ta có MO là tia phân giác của góc B· MN.
 Vậy NO tia là tia phân giác của M· NC MO là tia phân giác của góc B· MN.
 Trang 5 c) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, AC và MN làn lượt tại I, Q, P.
 Xét IMO vuông tại I và MPO vuông tại P có:
 Cạnh MO chung.
 I·MO P· MO Xét (vì MO là phân giác của B· MN - theo câu b)
 IMO MPO (cạnh huyền – góc nhọn).
 MN MP
 Chứng minh tương tự ta có: PN NQ
 Chu vi AMN bằng: AM MN AN AM MP PN AN
 AM MP MI NQ
 AI AQ
 Do O cố định, AB và AC không đổi nên điểm I và Q cố định.
 AI, AQ không đổi.
 Vậy chu vi AMN không đổi. (đpcm)
Bài 5: (2,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC . Hãy xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng 
 cách từ B và C đến AM lớn nhất. 
 Lời giải
 Kẻ BI  AM ;CK  AM (I, K AM )
 BI CK BM CM BC không đổi.
 BI BM I  M
 Dấu “ ” xảy ra khi 
 CK CM K  M
 BM  AM M là hình chiếu của A trên BC
 Vậy M là hình chiếu của A trên BC thì tổng khoảng cách từ B và C đến AM lớn nhất. 
Bài 6: (1,0 điểm) 
 Chứng minh rằng nếu a, b , c là độ dài các cạnh của một tam giác thì:
 a b c
 2 
 b c c a a b
 Lời giải
 Trang 6 Vì a, b , c là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta được:
 0 a b c
 0 b a c 
 0 c a c
 a b c
 1; 1; 1;
 b c c a a b
 a a a 2a
 b c a b c a b c
 b b b 2b
 b c a b c a b c
 c c c 2c
 a b a b c a b c
 a b c 2a 2b 2c
Do đó 2
 b c a c a b a b c
 a b c
Vậy 2 (Đpcm)
 b c c a a b
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 7