Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 9. HÌNH CHỮ NHẬT
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi
.
Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là hình bình hành, cũng là hình thang.
2. Tính chất
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân.
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3. Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
4. Áp dụng vào tam giác vuông
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
Ví dụ 1. Cho tam giác , đường cao . Gọi là trung điểm của . Lấy là điểm đối xứng với qua . Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
Ta có và . 
 là hình bình hành do có hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm .
Mà .
 là hình chữ nhật.
Dạng 2: Áp dụng vào tam giác vuông
Sử dụng định lý về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh vuông góc 
Ví dụ 2. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của , . Chứng minh:
a) ;	b) Chu vi bằng nửa chu vi .
Lời giải
a) Ta có (trung tuyến tam giác vuông).
 cân tại . 
 .
Chứng minh tương tự: .
 .
b) là đường trung bình của . (1)
 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông tại . . (2)
 là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông tại .
 . (3)
Từ (1), (2) và (3) .
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng
Sử dụng các tính chất về vuông góc của hình chữ nhật và định lý Py-ta-go để tính toán.
Ví dụ 3. Tìm trong hình vẽ bên, Biết cm, cm, cm.
Lời giải
Kẻ , ta có là hình chữ nhật nên 
 cm, .
Xét vuông tại có cm. 
 cm.
Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật để trả lời cho yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4. Cho tứ giác . Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của các 
cạnh , , , .
a) Chứng minh là hình bình hành;
b) Tìm điều kiện của tứ giác để tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
a) Xét có là đường trung bình.
 và . (1)
Xét có là đường trung bình.
 và . (2)
Từ (1) và (2) là hình bình hành.
b) Để là hình chữ nhật thì 
Vì và nên .
 Để là hình chữ nhật thì .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , , , . Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
Xét có EH là đường trung bình.
 và . (1)
Xét có là đường trung bình.
 và . (2)
Từ (1) và (2) là hình bình hành.(3)
Xét có là đường trung bình.
 . 
Mà và 
 . (4)
Từ (3) và (4) là hình chữ nhật.
Bài 2. Tìm độ dài trong hình vẽ bên, biết cm, cm, cm.
Lời giải
Kẻ , ta có là hình chữ nhật nên cm, .
Xét vuông tại có cm. 
 cm.
Bài 3. Cho hình thang cân (, ). Gọi , , , lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng , , , .
a) Chứng minh bốn điểm , , , thẳng hàng;
b) Chứng minh tứ giác là hình thang cân;
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa và để là hình chữ nhật.
Lời giải
a) Xét có MN là đường trung bình.
 và . (1)
Xét có là đường trung bình.
 và . (2)
Mà do là hình thang.
 (3).
Từ (1),(2) và (3) M,N,P thẳng hàng.(I)
Xét có PQ là đường trung bình.
 và . (4)
Xét có là đường trung bình.
 và . (5)
Mà do là hình thang.
 (6).
Từ (4), (5) và (6) , , thẳng hàng. (II)
Từ (I) và (II) , , , thẳng hàng.
b) Ta có là hình thang.(7)
Xét và có:
 (c-g-c)
 (8)
Từ (7) và (8) là hình thang cân.
c) Gọi là giao điểm của và . 
Để là hình chữ nhật ta cần nên là tam giác vuông .
Mà ta có và .
 . 
Xét có là đường trung bình.
 .
 .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho tam giác vuông cân tại . Trên các cạnh , lấy lần lượt các điểm , sao cho . Từ điểm vẽ song song với (). Chứng minh tứ giác Ià hình chữ nhật.
Lời giải
Ta có: Tam giác vuông cân tại nên .
, hay .
Do đó tam giác vuông tại và
 nên là tam giác vuông cân tại .
Mà . Và .
Do đó là hình bình hành. Hình bình hành có .
 là hình chữ nhật.
Bài 5. Cho tam giác có đường cao . Từ kẻ tia vuông góc với , từ kẻ tia song song với . Gọi là giao điểm của tia và tia . Nối với trung điểm của , đường cắt tại và cắt tại .
a) Tứ giác là hình gì?	b) Chứng minh tam giác cân. 
Lời giải
a) Ta có: và 
 .
Xét và có
 (so le trong);
 là cạnh chung;
.
 (g-c-g)
 (2 góc tương ứng)
Xét tứ giác có:
 tứ giác là hình chữ nhật.
b) Do tứ giác là hình chữ nhật. Mà P là trung điểm AB (1)
Xét vuông tại I và có IP là đường trung tuyến.
 (2)
Từ (1) và (2) cân tại .
Bài 6. Tìm độ dài trong hình vẽ bên, biết cm, cm, cm.
Lời giải
Kẻ ta có là hình chữ nhật nên 
cm, cm.
Tam giác vuông tại có cm.
 cm.
Bài 7. Cho tam giác . Gọi là một điểm thuộc miền trong của tam giác. , 
, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , , , .
a) Chứng minh tứ giác là hình bình hành;
b) Xác định vị trí của điểm để tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
a) Xét có MN là đường trung bình
 và . (1)
Xét có là đường trung bình
 và . (2)
Từ (1) và (2) là hình bình hành.
b) Xét có PN là đường trung bình . (3)
Để là hình chữ nhật thì . (4)
Từ (3) và (4) Để là hình chữ nhật 
 () nên O nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh A.
--- HẾT ---