Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 7: Hình bình hành

Bài 7. HÌNH BÌNH HÀNH
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
 là hình bình hành .
2. Tính chất
Trong hình bình hành:
Các cạnh đối bằng nhau.
Các góc đối bằng nhau.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Dựa vào một trong năm dấu hiệu.
Ví dụ 1. Cho hình bình hành , đường chéo . Kẻ và vuông góc với tại và . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
Vì là hình bình hành
Vì (so le trong).
Vì (1).
Vì (cạnh huyền - góc nhọn). 
 (hai cạnh tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình bình hành.
Ví dụ 2. Cho tam giác có là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với tại , vuông góc với tại cắt nhau ở . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
Xét có là trực tâm, suy ra ; .
Vì (1).
Vì (2).
Từ và suy ra tứ giác là hình bình hành.
Dạng 2: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học
Sử dụng tính chất về cạnh, góc, đường chéo của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.
Ví dụ 3. Cho hình bình hành . Gọi là trung điểm của , là trung điểm của . Chứng minh:
a) và ;	b) .
Lời giải
a) Vì tứ giác là hình bình hành
.
Vì là trung điểm của .
Vì là trung điểm của .
Do đó .
Từ và Tứ giác là hình bình hành .
Vì là hình bình hành nên .
Mà .
b) Vì tứ giác là hình bình hành suy ra .
Dạng 3: Sử dụng tính chất hình bình hành để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
Vận dụng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường để chứng minh.
Ví dụ 4. Cho hình bình hành , gọi là giao điểm của hai đường chéo. Gọi và lần lượt là trung điểm của , . Kẻ vuông góc với tại , vuông góc với tại . Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng và các đường thẳng , , đồng quy.
Lời giải
Vì là hình bình hành nên .
Vì .
Ta có (1).
Ta có (cạnh huyền - góc nhọn)
(2) .
Từ và suy ra tứ giác là hình bình hành.
Xét hình bình hành có là trung điểm của .
Suy ra là giao điểm hai đường chéo của của hình bình hành .
 thẳng hàng.
Do đó cùng đi qua .
Hay đồng quy.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho hình bình hành (). Tia phân giác của góc cắt ở , tia phân giác của góc cắt ở .
a) Chứng minh ;	b) Tứ giác là hình gì?
Lời giải
a) Vì là hình bình hành nên 
Vì là phân giác góc nên .
Vì là phân giác góc nên .
Mà ( so le trong ).
Do đó (đồng vị).
Vì nên . Xét tứ giác có 
Vậy tứ giác là hình bình hành.
Bài 2. Cho tam giác . Từ một điểm trên cạnh vẽ đường thẳng song song với cắt tại và đường thẳng song song với cắt tại . Giả sử . Chứng minh:
a) Tam giác cân;	b) là phân giác của góc .
Lời giải
a) Vì .
Vì .
 Tứ giác là hình bình hành. 
Mà (gt) Tam giác cân.
Vì tam giác cân tại nên .
Vì (so le trong).
.
 là tia phân giác của góc .
Bài 3. Cho tứ giác . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , , . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
Xét tam giác có là đường trung bình
Xét tam giác có là đường trung bình
Từ và suy ra 
 Tứ giác là hình bình hành.
Bài 4. Cho hình bình hành . Gọi là giao điểm hai đường thẳng và . Qua điểm vẽ đường thẳng song song với cắt hai cạnh lần lượt tại . Trên lần lượt lấy các điểm sao cho . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh:
a) Các tứ giác là hình bình hành;
b) Ba điểm thẳng hàng;
c) Ba đường thẳng đồng quy.
Lời giải
a) Vì là hình bình hành nên .
Vì .
Xét tứ giác có 
 Tứ giác là hình bình hành.
Xét tứ giác có .
 Tứ giác là hình bình hành.
b) Vì là hình bình hành.
Mà là giao điểm của và suy ra và trùng nhau.
Do đó thẳng hàng.
c) Ta có là giao điểm của và .
Mà thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng đồng quy.
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Cho hình bình hành . Gọi , lần lượt là trung điểm các cạnh và . Chứng minh:
a) và ;	b) .
Lời giải
a) Vì tứ giác là hình bình hành
.
Vì là trung điểm của . 
Vì là trung điểm của . 
.
Từ và , suy ra tứ giác là hình bình hành .
Vì tứ giác là hình bình hành suy ra 
 (so le trong).
b) Vì tứ giác là hình bình hành suy ra .
Bài 6. Cho hình bình hành , gọi là giao điểm của hai đường chéo. Trên lấy điểm , trên lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy.
Lời giải
Vì là hình bình hành nên .
Xét tứ giác có 
 Tứ giác là hình bình hành.
Xét hình bình hành có là trung điểm .
Suy ra là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành , , thẳng hàng.
Hay , , đồng quy.
Bài 7. Cho hình bình hành . Gọi là giao điểm hai đường thẳng và . Qua điểm , vẽ đường thẳng cắt hai đường thẳng lần lượt tại . Qua vẽ đường thẳng cắt hai cạnh lần lượt tại . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
Vì là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành nên .
Xét và có
 (so le trong).
 (chứng minh trên).
 (đối đỉnh).
 (g - c -g).
 (hai cạnh tương ứng).
 là trung điểm của .
Tương tự là trung điểm của .
Xét tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Do đó tứ giác là hình bình hành.
--- HẾT ---