Giáo án dạy thêm Hình học Lớp 8 - Bài: Ôn tập hình chương 3

ÔN TẬP HÌNH CHƯƠNG 3
I.Lí Thuyết
Dạng 1: Các trường hợp đồng dạng của tam giác
	Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc. 
Đối với hai tam giác vuông, ngoài các trường hợp nói trên còn có trường hợp đồng dạng về cạnh huyền và cạnh góc vuông.
II. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác cân tại , đường cao , là trung điểm của . Gọi là hình chiếu của điểm trên . Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
 và có (cùng phụ ) nên (g.g)
.
Ta lại có: nên 
Kết hợp với suy ra (c.g.c)
. Cùng cộng với được: .
Bài 2: Cho tam giác , đường trung tuyến . Lấy điểm trên đoạn sao cho . Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
 và có là góc chung, nên (g.g)
.
Kết hợp với là góc chung suy ra (c.g.c)
. 
Bài 3: Cho tam giác , các đường phân giác . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và .
Kẻ và song song với . Chứng minh rằng .
Chứng minh .
Hướng Dẫn:
Ta có: nên góc bù với chúng là .
Sẽ chứng minh .
Đặt . Do và nên
 (1)
 (2)
Nhân (1) với (2) được (3)
Tương tự (4)
Từ (3) và (4) suy ra .
Vậy . Do đó (c.g.c).
Suy ra từ câu a).
Lưu ý: Trong ví dụ trên, khi xét tỉ số , ta đã viết tỉ số đó dưới dạng tích của hai tỉ số trung gian , có nhiều tỉ số bằng các tỉ số trung gian trên từ định lí Ta-lét và tính chất đường phân giác của tam giác.
	Cách viết một tỉ số dưới dạng tích của hai tỉ số trung gian, cùng với cách kẻ thêm đường thẳng song song là những cách thường dung để tạo ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
Bài 4: Cho tam giác có cm, cm, . Tính độ dài .
Hướng Dẫn:
Trên lấy điểm sao cho cm.
Tam giác cân tại nên .
Ta có (g.g)
.
Đặt thì 
.
Do nên . Do đó, (cm)
Bài 5: Cho tam giác nhọn , trực tâm có cm,cm, cm. Tính
a)Đường cao ;
b) Diện tích .
Hướng Dẫn:
a) và vuông tại có (cùng phụ ) nên (g.g) 
.
Đặt thì .
Rút gọn được .
Do nên . Suy ra cm.
b) (cm).
 (cm).	
 (cm2).
Bài 6: Cho tam giác , đường trung tuyến . Điểm trên cạnh sao cho . Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
Do nên (1)
Theo bổ đề về hai tam giác có một góc bằng nhau (Ví dụ 14) ta có:
 (2)
 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: .
Lưu ý: Do nên đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác của góc . Ta gọi là đườngđối trung đi qua .
Dạng 2: Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
	Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
	Nếu có , và là đường cao thì .
Bài 1: Cho tam giác nhọn , các đường cao và cắt nhau tại . Gọi và theo thứ tự là hình chiếu của và trên .
Chứng minh rằng tỉ số các khoảng cách từ đến và bằng .
Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng vuông góc với .
Hướng Dẫn:
Kẻ . và có (cùng phụ ) nên 
 (g.g) (1)
Tương tự: (2)
Ta lại có (g.g)
 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra (4)
Kẻ .
 (g.g) có và là hai đường cao tương ứng nên
 (5)
Từ (4) và (5) suy ra , chứng tỏ , mà nên .
Bài 2: Cho tam giác , các đường trung tuyến và cắt nhau tại . Gọi là một điểm trên cạnh . Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt và theo thứ tự ở và . Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt và theo thứ tự ở và . Tìm vị trí của điểm để:
Tứ giác có diện tích lớn nhất;
Tam giác có diện tích lớn nhất.
Hướng Dẫn:
Đặt . Các tam giác đồng dạng nên
.
 lớn nhất nhỏ nhất.
Do nên .
 lớn nhất là trung điểm của .
Ta có nên , tương tự 
Suy ra .
 lớn nhất lớn nhất (theo câu a) là trung điểm của .
III.Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác có cm, cm, . Tính .
Hướng Dẫn:
Trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD = BC.
	Ta có ∆ABC∆ACD (g.g) 
	Đặt AB = x thì 
	 Đáp số: AB = 9cm.
Bài 2: Cho tam giác có , là trung điểm của , đặt . Các điểm theo thứ tự di chuyển trên các cạnh sao cho .
Tính theo .
Chứng minh rằng là tia phân giác của góc .
Chứng minh rằng khoảng cách từ đến khồn đổi.
Hướng Dẫn:
a) Ta có (cùng cộng với được )
	∆BIM∆CNI (g.g) 
b) Hai tam giác đồng dạng trên còn suy ra
	 ∆MIN∆ICN (c.g.c) 
c) Từ câu b) suy ra khoảng cách từ I đến MN bằng khoảng cách từ I đến AC không đổi.
Bài 3: Cho tam giác vuông tại có , đường phân giác . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tia phân giác của góc cắt ở . Chứng minh song song với .
Hướng Dẫn:
Kẻ IH BC
	Ta có ∆HIC∆ABC (g.g)
	 (1)
	Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC.
	Ta có BI là đường phân giác của ∆EBC nên 
	 (2)
	Từ (1) và (2) suy ra DE // BI (định lí Ta-lét đảo).
Bài 4: Cho tam giác nhọn , trực tâm có cm, cm, cm. Tính diện tích tam giác .
Hướng Dẫn:
Giải tương tự Ví dụ 37.
Gọi AD là đường cao của ∆ABC.
Đặt .
Đưa phương trình:
HD = 2cm, BD = 1cm, DC = 6cm
 .
Bài 5: Tam giác là tam giác gì, nếu có điểm thuộc cạnh thỏa mãn chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng.
Hướng Dẫn:
∆ABD đồng dạng với tam giác có ba đỉnh là A, D, C (h.230a) mà và 
	nên , suy ra .
Có hai trường hợp:
+ Nếu thì ∆ABC cân tại A 
+ Nếu thì ∆ABC vuông tại A 
Bài 6: Cho tam giác vuông tại , đường cao , điểm đối xứng với qua . Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt ở . Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
Ta có (cùng phụ ), (cùng phụ )
nên ∆ICA∆HAD (g.g)
Kẻ trung tuyến IK của ∆ICA.
Do IK và HB là hai trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng
nên .
∆AHC có AK = KC và KI // AH nên HI // IC.
Bài 7: Cho hình thoi , là trung điểm . Trên đoạn lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng:
;
.
Hướng Dẫn:
a) Sẽ chứng minh 
Ta có (1)
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Do (vì AB // OM)
và nên ∆ABE∆MAO (g.g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra , lại có 
nên ∆DAE ∆AMB (c.g.c)
b) ∆DAE ∆AMB .
Suy ra hai góc bù với chúng bằng nhau 
Bài 8: Cho tam giác , điểm trên cạnh sao cho , điểm trên đoạn sao cho . Đường thẳng đi qua và song song với cắt ở . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
EI // BC (1)
 (do EI // BC)
 (do )
 (do ∆ABC ∆AEB)
 (do AK // BD)	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 9: Cho hình vuông . Một đường thẳng đi qua cắt tia đối của tia tại . Gọi là giao điểm của và . Gọi theo thứ tự là giao điểm của với . Chứng minh rằng:
 song song với ;
 là trực tâm của tam giác .
Hướng Dẫn:
a) 	(1)
	(2)
Do AB = CD nên từ (1) và (2) suy ra 
 MN // EF.
b) 
 ∆AND ∆EAD (c.g.c) AN DE.
Tương tự AM BF. Vậy H là trực tâm của ∆AMN.
Bài 10: Cho tam giác đều , trọng tâm . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi giao điểm của với theo thứ tự là . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn: Kẻ . Hãy chứng minh .
Hướng Dẫn:
Kẻ DI // AC , ta có
∆BDI đều BD = BI AD = CI. (1)
Kẻ AH DG thì 
.
I đối xứng với D qua BG
.
∆KIG ∆ADH (g.g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra KI = 2CI IC = CK.
∆DIK có IC = CK và DI // EC nên DE = EK.
Bài 11: Cho tam giác cân tại , đường cao , điểm trên cạnh . Gọi là hình chiếu của trên , lấy điểm trên đoạn sao cho . Đường vuông góc với tại cắt ở . Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
∆HKG và ∆IDK có 
 (cùng phụ )
nên ∆HKG∆IDK (g.g) 
Do BI = HK, IK = BH = CH nên	
Kết hợp với suy ra
∆CHG ∆AHC (c.g.c)
. Cùng cộng với được .
Bài 12: Cho tam giác nhọn , trực tâm . Lấy điểm nằm trong tam giác sao cho . Gọi và theo thứ tự là hình chiếu của trên và . Chứng minh rằng đi qua trung điểm của .
Hướng Dẫn:
Gọi I là giao điểm của OD và HB, K là giao điểm 
của OE và HC, Ta có OIHK là hình bình hành 
nên OH đi qua trung điểm của IK. 
Hãy chứng minh IK //DE bằng cách chứng minh 
Xét các tam giác đồng dạng BDI và CEK, BOD và COE.
Bài 13: Cho tam giác nhọn , đường cao . Ở phía ngoài tam giác , vẽ các tam giác vuông tại , vuông tại có . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
Hướng Dẫn:
Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BF, cắt HA ở K. Do 
nên (g.g) 
 (g.g) 
Từ (1) và (2) suy ra , lại có nên (c.g.c)
KH, BF, CE là ba đường cao của nên chúng đồng quy.
Bài 14: Cho tam giác nhọn . Các điểm theo thứ tự thuộc cạnh sao cho , 
. Chứng minh rằng:
;
 là các đường cao của .
Hướng Dẫn:
a)Đặt các góc bằng nhau và bằng m, n, p như hình vẽ.
Ta có (bằng trừ đi tổng ba góc của )
. 
Do đó (g.g).
b) (h.239b)(c.g.c).
. Tương tự .
Suy ra , vậy .
Tương tự .
Bài 15: Cho tam giác vuông tại , đường phân giác . Hình vuông có thuộc cạnh , thuộc cạnh , và thuộc cạnh . Gọi là giao điểm của và .
Chứng minh rằng song song với .
Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng .
Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
a)Theo định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác và tam giác đồng dạng, ta có 
, tức là 
b) Do nên 
Tương tự, 
Từ (1) và (2) suy ra . 
Ta lại có (do AD là đường phân giác), (do ) 
Nên , tức là . 
c) Ta có 
 (c.g.c) 
Bài 16: Cho tam giác , đường trung tuyến , điểm thuộc cạnh sao cho . Đường thẳng đi qua và song song với cắt ở . Đường thẳng đi qua và song song với cắt ở . Chứng minh rằng:
;
.
Hướng dẫn: Sử dụng Ví dụ 38.
Hướng Dẫn:
a) Ta có 
Nhân (1) với (2) được 
Ta chứng minh được 
Nên từ (3) suy ra 
 (c.g.c)
b) Ta lại có và nên 
Bài 17: Cho hình chữ nhật . Điểm nằm trong hình chữ nhật sao cho . Chứng minh rằng:
;
.
Hướng Dẫn:
a) Qua I kẻ , kẻ .
 (g.g)
 (c.g.c)
, tức là .
b)Kẻ đường vuông góc với DI tại D, kẻ đường vuông góc với CI tại C, chúng cắt nhau ở K. 
Do nên , do nên , (g.c.g) .
Bài 18: Cho hình vuông . Hãy dựng đường thẳng đi qua , cắt tia đối của tia và lần lượt ở và sao cho tích có giá trị nhỏ nhất.
Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Hướng Dẫn:
Đặt , , .
Ta có 
Ta lại có nên 
 d vuông góc với BD tại B.
Bài 19: Một hình thang có đáy nhỏ cm, đáy lớn cm được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng song song với hai đáy dài cm và có hai đầu mút nằm trên hai cạnh bên. Chứng minh rằng hai phần đó có diện tích bằng nhau.
Hướng Dẫn:
Kí hiệu như trên hình vẽ.
Kẻ BG, FI song song với AD.
 nên tỉ số hai đường cao bằng tỉ số đồng dạng :
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 20: Cho tam giác nhọn , có các đường cao cắt nhau ở . Biết diện tích các tứ giác và bằng nhau. Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
Giả sử thì và .
 (g.g) mà nên 
Từ (1) và (2) suy ra , tức là , trái với giả thiết.
Giả sử , tương tự , trái với giả thiết. 
Vậy . 
Bài 21: Cho tam giác vuông tại . Tìm vị trí của các điểm theo thứ tự nằm trên các cạnh sao cho tam giác vuông tại đồng dạng với tam giác đã cho và có diện tích nhỏ nhất.
Hướng Dẫn:
 có các góc không đổi nên có diện tích nhất nếu EF nhỏ nhất. 
Kẻ , , . 
Gọi I là trung điểm của EF, 
ta có 
 D trùng H, E trùng M, F trùng N.
Khi đó là .
Bài 22: Cho tam giác có diện tích , điểm nằm trong tam giác. Kẻ song song với , kẻ song song với , kẻ song song với .
a)Kẻ song song với , kẻ song song với , kẻ song song với . Chứng minh rằng diện tích tam giác bằng nửa diện tích lục giác .
b)Chứng minh rằng .
Hướng Dẫn:
a) Bạn đọc tự giải.
b) Đặt , , . Ta sẽ chứng minh . Đặt , , , .
Các tam giác AFI, KBD, EHC đồng dạng với nên 
 O là trọng tâm của .
Bài 23:Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=3cm, AC=4cm,vẽ đường cao AH. 
a) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt AH kéo dài tại D. Chứng minh , rồi suy ra AC2 = AB. CD.
b) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang vuông. Tính diện tích của ABDC.
c) Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E và cắt BD tại F. So sánh HE và HF?
Hướng Dẫn:
a)Ta có: (cùng phụ với góc), . Do đó: 
. Từ đó suy ra .
b)Vì AB và CD cùng vuông góc với AC nên AB // CD. 
Tứ giác ABDC có AB // CD và nên ABDC là hình thang vuông.
Theo trên .
.
c) Dễ thấy: (1).
Mặt khác, EF // DC nên theo định lí Talet ta có: và (2).
và (2).
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao (H thuộc BC) 
a) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D, vẽ AE vuông góc với BD tại E. Chứng minh tam giác AEB đồng dạng tam giác DAB.
b) Chứng minh BE.BD= BH.BC. 
c) Chứng minh .
Giải:
a) Ta có: và do đó .
b) (1).
Xét hai tam giác BAH và BCA có: 
và 
Nên , 
Suy ra (2).
(1) và (2) suy ra BE.BD = BH.BC.
c) Theo trên thì . 
Xét hai tam giác BEH và BCD có góc chung và 
Nên . Từ đó ta có .
Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm, đường cao AH. Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt AH tại D.
a) Chứng minh 
b) Chứng minh AC2 = AB.DC. 
c) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao? Tính diện tích của tứ giác ABDC.
Hướng Dẫn:
a) Ta có (so le trong) và nên .
b) (cùng phụ với góc ).
DC // AB nên . 
Do đó , từ đó suy ra:
.
c) AB // CD và nên ABDC là hình thang vuông.
.
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Kẻ BD là tia phân giác của cắt AH tại I. Chứng minh AD2 = IH. DC.
Hướng Dẫn:
Ta sẽ chứng minh .
Theo tính chất chân đường phân giác trong thì: (1).
Dễ thấy hai tam giác BAC và BHA đồng dạng nên: (2).
Xét hai tam giác BHI và BAD có: ( vì BD là tia phân giác của ); . Do đó , suy ra: (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra: .
Bài 27. Cho đoạn thẳng AB. Trong một nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ hai tia Ax va By vuông góc với AB tại A và B. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác A, B). Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), tia vuông góc MC tại M cắt By tại D.
a) Chứng minh .
b) Đường thẳng CD cắt AB tại E. Chứng minh rằng EC.BD= ED.AC.
c) Vẽ MH vuông góc với CD tại H. Chứng minh HM2 = HC.HD 
d) Gọi I là giao điểm của BC và AD. Chứng minh DE.IA = ID.EC.
Hướng Dẫn:
a) Ta có: 
, suy ra .
Lại có , do đó .
b) Vì BD // AC, theo định lí Talet ta có: .
c) (cùng phụ với góc); , nên ta có:
.
d) Ta có: . Mặt khác: BD // AC, ta suy ra nên .
Từ đó ta có: .
Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm, AC = 20 cm và đường cao AH. Vẽ HD vuông góc AB tại D và HE vuông góc AC tại E.
a) Vẽ tia Ax vuông góc DE cắt BC tại M. Chứng minh M là trung điểm BC .
b) Tính diện tích tam giác ADE.
Hướng Dẫn:
a) Tứ giác ADHE có nên ADHE là hình chữ nhật.
 (cùng phụ với góc).
 (ADHE là hình chữ nhật).
 (cùng phụ với góc ).
Do đó: . Từ đó suy ra được hai tam giác AMB và AMC cân tại M. Vậy M là trung điểm của BC.
b) .
Dễ thấy 
.
. Từ đó suy ra .
.
Vậy .
Bài 29: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BH cắt nhau tại I 
a) Chứng minh HI.CB = CH.IA. 
b) Tia CI cắt AB, DH lần lượt tại K, M. Chứng minh: IK.MC= KC.IM.
Hướng Dẫn:
a) Xét hai tam giác IHA và CHB có:
 (cùng phụ với góc).
.
Do đó .
Suy ra 
b) Dễ thấy hai tam giác CDA và CHB đồng dạng, do đó: .
Hai tam giác CDH và CAB có góc chung và nên .
Chứng minh tương tự, ta có , từ đó ta có 
Suy ra , hay I là chân đường phân giác trong kẻ từ H của tam giác HKM. 
Vì nên C là chân đường phân giác ngoài kẻ từ H của tam giác HKM. 
Theo tính chất chân đường phân giác trong và ngoài thì:
 .
Bài 30: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D thuộc AC, E thuộc AB).
a) Chứng minh tam giác ADE và ABC đồng dạng tam giác ABC.
b) Gọi K, F lần lượt là giao điểm của AH với DE, BC. Chứng minh KH.AF= AK.HF 
Hướng Dẫn:
a)Dễ thấy . 
Xét hai tam giác ADE và ABC có góc chung và nên .
b) Chứng minh tương tự câu 1b.
H và A lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài kẻ từ D của tam giác KDF, 
suy ra: .
Bài 31: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H. 
a) Gọi K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh tam giác BKF đồng dạng tam giác BAC. 
b)Tia EF cắt AK và BC lần lượt tại N, D. Chứng minh DE.FN = DF.NE 
c) Gọi O, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh ON vuông góc DI. 
Hướng Dẫn:
a) Dễ thấy , do đó: . 
Hai tam giác BKF và BAC có góc chung và nên .
b)Ta chứng minh được KN là đường phân giác trong và KD là đường phân giác ngoài kẻ từ K của tam giác FKE. 
Theo tính chất chân đường phân giác trong và phân giác ngoài, ta có:
.
c)Gọi J là điểm đối xứng của H qua O, ta có BHCJ là hình bình hành, 
từ đó suy ra BJAB, CJAC.
Dễ thấy :
.
Từ đó ta có 
.
Mặt khác, tương tự câu a, ta chứng minh được suy ra .
Từ đó ta có . Mà nên , hay AJEF.
Ta có IO là đường trung bình trong tam giác AHJ nên IO // AJEFIO.
Xét tam giác IDO có INDO, DNIO nên N là trực tâm IDO. 
Vậy ONDI.
Bài 32: Cho tam giác ABC (góc, AB < AC). Qua trung điểm I của AC vẽ đường thẳng vuông góc với BC và qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E. Chứng minh AE vuông góc BI.
Hướng Dẫn:
	Ta có: (cùng phụ với).
	Do đó: .
	Vì nên 
	Do đó ta có .
	Mặt khác 
	Vậy EABI.
Bài 33: Cho hình thang ABCD (CD > AB; AB//CD) có AB vuông góc BD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD. Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB. Chứng minh GF vuông góc EF.
Hướng Dẫn:
Dựng đường thẳng qua E, vuông góc với CD, cắt đường thẳng CD tại H.
Ta có , , . 
Từ đó suy ra .
Như vậy ta có .
Ta có .
Mà nên suy ra (1).
Lại có (2).
(1), (2) suy ra .
Mặt khác nên . Vậy .