Đề thi tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
 NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm : 01 trang
Câu I (2,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử .
Cho x, y thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Câu II ( 2,0 điểm)
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình .
Câu III (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9.
Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Câu IV (3,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.
Tính .
Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.
Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất.
Câu V (1,0 điểm) 
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh Số báo danh ... 
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KÌ THI HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên)
Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm.
Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm.
Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu I (2,0đ)
1) 1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
2) 1,0 điểm
Có 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu II (1,0đ)
1)1,0 điểm
phương trình đã cho tương đương với (1)
0,25
Do 
0,25
0,25
 x=2
0,25
2)1,0 điểm
(Do )
0,25
Do 
0,25
Thay y=-x vào(2)
0,25
Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-2;2;2).
0,25
Câu III (2,0đ)
1)1,0 điểm
Đặt A = n2 + n + 1 do n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k )
0,25
* n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3)
0,25
* n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9.
0,25
* n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9 
Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
0,25
2)1,0 điểm
 Gi¶ sö tån t¹i m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2
Theo vi-et: (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3
0,25
Với m. Ta cã x1x2 vµ x1 + x2 mà x1hoÆc x2 nguyªn vµ 
0,25
Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
0,25
Víi m = 3 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x =1; x = 8 tho¶ m·n. VËy m= 3
0,25
Câu IV (2,0đ)
1) 1,0 điểm
Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề 
0,25
Gọi K là giao điểm của BO với DF => vuông tại K
0,25
Có 
0,25
0,25
2) 1,0 điểm
Khi AM = AB thì vuông cân tại A => .Có 
=> Tứ giác BDHF nội tiếp 
0,25
=> 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn.
0,25
=> => , mà => A, O, H thẳng hàng
0,25
=> Tứ giác ABHI nội tiếp.
0,25
3) 1,0 điểm
Có tứ giác PNQD nội tiếp = > . 
Tương tự có => và đồng dạng 
0,25
=> 
0,25
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P F; Q E => DN là đường kính của (O) => PQ lớn nhất bằng EF.
0,25
Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại M thì PQ lớn nhất.
0,25
Câu V (1,0đ)
Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do = >1z yx2
 Khi đó A= (x+y+z)()=3+
0,25
0,25
Đặt = t =>
Do 
A 
0,25
Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10
0,25