Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 5: Dựng hình bằng thước và compas

Bài 5. DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPAS
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Bài toán vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa là bài toán dựng hình.
Các bài toán dựng hình đã biết là
Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Dựng một góc bằng một góc cho trước.
Dựng trưng trực của đoạn thẳng cho trước, dựng trưng điểm của một đoạn thẳng cho trước.
Dựng tia phân giác của một góc cho trước.
Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
Dựng tam giác trong các trường hợp (c.c.c), (c.g.c) và (g.c.g).
Bài toán dựng hình gồm có bốn bước
Bước 1: Phân tích.
Bước 2: Nêu cách dựng.
Bước 3: Chứng minh.
Bước 4: Biện luận.
Số yếu tố cần thiết để dựng một hình.
Dựng tứ giác cần biết trước 5 yếu tố (cạnh, góc, đường chéo) trong đó số góc cho trước không quá ba.
Dựng hình thang cần biết trước 4 yếu tố, trong đó số góc cho trước không quá hai.
Dựng hình thang cân cần biết trước 3 yếu tố, trong đó số góc cho trước không quá một.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Dựng tứ giác
Dựng tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của tứ giác.
Dựng đỉnh thứ tư thỏa mãn hai yếu tố còn lại.
Ví dụ 1. Dựng tứ giác biết , , và .
Lời giải
Phân tích
Giả sử đã dựng được tứ giác thỏa mãn đề. Ta thấy
 dựng được ngay (c.c.c).
 dựng được (c.c.c).
Cách dựng
Dựng sao cho , và .
Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa ; dựng tam giác sao cho (đã có), , . Tứ giác là tứ giác phải dựng.
Chứng minh
Theo cách dựng, tứ giác có 
Biện luận
Ta luôn luôn dựng được một tứ giác thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 2. Dựng tứ giác biết , , , , .
Lời giải
Phân tích
Giả sử dựng được tứ giác thỏa mãn đề bài. Ta thấy
 dựng được ngay (c.c.c).
 dựng được ngay (c.c.c).
Cách dựng
Dựng tam giác sao cho , , .
Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa , dựng tam giác sao cho (đã có), , .
Nối ta được tứ giác phải dựng.
Chứng minh
Theo cách dựng, tứ giác có , , , , .
Biện luận
Ta luôn luôn dựng được một tứ giác thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 3. Dựng tứ giác biết , , , , .
Lời giải
Phân tích
Giả sử đã dựng được tứ giác thỏa mãn đề bài ta thấy
Cạnh dựng được ngay.
Các góc , cũng dựng được.
Điểm nằm trên tia và cách là .
Điểm nằm trên tia và cách là .
Cách dựng
Dựng đoạn .
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ , ta dựng các góc , góc sao cho , .
Trên tia ta đặt cm.
Trên tia ta đặt cm.
Nối ta được tứ giác phải dựng.
Chứng minh
Theo cách dựng, ta có tứ giác có , , , , .
Biện luận
Ta luôn luôn dựng được một tứ giác thỏa mãn đề bài.
Dạng 2: Dựng hình thang
Dựng tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của hình thang.
Dựng đỉnh thứ tư thỏa mãn hai điều kiện trong đó có một điều kiện song song.
Ví dụ 4. Dựng hình thang biết , , , .
Lời giải
Phân tích
Giả sử đã dựng được hình thang thỏa mãn đề bài. Ta thấy
 dựng được ngay.
Điểm thỏa mãn hai điều kiện
 nằm trên tia ;
 cách là .
Cách dựng
Dựng tam giác sao cho , , .
Dựng tia (tia này nằm trên nửa mặt phẳng bờ có chứa ).
Dựng điểm trên tia sao cho .
Nối , ta được hình thang phải dựng.
Chứng minh
Tứ giác là hình thang vì .
Hình thang này theo cách dựng có , , và thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Biện luận
Ta luôn luôn dựng được một hình thang thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 5. Dựng hình thang vuông tại biết , và .
Lời giải
Phân tích
Giả sử dựng được hình thang thỏa mãn đề bài. Ta thấy
 dựng được ngay (c.g.c).
Điểm thỏa mãn hai điều kiện
 nằm trên tia ;
 cách là .
Cách dựng
Dựng tam giác sao cho , , .
Dựng tia (tia nằm trên nửa mặt phẳng bờ có chứa ).
Dựng cung tròn cắt tia tại .
Nối , ta được hình thang phải dựng.
Chứng minh
Tứ giác là hình thang vuông vì .
Hình thang này theo cách dựng có , và và .
Biện luận
Ta luôn luôn dựng được một hình thang thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 6. Dựng hình thang biết , và , .
Lời giải
Phân tích
Giả sử dựng được hình thang thỏa mãn đề bài. Ta thấy
 dựng được ngay (c.g.c).
Điểm thỏa mãn hai điều kiện
 nằm trên tia ;
 cách là .
Cách dựng
Dựng tam giác sao cho , , .
Dựng tia (tia nằm trên nửa mặt phẳng bờ có chứa ).
Dựng cung tròn cắt tia tại .
Nối , ta được hình thang phải dựng.
Chứng minh
Tứ giác là hình thang vuông vì .
Hình thang này theo cách dựng có , và và .
Biện luận
Vì cung tròn cắt tia tại và nên bài toán có hai nghiệm hình: hình thang và hình thang .
Ví dụ 7. Dựng hình thang biết , , và .
Lời giải
Phân tích
Giả sử dựng được hình thang thỏa mãn đề bài. Ta vẽ . Ta có , . Do đó .
Tam giác dựng được (c.c.c).
Điểm nằm trên tia và cách là .
Điểm nằm trên tia và cách là .
Cách dựng
Dựng tam giác sao cho , , .
Trên tia dựng điểm sao cho .
Dựng tia (tia nằm trên nửa mặt phẳng bờ có chứa ).
Trên tia dựng điểm sao cho ; nối ta được hình thang phải dựng.
Chứng minh
Tứ giác là hình thang vì .
Hình thang này theo cách dựng ta có , , và .
Biện luận
Ta luôn luôn dựng được một hình thang thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 8. Dựng hình thang cân biết , và đường cao .
Lời giải
Phân tích
Giả sử dựng được hình thang cân thỏa mãn đề bài. Ta thấy 
Tam giác vuông tại dựng được ngay.
Điểm nằm trên tia và cách là .
Điểm nằm trên tia và nằm trên tia sao cho .
Cách dựng
Dựng tam giác vuông tại sao cho , .
Trên tia dựng điểm sao cho .
Dựng tia (tia nằm trên nửa mặt phẳng bờ có chứa ).
Dựng tia sao cho . Hai tai và cắt nhau tại . Tứ giác là hình thang phải dựng.
Chứng minh
Tứ giác là hình thang vì . Hình thang này là hình thang cân vì .
Hình thang cân này theo cách dựng có , và đường cao .
Biện luận
Ta luôn luôn dựng được một hình thang cân thỏa mãn đề bài.
Dạng 3: Dựng tam giác (các trường hợp khó)
Dựng một tam giác có hai đỉnh của tam giác cần dựng.
Dựng đỉnh còn lại thỏa mãn hai điều kiện nào đó của đề bài.
Ví dụ 9. Dựng tam giác biết , và .
Lời giải
Phân tích
Giả sử dựng được tam giác thỏa mãn đề bài. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Khi đó .
Tam giác dựng được ngay (c.g.c).
Đỉnh nằm trên cạnh và nằm trên đường trung trực của (vì điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng ).
Cách dựng
Dựng tam giác sao cho , , .
Dựng đường trung trực của cắt tại .
Nối , ta được tam giác phải dựng.
Chứng minh
Theo cách dựng, điểm nằm trên đường trung trực của nên . Suy ra .
Tam giác có , , .
Biện luận
Bài toán luôn có một nghiệm hình.
Ví dụ 10. Dựng tam giác vuông tại biết , .
Lời giải
Phân tích
Giả sử dựng được tam giác thỏa mãn đề bài. Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Khi đó , .
Tam giác dựng được.
Điểm nằm trên tia và nằm trên đường trung trực của (vì cách đều hai đầu đoạn thẳng ).
Cách dựng
Dựng tam giác sao cho , và .
Dựng đường trung trực của cắt tia tại .
Nối ta được tam giác phải dựng.
Chứng minh
Vì điểm nằm trên đường trung trực của nên .
Suy ra .
Tam giác có , và .
Biện luận
Bài toán luôn có một nghiệm hình.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Dựng hình thang ( biết 
Lời giải
Ta có thể dựng (c.g.c) rồi dựng tia và tia sao cho để xác định điểm .
Bài 2. Dựng hình thang cân () biết .
Lời giải
Ta có thể dựng (c.c.c) rồi dựng tia và dựng cung tròn để xác định điểm .
Bài 3. (*) Dựng hình thang cân () biết đường cao .
Lời giải
Dựng vuông tại sao cho ; .
Dựng điểm trên tia sao cho . Dựng điểm trên tia và 
Bài 4. (*) Cho góc nhọn và một điểm nằm trong góc đó. Hãy dựng đường thẳng đi qua cắt hai cạnh và lần lượt tại và sao cho là trung điểm của 
Lời giải
Qua dựng đường thẳng song song với , cắt tia tại .
Trên tia dựng điểm sao cho là trung điểm của .
Nối cắt tia tại . Khi đó .
--- HẾT ---