Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ bổ sung: Diện tích hình thang

Chủ đề 4
DIỆN TÍCH HÌNH THANG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao:
.
Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính diện tích hình thang
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
	Áp dụng công thức tính diện tích hình thang, định lý Py-ta-go.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên hình 203 ta có hình thang với đường trung bình và hình chữ nhật . Hãy so sánh diện tích hai hình này, từ đó suy ra một công thức khác tính diện tích hình thang.
Lời giải (hình 203)
Từ giả thiết là đường trung bình của hình thang 
nên .
Mặt khác (vì so le).
Do đó 
(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).
Theo tính chất bất biến của diện tích thì 
, suy ra
, với là đường trung bình và là chiều cao của hình thang.
Điều này, chứng tỏ rằng: Diện tích hình thang bằng tích của độ dài đường trung bình với chiều cao của nó.
Ví dụ 2. Tính diện tích mảnh đất hình thang theo các độ dài cho trên hình 204 và biết diện tích hình chữ nhật là .
Lời giải (hình 204)
Áp dụng công thức tính diện tích vào hình thang , ta được: 
	.
Ta còn phải tính chiều cao . 
Vì .
Vậy .
Ví dụ 3. Tính diện tích hình thang, biết hai đường chéo của nó vuông góc với nhau và có độ dài tương ứng bằng và .
Lời giải (hình 205)
Xét hình thang có 
và .
Kẻ đường cao của hình thang. Áp dụng công 
thức tính diện tích vào hình thang ta được 
 (1).
Kẻ thì và hình thang 
có hai cặp song song nên nó là hình bình hành suy ra và .
Do đó .
Thay vào công thức (1), ta được: .
Điều này chứng tỏ rằng là diện tích tam giác vuông tại .
Vậy .
III. BÀI TẬP
Tính diện tích hình thang vuông biết và .
Tính diện tích hình thang biết: và .
Tính diện tích hình thang biết và .
Cho hình thang cân biết chiều cao và . Tính diện tích hình thang .
Tính diện tích hình thang cân có các đáy bằng và , cạnh bên bằng .
Chứng minh rằng: Diện tích tam giác có cạnh đáy là cạnh bên của hình thang và đỉnh là trung điểm của cạnh bên kia thì bằng một nửa diện tích của hình thang đó.
DẠNG 2. Tính diện tích hình bình hành
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành, các tính chất về diện tích.
Sử dụng công thức và các kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.
MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính diện tích hình bình hành biết và .
Lời giải (hình 206)
Kẻ .
Áp dụng công thức tính diện tích vào hình bình hành 
, ta được:
	.
Ta còn phải tính chiều cao .
Do các góc và là hai góc trong cùng phía của 
 nên chúng bù nhau, hay .
Mà theo giả thiết nên , suy ra tam giác là nửa tam giác đều nên cạnh đối diện với góc là .
Vậy .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành có diện tích bằng , là giao điểm của hai đường chéo. Khoảng cách từ đến lần lượt bằng . Tính các độ dài và .
Lời giải (hình 207)
Ta thấy các tam giác có diện tích bằng 
nhau vì có chung chiều cao, đáy bằng nhau nên diện tích mỗi 
tam giác bằng .
Kẻ thì 
.
	.
Ví dụ 3. Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là và . Một trong các đường cao có độ dài là . Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài toán có mấy đáp số?
Lời giải (hình 208)
Xét hình bình hành có và 
có một đường cao dài ;
Kẻ các đường cao . Tính diện tích hình bình hành 
trên bằng hai cách:
Cách 1: .
Cách 2: ;
Vì hình bình hành chỉ có một diện tích nên hai kết quả trên phải bằng nhau tức là .
Nếu đường cao thứ nhất là thì
 là đường cao thứ hai. 
Nếu đường cao thứ nhất là thì
 là đường cao thứ hai.
BÀI TẬP
Tính diện tích hình bình hành biết hai cạnh kề bằng và , góc xen giữa bằng .
Cho hình thang . Gọi là trung điểm của , kẻ vuông góc với . Chứng minh rằng .
Cho hình bình hành có diện tích , là một điểm nằm trong hình bình hành. Tính tổng diện tích các tam giác và .
Cho hình bình hành . Trên cạnh lấy điểm , trong hình bình hành lấy điểm . Chứng minh rằng:
;	b) .
Chủ đề 5
DIỆN TÍCH HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo:
Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng công thức: , với .
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Hãy tính diện tích của hình vuông có độ dài đường chéo bằng .
Lời giải
Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau, do đó diện tích hình vuông bằng một nửa bình phương độ dài đường chéo, tức là .
Ví dụ 2. Hãy tính diện tích của hình thang cân có và chiều cao bằng .
Lời giải (hình 210)
Từ giả thiết là hình thang cân có hai đường chéo vuông góc nên và .
Áp dụng công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc, ta có: .
Tính : Kẻ thì .
Ta có (c-c-c) nên vuông cân ở .
Do đó suy ra tam giác vuông cân ở nên 
.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào vuông tại , ta được:
	 hay .
Vậy .
BÀI TẬP
Cho hình vuông có đường chéo bằng . Trên đường chéo lấy điểm sao cho . Qua kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của hình vuông, chúng cắt lần lượt ở và , cắt thứ tự ở và . Tính diện tích hình vuông nhỏ.
Hình thang cân có và đường trung bình bằng . Hãy tính diện tích tứ giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang cân đó.
DẠNG 2. Tính diện tích hình thoi
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc hoặc công thức tính diện tích hình bình hành.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng đường chéo của một hình thoi cho trước và có diện tích bằng diện tích của hình thoi đó. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.
Lời giải (hình 211)
Cho hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại .
Vẽ hình chữ nhật có một cạnh là , cạnh kia bằng 
 ;
Ta thấy diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình thoi vì cùng 
gấp đôi .
Do đó .
Điều này chứng tỏ diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.
Ví dụ 2. Cho một hình chữ nhật. Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. Vì sao tứ giác này là một hình thoi? So sánh diện tích hình thoi với diện tích hình chữ nhật. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thoi.
Lời giải (hình 212)
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh của 
hình chữ nhật .
Từ giả thiết và tính chất của hình chữ nhật suy ra bốn tam giác vuông 
bằng nhau là (theo trường hợp c-g-c).
Vậy ta có , tứ giác có bốn cạnh bằng 
nhau nên nó là hình thoi
Ta có (vì cùng bằng ).
Do đó .
Điều này chứng tỏ diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.
Ví dụ 3. Cho hình thoi có . Tính diện tích hình thoi.
Lời giải (hình 213)
Cách 1: Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo, ta được:
Gọi là giao điểm của và thì 
nên .
Từ giả thiết là hình thoi có suy ra tam giác 
 là tam giác đều, do đó tam giác là nửa tam giác đều, ta có:
	.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông tại , ta được:
	 hay .
Vậy .
Cách 2: Vì hình thoi cũng là hình bình hành nên kẻ .
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành vào hình thoi , ta được:
	.
Ta còn phải tính chiều cao .
Theo cách 1, ta có: .
Vậy .
BÀI TẬP
Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng và một trong các góc của nó bằng .
Tính diện tích hình thoi biết .
Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng và tổng hai đường chéo bằng .
Chủ đề 6
DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
	Để tính diện tích một đa giác, người ta thường chia đa giác đó thành các tam giác, các tứ giác không có điểm trong chung tính được diện tích rồi áp dụng tính chất cộng diện tích. Do đó cần ghi nhớ các công thức tính diện tích hình chữ nhật, tam giác, hình thang.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Tính diện tích đa giác
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cách 1: Chia đa giác thành các tam giác, tứ giác không có điểm trong chung tính được diện tích theo công thức đã học rồi áp dụng tính chất cộng diện tích.
Cách 2: Tạo ra một tam giác hoặc hình chữ nhật nào đó chứa đa giác rồi áp dụng tính chất cộng diện tích để đưa về phép tính hiệu các diện tích.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép vẽ và đo cần thiết để tính diện tích 
tam giác (hình 214).
Lời giải 
Chia đa giác thành tam giác và hình thang vuông 
 bằng hai phép vẽ sau:
Nối , kẻ ;
Đo các đoạn thẳng . Ta tính được
	.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành có diện tích . Gọi lần lượt là trung điểm của và là giao điểm của . Tính diện tích tứ giác .
Lời giải (hình 215)
Vì là hình bình hành nên đường chéo chia nó thành 
hai tam giác diện tích bằng nhau là:
;
 (vì chung chiều cao kẻ từ đến và đáy )	(1)
 (vì chung chiều cao kẻ từ đến và đáy )	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: ;
Vậy .
BÀI TẬP
Tính diện tích tứ giác có các kích thước bằng trên hình 216a.
Tính diện tích tường nhà cần quét vôi trên hình 216b với các kích thước bằng mét (trừ một cửa ra vào và hai cửa sổ hình chữ nhật).
Tính diện tích lục giác đều có cạnh .
Chứng minh công thức tính diện tích tam giác , trong đó là nửa chu vi và là khoảng cách từ giao điểm của ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
* Ở một sàn giao dịch bất động sản, người ta quảng cáo bán một hồ hình tam giác và ba mảnh đất hình vuông dựng trên ba cạnh hồ. Diện tích ba mảnh đất đó theo thứ tự bằng và . Bảng quảng cáo không nói rõ diện tích của hồ, làm nhiều người thắc mắc, không rõ diện tích đó lớn hay bé. Bạn hãy tính giúp xem diện tích của hồ bằng bao nhiêu?
* Cho lục giác , có các cạnh đối diện và và và đôi một song song với nhau. Chứng minh rằng .
DẠNG 2*. Bài toán chia đa giác thành các phần có diện tích bằng nhau
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Kẻ thêm đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước để tạo ra một tam giác mới có diện tích bằng diện tích của tam giác cho trước.
Áp dụng tính chất cộng diện tích.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác và điểm phụ thuộc cạnh . Qua hãy dựng một đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Lời giải (hình 217)
Gọi là trung điểm của .
Nếu thì trung tuyến là đường thẳng cần dựng.
Thật vậy, ta có (vì chung chiều cao kẻ từ đến , 
đáy bằng nhau). 
Nếu (trường hợp ngược lại làm tương tự).
Qua kẻ cắt ở thì là đường thẳng cần dựng.
Thật vậy, gọi là giao điểm của và ta có 
(vì chung đáy , chiều cao kẻ từ và đến bằng nhau)	(1).
Mà 	(2)
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho (2), ta được: .
Do đó:
	 	(3)
	 	(4)
Từ (3) và (4) suy ra hay chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Ví dụ 2. Cho tứ giác . Hãy dựng một đường thẳng đi qua chia tứ giác đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Lời giải (hình 218)
Giả sử .
Qua kẻ một đường thẳng song song với đường chéo cắt 
tại thì khoảng cách từ và đến bằng nhau.
Ta có vì chung đáy , chiều cao bằng nhau.
Do đó .
Bài toán đã cho trở thành, qua đỉnh của tam giác kẻ một 
đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Vậy trung tuyến của tam giác là đường thẳng cần dựng.
III. BÀI TẬP
6. 	Cho tam giác và điểm thuộc cạnh . Qua hãy dựng hai đường thẳng chia tam giác thành ba phần có diện tích bằng nhau.
7.	Cho tứ giác và điểm thuộc cạnh (diện tích các tam giác nhỏ hơn nửa diện tích tứ giác). Hãy dựng một đường thẳng đi qua chia tứ giác đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
Chủ đề 1
(hình 219) Có bốn tam giác .
Có ba tứ giác là .
Có hai ngũ giác là và có một lục giác là .
(hình 220) Đặt cạnh của tam giác đều bằng thì các tam giác 
 là các tam giác đều cạnh . 
Do đó (1); 
Mặt khác tam giác là tam giác đều nên suy ra góc 
kề bù với nó là .
Chứng minh tương tự ta được lục giác có tất cả các góc 
bằng .
Kết hợp với đẳng thức (1) ta có lục giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau nên nó là lục giác đều.
(hình 221) Xét ngũ giác có lần lượt là trung điểm của các cạnh .
Từ định nghĩa đa giác đều và giả thiết suy ra tam giác cân bằng nhau là (c.g.c) nên 	(1)
Xét các tam giác cân .
Vì ngũ giác là ngũ giác đều nên các góc được tính theo công thức: 
	.
Suy ra .
Do nên .
Chứng minh tương tự ta được ngũ giác có tất cả các góc bằng . Kết hợp với đẳng thức (1) ta thấy ngũ giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau nên nó là ngũ giác đều.
Áp dụng công thức tính tổng các góc của giác: .
Với , ta được: ;
Với , ta được: ;
Với , ta được: .
Áp dụng công thức tính số đường chéo của giác: ;
Với , ta được: ;
Với , ta được: ;
Với , ta được: .
Gọi số cạnh của đa giác là 
Vì tổng số đo các góc của đa giác là nên ta có phương trình:
	.
Vì tổng các góc trong và ngoài tại một đỉnh của đa giác bằng nên tổng các góc trong và ngoài tại đỉnh bằng .
Mà tổng các góc trong của đa giác bằng .
Vậy tổng các góc ngoài của đa giác là:
	.
Điều này chứng tỏ tổng các góc ngoài của bất kì đa giác nào cũng bằng .
Đa giác có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài khi và chỉ khi:
.	.
Điều này chứng tỏ đa giác có bốn cạnh.
Đa giác có số đường chéo bằng số cạnh khi và chỉ khi:
 (vì ). 
 Đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh khi và chỉ khi:
 (vì ).
Mỗi góc của đa giác đều bằng .
* (hình 222) Rõ ràng hình vuông và ngũ giác đều thoả mãn 
điều kiện đầu bài.
Ta đi chứng minh đa giác có số cạnh lớn hơn không thoả mãn 
bài ra bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử tồn tại đa giác với có các đường chéo có 
độ dài bằng nhau.
Khi đó vì chúng là các đường chéo.
Xét tứ giác , các đoạn thẳng là các đường chéo, còn là các cạnh của tứ giác nên tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối (xem ví dụ 2, dạng 2, chủ đề 1, chương 1) tức là:
 mâu thuẫn với giả thiết quy nạp vì và cũng là các đường chéo của đa giác.
Điều này chứng tỏ giả thiết trên là sai.
Vậy những đa giác có số cạnh lớn hơn không thoả mãn bài ra.
Chủ đề 2
Gọi cạnh hình vuông là thì diện tích hình vuông là .
Nếu mỗi cạnh của nó tăng thêm thì cạnh của hình vuông mới là .
Do đó hình vuông mới có diện tích là .
So với diện tích cũ thì diện tích mới tăng thêm .
Gọi chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật là thì diện tích của nó là .
Nếu chiều dài tăng thêm thì chiều dài mới là .
Nếu chiều rộng tăng thêm thì chiều rộng mới là .
Do đó diện tích của hình chữ nhật mới là , so với diện tích cũ là thì diện tích mới tăng thêm .
Nếu chiều dài giảm đi thì chiều dài mới là ;
Nếu chiều rộn tăng thêm thì chiều rộng mới là .
Do đó hình chữ nhật mới có diện tích là .
So với diện tích cũ là thì diện tích mới giảm đi .
Gọi các cạnh của hình chữ nhật là (với điều kiện ) thì diện tích của nó là .
Theo bài ra ta có (1), (2).
Nhân theo vế đẳng thức (1) với (2), ta được:
	 (vì ).
Thay vào (2), ta được .
Giả sử (vì ).
Do đó .
(hình 223) Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh 
 của hình thoi , ta có .
Tứ giác là hình chữ nhật nên có diện tích: 
.
(hình 224) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh 
 của hình thang cân ,
.
Tứ giác là hình vuông cạnh nên diện tích là .
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là thì diện tích của tam giác vuông là .
Theo giả thiết , cạnh huyền bằng .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông, ta được:
	.
(hình 225) Kẻ đường cao thì: 
.
;
;
.
Gọi các kích thước của hình chữ nhật là thì diện tích của nó là .
Ta có (1). Dấu bằng xảy ra khi .
Với chu vi của hình chữ nhật bằng .
Thay vào đẳng thức (1), ta được: .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy khi hay hình chữ nhật là hình vuông.
Điều này chứng tỏ trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông cạnh có diện tích lớn nhất.
Với . Thay vào (1), ta được:
.
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy chu vi của hình chữ nhật đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .
Điều này chứng tỏ trong các hình chữu nhật có cùng diện tích thì hình vuông cạnh có chu vi nhỏ nhất.
Chủ đề 3
(hình 226) Áp dụng công thức tính diện tích vào tam giác ,
 ta được:
.
Tính chiều cao ;
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông tại , ta được:
	 hay vì .
Tính .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông tại , ta được:
	 hay , vì .
Do đó .
Vậy . 
(hình 227)	 ;
;
.
(hình 228) Ta có (vì chung đáy chiều cao kẻ từ 
 và đến bằng nhau).
 (vì chung đáy chiều cao kẻ từ và đến 
bằng nhau).	(1)
Lại có 	(2)
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho (2), ta được:
	.
(hình 229) Vì theo giả thiết nên các đường cao kẻ 
từ và đến bằng nhau 
(chung đáy , chiều cao bằng nhau).
Do đó .
(hình 230) Vì là hình bình hành nên 
và theo giả thiết. Do đó các đường cao kẻ từ đến 
bằng nhau. Các đường cao kẻ từ đến bằng nhau. Các đường 
cao kẻ từ và đến bằng nhau.
Ta có (vì chung đáy , chiều cao bằng nhau)	(1).
	 (vì chung đáy , chiều cao bằng nhau)	(2).
	 	(3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra: .
(hình 231) Gọi .
 (vì chung đáy và đường cao bằng nhau).
Ta có (vì chung chiều cao kẻ từ đến và các đáy bằng nhau).
.
.
.
(hình 232) Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến và 
 là thì là trọng tâm của tam giác nên 
theo tính chất về các đường trung 
tuyến của tam giác.
Ta có (vì có chung chiều cao kẻ từ đến , 
đáy ).
Mà .
Do đó .
(hình 233) Gọi thì (vì chung 
chiều cao kẻ từ đến , đáy bằng nhau).
Lập luận tương tự, ta cùng có:
	.
Từ đó suy ra:
.
.
(hình 234) Kẻ đường cao thì là trung điểm của theo tính chất của tam giác cân nên . Tính diện tích tam giác cân theo hai cách.
Cách 1: Tính theo đường cao , ta có:
	.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được: 
Hay 
Do đó .
Cách 2: Tính theo đường cao , ta có: 
.
Vì tam giác cân chỉ có một diện tích nên hai kết 
quả trên phải bằng nhau, tức là: .
(hình 235) Gọi chiều cao kẻ từ đến là . Vì nên chiều cao kẻ từ đến bằng nhau, gọi chiều cao đó là .
 (vì chung chiều cao kẻ từ đến , đáy bằng nhau)(1). 
 (vì đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau).	(2)
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho (2), ta được: 	(3)
Mặt khác: (4)
	 (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra .
(hình 236) Trước hết ta chứng minh .
Vì nên chiều cao kẻ từ và đến bằng nhau.
Ta có (vì chung đáy , chiều cao bằng nhau) (1) 
và 	(2)
Trừ theo vế đẳng thức (1) cho (2), ta được: .
Lập luận tương tự như bài 10, ta được: .
(hình 237) Gọi .
Tính diện tích tam giác cân bằng hai cách. 
Cách 1: Tính theo công thức diện tích:
	.
Cách 2: Tính theo tính chất cộng diện tích:
	.
Vì tam giác cân chỉ có một diện tích nên hai kết quả trên phải 
bằng nhau, tức là: hay .
(hình 238) Xét tam giác có .
Kẻ thì và lần lượt là đường xiên. Đường vuông góc kẻ từ điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó nên đường vuông góc là đường ngắn nhất, hay .
Do đó .
Ta có: .	(1)
	 	(2) 
Từ (1) và (2), suy ra: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi 
vuông cân tại .
Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng là và diện tích của tam giác là .
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta được: .
Theo kết quả của bài 13, ta có: . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác vuông cân tại .
Vậy .
Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là thì diện tích của hình chữ nhật là . Theo định lí Py-ta-go thì: .
Áp dụng kết quả bài 13, ta được: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi hình chữ nhật là hình vuông.
Điều đó chứng tỏ rằng trong các hình chữ nhật có đường chéo bằng thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
* Trước hết, ta có: .
Áp dụng kết quả trên, ta có:
 	.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , hay tứ giác là hình vuông.
Chủ đề 14
(hình 239) Kẻ đường cao thì tứ giác có ba 
góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Suy ra , 
do đó .
Tam giác vuông có nên vuông cân ở , 
suy ra .
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang, ta được:
	.
(hình 240) Kẻ đường cao thì tứ giác có ba góc 
vuông nên nó hình chữ nhật, suy ra:
, do đó .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta có: 
	 hay 
	, vì .
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang, ta được:
	.
(hình 241) Kẻ đường cao thì tứ giác có ba góc 
vuông nên nó là hình chữ nhật, suy ra , do đó:
 	..
Vì tam giác vuông có nên nó là nửa tam giác đều, 
do đó .
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang, ta được:
	.
(hình 242) Gọi lần lượt là trung điểm của và thì là đường trung bình của hình thang nên và (theo tính chất đường trung bình của hình thang).
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang, ta được:
	.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào 
tam giác vuông , ta được nên .
Lại có suy ra . Tứ giác có 
các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành, suy ra 
.
Vậy .
(hình 243) Xét hình thang cân ,
.
Kẻ vuông góc với thì tứ giác là hình chữ 
nhật, nên .
Hai tam giác vuông bằng nhau, vậy
	.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	, hay 
Vậy .
(hình 244) Xét hình thang có lần lượt là trung điểm của và . 
Ta phải chứng minh .
Thật vậy: Ta có (g.c.g)
 (1) và ;
Lại có (2).
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được: (3).
Mặt khác (4), vì chung chiều cao kẻ từ đến , đáy bằng nhau.
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
(hình 245) Xét hình bình hành có và .
Kẻ đường cao thì diện tích hình bình hành được tính theo công thức:
Vì là góc trong cùng phía của nên chúng bù nhau, hay: 
	.
Tam giác vuông có nên nó là nửa tam giác đều. Suy ra:
	.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
.
Vậy .
(hình 246) Qua kẻ một đường thẳng song song với cắt 
 theo thứ tự ở và thì tứ giác có các cạnh đối 
song song nên nó là hình bình hành.
Áp dụng công thức tính diện tích vào hình bình hành , 
ta được: 	(1)
Ta có (g.c.g) .	(2)
Lại có . Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
Kết hợp với (1) ta có .
Học sinh tự giải.
(hình 247) Vì là hình bình hành nên , do đó 
khoảng cách từ và đến bằng nhau.
Ta có (1) (vì chung đáy, chiều cao bằng nhau).
Lại có (2). Từ (1) và (2) suy ra .
(hình 248) Qua kẻ một đường thẳng song song với 
cắt lần lượt ở và , ta được hai hình bình hành là 
. Áp dụng kết quả câu a), ta có: 
.
Chủ đề 5
(hình 249) Hình vuông có đường chéo , 
nên diện tích được tính theo công thức:
.
Hình vuông có đường chéo nên diện tích 
được tính theo công thức:
	.
(hình 250) Gọi lần lượt là trung điểm các 
 và . Trước hết ta chứng minh tứ giác 
là hình vuông.
Hình vuông có đường chéo nên diện tích 
được tính theo công thức:
	.
(hình 251) Xét hình thoi có .
Kẻ thì tam giác vuông là nửa tam giác đều, do đó:
	.
Áp dụng công thức tính diện tích vào hình thoi, ta được:
	.
(hình 252) Gọi là giao điểm của hai đường chéo thì .
Áp dụng công thức tính diện tích vào hình thoi , ta được: 
	.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	, hay 
Vậy .
(hình 253) Xét hình thoi có .
Gọi là giao điểm hai đường chéo.
Đặt thì .
Áp dụng công thức tính diện tích vào hình thoi , ta được: 
.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được:
	.
Vậy .
Chủ đề 6
(hình 216a) Theo tính chất cộng diện tích, ta có:
.
(hình 216b) Diện tích tường nhà là: .
Diện tích cửa chính là: .
Diện tích hai cửa sổ là: .
Vậy diện tích tường cần quét vôi: .
Nối các đường chéo của lục giác đều thì các đường chéo này chia lục giác đều thành tam giác đều cạnh , mà diện tích mỗi tam giác đều cạnh bằng .
Vậy lục giác đều cạnh có diện tích là .
(hình 254) Xét tam giác có lần lượt là độ dài các cạnh và là khoảng cách từ giao điểm của các đường phân giác đến các cạnh. 
Vì là nửa chu vi nên .
Áp dụng tính chất cộng diện tích vào tam giác , ta có:
	 .
(hình 255) Nhận xét:
.
Vẽ tam giác vuông ở , có: .
Nên ta có: .
Như vậy ba cạnh của tam giác chính là ba cạnh của hồ nước.
Do đó	.
	.
Vậy (ha) hay diện tích mặt hồ là .
(hình 256) Gọi là giao điểm của và thứ tự là 
giao điểm của với .
Vì nên khoảng cách từ đến bằng nhau nên 
 (1) (vì chung đáy , chiều cao bằng nhau).
	 (2)
Trừ theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
	 (3)
Chứng minh tương tự, ta cũng được:
	 (4); (5); (6).
Cộng theo vế các đẳng thức (3), (4), (5) và (6), ta được:
	 hay .
Trường hợp 1 (hình 257a) hoặc ;
Chia thành ba phần bằng nhau bằng cách; 
Trên cạnh lấy hai điểm sao cho:
 thì và là hai đường thẳng cần tìm 
(trường hợp làm tương tự).
Trường hợp 2 (hình 257b) và ;
Qua kẻ một đường thẳng song song với cắt tại 
Chia ra ba phần bằng nhau bằng cách;
Trên lấy hai điểm sao cho: 
	.
Khi thì là hai đường thẳng cần tìm.
Nếu , kẻ thì .
(hình 258) Qua kẻ các đường thẳng theo thứ tự song song với cắt đường thẳng lần lượt ở và . Khi đó khoảng cách từ và đến bằng nha, từ và đến bằng nhau.
Ta có , nên: 
	.
Bài toán trở thành.
Từ kẻ một đường thẳng chia tam giác thành hai phần 
có diện tích bằng nhau.
Do đó trung tuyến là đường thẳng cần dựng.