Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 4: Đường trung bình của hình thang

Bài 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Trong hình thang chỉ có một đường trung bình.
2. Tính chất
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
3. Định lý đường trung bình của hình thang
Trong một hình thang, đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Sử dụng tính chất đường trung bình của hình thang và kiến thức đã học để tính độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 1. Cho hình thang . Tìm độ dài trong các hình vẽ bên dưới
	a)	b)
Lời giải
a) Hình thang có
M là trung điểm của AD (giả thiết);
N là trung điểm của BC (giả thiết).
 là đường trung bình của hình thang .
.
b) Hình thang có
E là trung điểm của AD (giả thiết);
H là trung điểm của BC (giả thiết).
 là đường trung bình của hình thang .
Ví dụ 2. Trong hình bên dưới có . Hãy tìm các độ dài và .
Lời giải
Vì là đường trung bình của nên
 .
Mặt khác là đường trung bình của hình thang nên
 .
Do đó .
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Sử dụng định lý đường trung bình của hình thang để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng. Từ đó kết luận hai đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 3. Cho hình thang (). Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Đường thẳng cắt tại , cắt tại .
a) Chứng minh , ;
b) Cho cm, cm. Tính , , .
Lời giải
a) Có 
.
Chứng minh tương tự có .
b) (cm); (cm),
 (cm).
Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình để chứng minh yếu tố hình học
Vận dụng tính chất, định lý đường trung bình của tam giác hoặc của hình thang để chứng minh các yếu tố hình học khác.
Ví dụ 4. Cho hình thanh (). Gọi lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng , , , .
a) Chứng minh , , , nằm trên một đường thẳng;
b) Tính , biết , ().
Lời giải
a) Ta có
 là đường trung bình của hình thang nên .	(1)
 là đường trung bình của nên .	(2)
 là đường trung bình của nên .	(3)
Từ (1), (2), (3) , , , thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clít).
b) Ta có ;
Lại có ;
Suy ra .
Ví dụ 5. (*) Cho tứ giác . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , .
a) So sánh độ dài các đoạn thẳng và , và ;
b) Chứng minh ;
c) Khi thì tứ giác là hình gì? Vì sao?
Lời giải
a) Ta có .
Lại có .
b) Ta có 
.
c) Khi thì , , thẳng hàng. Khi đó là hình thang.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình thang (, ). Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Gọi , là giao điểm của với và . Chứng minh .
Lời giải
Vì là đường trung bình của hình thang nên , là trung điểm của và . Suy ra .
Mặt khác,
Vậy .
Bài 2. Cho tứ giác có , . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Khi đó, , là đường trung bình của và . Suy ra , .
Với ba điểm , , bao giờ ta cũng có
.
Do đó .
Bài 3. Cho hình thang có , . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Đoạn thẳng cắt tại , cắt tại . Tính độ dài .
Lời giải
Xét hình thang có , nên là đường trung bình. Suy ra .
Xét có và nên . Vậy là đường trung bình của , suy ra .
Chứng minh tương tự, ta được là đường trung bình của nên Suy ra 
Bài 4. Cho hình thang . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Biết rằng . Tính chu vi của hình thang .
Lời giải
Ta có , nên là đường trung bình của hình thang , do đó
 hay .
Chu vi hình thang là
.
Bài 5. Cho hình thang . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , và . Chứng minh bốn điểm , , , thẳng hàng.
Lời giải
Xét có là đường trung bình nên
, do đó . 	(1)
Xét có là đường trung bình nên
. 	(2)
Xét hình thang có là đường trung bình nên . 	(3)
Qua chỉ vẽ được một đường thẳng song song với nên từ (1), (2), (3) suy ra bốn điểm , , , thẳng hàng.
Bài 6. Cho hình thang có . Các đường phân giác của góc và góc cắt nhau tại . Các đường phân giác của góc và góc cắt nhau tại . Chứng minh rằng .
Lời giải
Gọi và là giao điểm của , với . Ta có .
Do đó cân tại . Mặt khác là đường phân giác ứng với cạnh đáy nên cũng là đường trung tuyến. Vậy .
Chứng minh tương tự ta được . 
Xét hình thang có là đường trung bình nên .
Bài 7. Cho hình thang , . Gọi , lần lươỵ là trung điểm của và . Đoạn thẳng cắt tại , cắt tại . Chứng minh rằng .
Lời giải
Trước hết chứng minh là trung điểm của và là trung điểm của .
Dễ thấy . 	(1)
;
.	(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài 8. Cho tam giác . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Xét có , nên là đường trung bình, do đó .
Tứ giác có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.
Ta lại có , nên là đường trung bình của hình thang . Vậy .
Bài 9. Cho tam giác , đường trung tuyến . Qua trung điểm của , vẽ đường thẳng sao cho và thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ . Gọi , và lần lượt là hình chiếu vuông góc của , , trên . Chứng minh rằng 
Lời giải
Vẽ . Ta có là đường trung bình của hình thang nên 
Mà .
Do đó 
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 11. Cho hình thanh (), là trung điểm của , là trung điểm của . Gọi , theo thứ tự là giao của với , . Biết cm, cm. Tính độ dài các đoạn , , .
Lời giải
Có (cm).
Có (cm).
Có .
Suy ra (cm).
Bài 12. Cho hình thang có đáy , . Gọi , , theo thứ tự là trung điểm của , , . Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
Lời giải
Có là đường trung bình của nên
.	(1)
Có là đường trung bình của hình thang nên .	(2)
Từ và , , thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clít).
--- HẾT ---