Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 6: Phép đối xứng trục và đối xứng tâm

Chủ đề 6
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. 	PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Định nghĩa
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng nếu là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Quy ước: Nếu thì ta nói đối xứng với qua .
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng và ngược lại. Đường thẳng gọi là trục đối xứng của hai hình đó.
2. 	Các tính chất thừa nhận
Tính chất 1: Nếu các điểm và , và , và đối xứng với nhau qua đường thẳng trong đó nằm giữa và thì nằm giữa và . Tính chất này cho phép ta vẽ hai hình đối xứng với nhau qua một trục.
Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một trục thì chúng bằng nhau.
3. 	Hình có trục đối xứng
Đường thẳng gọi là trục đối xứng của hình nếu mỗi điểm thuộc hình đều có điểm đối xứng với nó qua cũng thuộc hình . Lúc đó ta nói hình có trục đối xứng.
Trục đối xứng của một số hình
Đường trung trực của một đoạn thẳng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.
Tia phân giác của một góc là trục đối xứng của góc đó.
Đường trung trực của các cạnh đáy tam giác cân là trục đối xứng của tam giác cân đó.
Đường trung trực của các cạnh tam giác đều là các trục đối xứng của tam giác đều đó.
Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó.
Mỗi đường kính của đường tròn là một trục đối xứng của hình tròn đó.
II. 	ĐỐI XỨNG TÂM
Định nghĩa
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm nếu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Quy ước: Điểm đối xứng với qua điểm chính là điểm .
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm và ngược lại. Điểm gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.
Các tính chất thừa nhận
Giống như các tính chất thừa nhận của phép đối xứng trục.
Hình có tâm đối xứng
Điểm gọi là tâm đối xứng của hình nếu mỗi điểm thuộc hình đều có điểm đối xứng với nó qua cũng thuộc hình . Lúc đó ta nói hình có tâm đối xứng.
Tâm đối xứng của một số hình
Trung điểm của đoạn thẳng là tâm đối xứng của đoạn thẳng đó.
Giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1. Vẽ hình đối xứng qua trục, qua tâm.
Chứng minh hai hình đối xứng qua trục, qua tâm
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định nghĩa của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho cân tại , đường cao . Trên cạnh lấy điểm , trên cạnh lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng: 
 đối xứng với qua ;
 đối xứng với qua .
Lời giải (hình 60)
Vì cân tại có là đường cao theo giả thiết
 nên là tia phân giác của góc .
Lại có do giả thiết nên cân tại , suy ra 
 là đường trung trực của . Vậy đối xứng với qua .
Vì là đường cao của cân tại nên là đường 
trung trực của suy ra đối xứng với qua , đối xứng
 với qua , lại có đối xứng với qua theo qui ước. 
Vậy đối xứng với qua .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành . Gọi là điểm đối xứng với qua điểm và là điểm đối xứng với qua điểm . Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua điểm .
Lời giải (hình 61)
Vẽ các điểm và sao cho là trung điểm của hay (1); là trung điểm của hay (2) thì đối xứng với qua và đối xứng với qua .
Vì là hình bình hành nên 
 (3) và 	(4)
Từ (1) và (4) suy ra 	(5)
Từ (3) và (5) ta có tứ giác có hai cạnh đối song song và
 bằng nhau nên là hình bình hành.
Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành , 
ta được:
	 và .	(6)
Chứng minh tương tự, ta được tứ giác là hình thang nên:
	 và 	(7)
Từ (6), (7) suy ra thẳng hàng và do đó là trung điểm của hay đối xứng với qua .
Ví dụ 3. Cho góc vuông , điểm nằm trong góc đó. Gọi là điểm đối xứng với qua là điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua .
Lời giải (hình 62)
Vẽ , vẽ hai điểm sao cho lần lượt là trung điểm của thì đối xứng với qua đối xứng với qua .
Vì nên đối xứng cới qua .
Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta có:
	.	(1) 
Và 	.
 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra là trung điểm của đoạn nên đối xứng với qua .
BÀI TẬP
Cho nhọn, đường cao . Gọi là điểm đối xứng với qua , điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng:
Đoạn thẳng đối xứng với , đoạn thẳng đối xứng với qua trục . Đoạn thẳng đối xứng với , đoạn thẳng đối xứng với qua trục .
 đối xứng với qua trục đối xứng với qua trục .
Cho , các đường trung tuyến . Gọi là điểm đối xứng với qua là điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua điểm .
Cho , trung tuyến . Gọi đối xứng với qua , đối xứng với qua đối xứng với qua . Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua .
Cho cân tại , đường cao . Trên cạnh lấy điểm , trên cạnh lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua .
Cho hình bình hành , các đường chéo cắt nhau tại . Trên hai cạnh lần lượt lấy hai điểm và sao cho . Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua .
Cho hình bình hành . Gọi là điểm đối xứng với qua điểm là điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua điểm .
DẠNG 2. Nhận dạng hai hình đối xứng qua trục, qua tâm để
chứng minh hai hình bằng nhau
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho có . Điểm thuộc cạnh . 
Vẽ điểm đối xứng với qua , vẽ điểm đối xứng
 với qua .
Chứng minh rằng .
Tính số đo góc .
Lời giải (hình 63)
a)	Vì đối xứng với qua , đối xứng với qua theo giả thiết và đối xứng với qua nên đối xứng với qua đối xứng với qua . Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta được:
.
b)	Theo câu a), ta có đối xứng với qua , đối xứng với qua . Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta có:
, suy ra .
Ví dụ 2. Cho có , trực tâm . 
Gọi là điểm đối xứng với qua .
a)	Chứng minh ;
b)	Tính .
Lời giải (hình 64)
a)	Vì đối xứng với qua đối xứng với 
 qua đối xứng với qua suy ra 
đối xứng với qua . Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta được .
b)	Gọi giao điểm của với là , giao điểm của với là thì là hai đường cao của tam giác suy ra .
Áp dụng tính chất về góc vào tứ giác , ta được: .
Hay , hay 	(1)
Do theo câu a) suy ra 	(2)
Lại có (vì đối đỉnh)	(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra .
Ví dụ 3. Cho hai điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng . Vẽ hai điểm đối xứng với qua , đối xứng với qua . Chứng minh rằng là hình thang cân.
Lời giải (hình 65)
Vẽ . Lại vẽ hai điểm sao cho là 
trung điểm của là trung điểm của ta được 
 đối xứng với qua đường thẳng , đối xứng với 
qua đường thẳng .
Suy ra 	(1) và đối xứng với qua trục . 
Do đó theo tính chất của hai hình đối xứng qua trục ta có 
.	(2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác có hai cạnh đối song song và hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.
III. BÀI TẬP
7.	Cho tam giác cân tại có . Gọi là đường trung trực của , vẽ điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng . Tính số đo góc .
8.	Cho hình thang vuông . Gọi là điểm đối xứng của điểm qua trục và là giao điểm của . Chứng minh rằng .
9.	Cho tam giác có lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Gọi là một điểm bất kì nằm trong tam giác . Vẽ điểm đối xứng với qua , vẽ điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành.
10.	Cho hình bình hành có là giao điểm của hai đường chéo. Qua vẽ hai đường thẳng, một đường cắt hai cạnh ở và . Đường kia cắt hai cạnh ở . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
DẠNG 3*. Vẽ thêm điểm đối xứng qua trục để chứng minh
quan hệ về độ dài
I.	PHƯƠNG PHÁP
1.	Vẽ thêm điểm đối xứng qua trục.
2.	Áp dụng tính chất hai hình đối xứng qua một trục.
3.	Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. a) Cho hai điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng (hình 66). Gọi là điểm đối xứng với qua và là giao điểm của với đoạn thẳng . Vẽ điểm bất kì trên ( khác ). Chứng minh rằng .
b) Bạn Tú đang ở vị trí , cần đến bờ sông để lấy nước rồi đi đến vị trí (hình 67). Hỏi con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường nào?
Lời giải
a)	Vì đối xứng với qua nên , nên
	(1)
	(2)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ta có 	(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra .
b)	Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên đi là con đường .
Ví dụ 2. Cho tứ giác có góc ngoài tại đỉnh bằng góc . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 68)
Vẽ điểm đối xứng với điểm qua trục , do 
đối xứng với qua trục nên đối xứng với 
 qua suy ra hay là góc 
ngoài tại đỉnh của tứ giác hay ba điểm thẳng
 hàng.
Do đó .	(1)
Vì đối xứng với qua nên (2), .	(3)
Ta có .	(4)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ta được .	(5)
Từ (1), (2), (4) và (5) suy ra .
Ví dụ 3. Cho hai điểm nằm trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng . Tìm trên điểm sao cho tổng nhỏ nhất.
Lời giải (hình 69)
Vẽ điểm đối xứng với qua trục , giả sử đã tìm được
 điểm trên thì
 (1). Do cố định nên cũng cố định suy
 ra đoạn có độ dài không đổi.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ta được 
	(2)
Dấu bằng xảy ra khi nằm giữa và hay là giao điểm của và .
Từ (1) và (2) suy ra nhỏ nhất bằng khi là giao điểm của và .
III. BÀI TẬP
11.	Trên đường phân giác ngoài ở đỉnh của , lấy điểm khác .
	Chứng minh rằng .
12.	Cho . Hãy tìm điểm trên cạnh sao cho chu vi bằng độ dài cạnh .
------///---------