Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 12: Hình vuông

Bài 12. HÌNH VUÔNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi
Nhận xét:
Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
Hình vuông là hình thoi có bốn góc bằng nhau.
Do đó hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.
2. Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Tính chất đặc trưng: Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông.
Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Nhận xét: Nếu một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình vuông
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình vuông.
Ví dụ 1. Cho tam giác vuông cân tại . Gọi , là trung điểm , . Qua kẻ đường thẳng song song và cắt tại . Chứng minh rằng là hình vuông.
Lời giải
Ta có là trung điểm của , là đường trung bình của là trung điểm của .
Mà là trung điểm của là đường trung bình của là hình bình hành.
Mà là hình chữ nhật. Mà là hình vuông.
Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vuông để chứng minh các tính chất hình học
Sử dụng tính chất về cạnh, góc đường chéo của hình vuông.
Ví dụ 2. Cho hình vuông . Trên các cạnh , lần lượt lấy các điểm , sao cho . Chứng minh:
a) Các tam giác và bằng nhau.
b) .
Lời giải
a) Có (c.g.c)
Gọi là giao điểm của và . Ta có .
Có .
Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác là hình vuông
Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của hình vuông để từ đó kết luận.
Ví dụ 3. Cho tam giác vuông tại , là một điểm thuộc cạnh . Qua vẽ các đường thẳng song song với và , chúng cắt các cạnh , theo thứ tự tại và .
a) Tứ giác là hình gì?
b) Xác định vị trí điểm trên cạnh để tứ giác là hình vuông.
Lời giải
a) Tứ giác có nên tứ giác là hình chữ nhật.
b) Để tứ giác là hình vuông thì đường chéo trở thành đường phân giác của góc 
 là giao điểm của đường phân giác trong góc với .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình vuông , trên các cạnh , , , lần lượt lấy , , , sao cho . Chứng minh là hình vuông.
Lời giải
Bốn tam giác , , , bằng nhau Tứ giác là hình thoi.
Có nên .
Mặt khác, .
Vậy hình thoi có một góc vuông nên tứ giác là hình vuông.
Bài 2. Cho hình vuông . Lấy điểm bất kì trên cạnh . Tia phân giác cắt tại . Kẻ vuông góc với tại . Tia cắt tại . Chứng minh:
a) .	b) .
Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh . Suy ra .
Ta có ; . 
Mà .
Bài 3. Cho hình bình hành . Vẽ về phía ngoài hình bình hành, hai hình vuông và . Chứng minh:
a) .	b) .	c) là tam giác vuông cân.
Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh (c.g.c) .
b) Gọi giao điểm của và là . Do , ta có .
c) Chứng minh được (c.g.c)
 .
Ta có
 , mà .
Mặt khác, do là hình bình hành nên hay .
Từ và vuông cân.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho tam giác vuông tại . Gọi là đường phân giác của góc ( thuộc ), từ kẻ và lần lượt vuông góc với và . Chứng minh rằng là hình vuông.
Lời giải
Xét tứ giác có nên tứ giác là hình chữ nhật.
Mà là đường chéo đồng thời là đường phân giác nên tứ giác là hình vuông.
Bài 5. Cho hình vuông . Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Chứng minh:
a) .	b) .
Lời giải
a) Có (c.g.c) .
Do (góc tương ứng), ta có: 
 .
Bài 6. Cho tứ giác . Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , , , . Tìm điều kiện của tứ giác để tứ giác là:
a) Hình chữ nhật.	b) Hình thoi.	c) Hình vuông.
Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh được tứ giác là hình bình hành vì có các cặp cạnh đối song song với nhau.
Để là hình chữ nhật thì phải vuông góc với Hai đường chéo và vuông góc với nhau.
b) Để là hình thoi thì có .
c) Để là hình vuông thì phải có phải vuông góc với và Tứ giác có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau.
--- HẾT ---