Đề thi olympic tháng 4 lớp 8 THCS môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Vũng Tàu (Có đáp án)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG 4 LỚP 8 THCS
 TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2020 – 2021
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút
 Ngày thi: 23/3/3021
Câu 1: (3,0 điểm)
 1. Chứng minh 4.5n 1 2n 3 2.5n 2n chia hết cho 18 với mọi số nguyên dương n .
 2. Phân tích đa thức 3x3 13x2 y 13xy2 3y3 thành nhân tử.
Câu 2: (3,0 điểm). 
 2 2 2 
 x y y 2x y x
 Cho biểu thức A : với xy 0 , x y
 xy x y 2 x y 2 2 2 x2 y2 x y 
 x y 
 1. Rút gọn biểu thức A
 2. Tính giá trị của A khi x , y thỏa mãn x3 6y3 xy x y .
Câu 3: (3,0 điểm) 
 x2 4x 1 x2 5x 1
 1. Giải phương trình 2 .
 x 1 2x 1
 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn phương trình xy2 2xy 27y x 0.
Câu 4: (3,0 điểm) 
 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 3n 8 là số chính phương.
 2. Cho 2021 số không âm x1, x2 ,..., x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
 i) x1 x2 ...x2021 ; ii) x1 x2 2021; iii) x3 x4 ... x2021 2021.
 2 2 2
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x1 x2 ... x2021 .
Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD . Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh BC ( M khác B và 
 C ). Kẻ tia Ax vuông góc với tia AM và cắt CD tại N . Gọi H là trung điểm của MN , tia 
 AH cắt CD tại K . Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK ở E .
 1. Chứng minh AM AN và tứ giác EMKN là hình thoi. 
 2. Chứng minh NA2 NC.NK .
 3. Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi.
Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC BD . Vẽ CE vuông góc với AB tại E và CF
 vuông góc với AD tại F . Cho biết đường chéo AC a , hãy tính AB.AE AD.AF theo a .
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC THÁNG 4 LỚP 8 THCS
 TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU
 Năm học: 2020 - 2021
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1: (3,0 điểm)
 1. Chứng minh 4.5n 1 2n 3 2.5n 2n chia hết cho 18 với mọi số nguyên dương n .
 2. Phân tích đa thức 3x3 13x2 y 13xy2 3y3 thành nhân tử.
 Lời giải
 1) Với mọi số nguyên dương n ta có:
 4.5n 1 2n 3 2.5n 2n 4.5n 1 2.5n 2n 2n 3 
 5n. 4.5 2 2n 1 2 24 
 5n.18 2n 1.18
 Vì 5n.1818 và 2n 1.1818 nên 5n.18 2n 1.18 18 hay 4.5n 1 2n 3 2.5n 2n chia hết cho 18
 2) Ta có: 3x3 13x2 y 13xy2 3y3 3x3 3y3 13x2 y 13xy2 
 3 x3 y3 13xy x y 
 3 x y x2 xy y2 13xy x y 
 3 x y x2 xy y2 13xy 
 3 x y x2 12xy y2 
Câu 2: (3,0 điểm). 
 2 2 2 
 x y y 2x y x
 Cho biểu thức A : với xy 0 , x y
 xy x y 2 x y 2 2 2 x2 y2 x y 
 x y 
 1. Rút gọn biểu thức A
 2. Tính giá trị của A khi x , y thỏa mãn x3 6y3 xy x y .
 Lời giải
 1) Với xy 0 , x y , ta có:
 2 2 2 
 x y y 2x y x
 A : 
 xy x y 2 x y 2 2 2 x2 y2 x y 
 x y 
 x y y2 2x2 y x2 
 A : 2 2 2 2 
 xy x y x y x y x y x y x y 
 x y y2 x y 2x2 y x2 x y 
 A : 2 2 2 2 2 2 
 xy x y x y x y x y x y x y 
 Trang 2 x y xy2 y3 2x2 y x3 x2 y
 A :
 xy x y 2 x y 2
 x y xy2 y3 x2 y x3
 A :
 xy x y 2 x y 2
 2
 x y x y y x 
 A :
 xy x y 2 x y 2
 2 2
 x y x y x y 
 A .
 xy x y 2 y x 
 x y 2
 A 
 xy
 2) Ta có: x3 6y3 xy x y 
 x3 6y3 x2 y xy2 0
 x3 8y3 xy2 2y3 x2 y 2xy2 0
 x3 8y3 xy2 2y3 x2 y 2xy2 0
 x 2y x2 2xy 4y2 y2 x 2y xy x 2y 0
 x 2y x2 xy 3y2 0
 2
 1 11 2 
 x 2y x y y 0
 2 4 
 x 2y .
 2 2
 x y 2y y 1
 Thay x 2y vào biểu thức A ta được A .
 xy 2y2 2
Câu 3: (3,0 điểm) 
 x2 4x 1 x2 5x 1
 1. Giải phương trình 2 .
 x 1 2x 1
 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn phương trình xy2 2xy 27y x 0.
 Lời giải
 1
 1) ĐKXĐ x 1; x 
 2
 Khi đó:
 2 2
 x2 4x 1 x2 5x 1 x 4x 1 2x 1 2 x 1 2x 1 x 5x 1 x 1 
 2 
 x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 1 2x 1 
 x2 4x 1 2x 1 2 x 1 2x 1 x2 5x 1 x 1 
 3x3 7x2 4 0
 Trang 3 3x3 3x2 4x2 4 0
 3x2 x 1 4 x 1 x 1 0
 x 1 3x2 4x 4 0
 x 1 3x 2 x 2 0
 x 1
 x 2 (tmđk). 
 2
 x 
 3
 2
 Vậy tập nghiệm của phương trình S 1;2;  .
 3
 27y 27y
 2) Từ xy2 2xy 27y x 0 x (*)
 y2 2y 1 y 1 2
 Vì y 1 nên y 1 2 4 . 
 27y 27 27
 Khi đó 0 hay 0 x 
 y 1 2 4 4
 Mà x nguyên dương nên x 1;2;3;4;5;6 . 
 Thay lần lượt x vào (*) thì khi x 6 tìm được y 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4: (3,0 điểm) 
 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 3n 8 là số chính phương.
 2. Cho 2021 số không âm x1, x2 ,..., x2021 thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
 i) x1 x2 ...x2021 ; ii) x1 x2 2021; iii) x3 x4 ... x2021 2021.
 2 2 2
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x1 x2 ... x2021 .
 Lời giải
 1) Xét A n2 3n 8, nếu A là số chính phương thì 4A là số chính phương.
 Khi đó giả sử 4A a2 a N * 
 suy ra 4n2 12n 32 a2 .
 2n 2 2.2n.3 32 23 a2 
 2n 3 2 23 a2 
 a2 2n 3 2 23
 a 2n 3 a 2n 3 23 23.1
 Vì n N,a N * nên a 2n 3 0 và a 2n 3 a 2n 3.
 Trang 4 a 2n 3 23 a 12
 Do đó (thỏa)
 a 2n 3 1 n 4
 Thử lại thấy n 4 thì A 42 3.4 8 36 là số chính phương.
 Vậy n 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD . Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh BC ( M khác B và 
 C ). Kẻ tia Ax vuông góc với tia AM và cắt CD tại N . Gọi H là trung điểm của MN , tia 
 AH cắt CD tại K . Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AK ở E .
 1. Chứng minh AM AN và tứ giác EMKN là hình thoi. 
 2. Chứng minh NA2 NC.NK .
 3. Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi.
 Lời giải
 1. Chứng minh AM AN và tứ giác EMKN là hình thoi. 
 Xét ABM và ADN có:
 AB AD ; ·ABM ·ADN 900 ; B· AM D· AN (cùng phụ với D· AM )
 Nên ABM ADN (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra AM AN (cạnh tương ứng).
 Ta có: HEM HKN (góc – cạnh – góc) nên ME NK (cạnh tương ứng) (1)
 Mà ME // AB ME // DC ME // NK (2)
 Từ (1) và (2) suy ra EMKN là hình bình hành. (3)
 Lại có AM AN nên AMN cân tại A , mà H là trung đểm của MN nên AH là đường 
 trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra AH  MN hay EK  MN (4)
 Từ (3) và (4) suy ra EMKN là hình thoi.
 2) Chứng minh NA2 NC.NK .
 NK NH
 Ta có HNK ∽ CNM (g.g) nên NK.NC MN.NH (*)
 MN NC
 AN NH
 ∽ ANH ∽ MNA (g.g) nên NA2 MN.NH (**)
 MN NA
 Từ (*) và (**) suy ra NA2 NC.NK.
 3. Khi điểm M thay đổi trên cạnh BC , chứng minh chu vi tam giác MKC không đổi.
 Trang 5 Ta có: Chu vi tam giác MKC bằng MK MC KC .
 Vì ABM ADN (theo phần 1) nên MB ND .
 Mặt khác EMKN là hình thoi nên MK NK .
 Khi đó MK MC KC NK MC KC ND DK KC MC MB DK KC MC
 MB MC DK KC BC DC 2BC (không đổi)
 Vì B,C cố định nên BC không đổi. 
 Do đó khi M di chuyển trên BC thì chu vi tam giác MKC không đổi.
Câu 6: (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC BD . Vẽ CE vuông góc với AB tại E và CF
 vuông góc với AD tại F . Cho biết đường chéo AC a , hãy tính AB.AE AD.AF theo a .
 Lời giải
 Kẻ BH  AC H AC . 
 AB AH
 Ta có AEC đồng dạng với ABH (góc nhọn) nên: AB.AE AH.AC (1)
 AC AE
 Xét hai tam giác vuông AFC và CHB có C· AF B· CH (so le trong) 
 AF AC
 nên AFC ∽ CHB (góc nhọn) suy ra AF.BC AC.CH 
 CH BC
 Mà BC AD nên AF.AD AC.CH (2)
 Từ (1) và (2) suy ra AB.AE AF.AD AC.AH AC.CH AC. AH CH AC 2 a2 .
 Vậy điều phải chứng minh.
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 6