Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 7: Hình chữ nhật

Chủ đề 7
HÌNH CHỮ NHẬT
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.	Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
Tứ giác là hình chữ nhật.
.
Từ định nghĩa suy ra hình chữ nhật là một dạng 
đặc biệt của hình thang cân, hình bình hành.
2.	Tính chất
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành và hình thang cân. Nhưng cần chú ý các tính chất sau:
Các cạnh đối song song và bằng nhau.
Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3.	Dấu hiệu nhận biết
Ba dấu hiệu về góc:
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Một dấu hiệu về đường chéo:
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
4.	Cách vẽ hình chữ nhật
Có bốn cách vẽ hình chữ nhật nhưng hay dùng nhất là hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng lưới ô vuông để vẽ tứ giác có bốn góc vuông (hình 71a).
Cách 2: Vẽ tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường theo hai bước (hình 71b):
Bước 1: Vẽ hai đường thẳng cắt nhau tại .
Bước 2: Vẽ đường tròn tâm bán kính bất kì cắt hai đường trên tại bốn điểm ta được bốn đỉnh của hình chữ nhật.
Lưu ý:
Cách 1 không chứng minh được là nhận được hình chữ nhật, chỉ là ảnh của hình chữ nhật.
Cách 2 chứng minh được là hình chữ nhật.
5.	Áp dụng vào tam giác
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy.
Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
6.	Từ tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta thu được kinh nghiệm thứ ba
Cứ nói đến tam giác vuông phải nghĩ tới trung tuyến thuộc cạnh huyền
Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán mà giả thiết hoặc kết luận đề cập đến tam giác vuông thì khi vẽ đường phụ ta vẽ thêm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
7. 	Từ dấu hiệu nhận biết tam giác vuông ta có cách vẽ vuông tại theo hai cách sau
Bước 1: Vẽ đường trong đường kính .
Bước 2: Lấy điểm bất kì trên đường tròn ta được vuông tại .
8. 	Từ dấu hiệu nhận biết tam giác vuông ta có cách vẽ 
các đường cao của tam giác nhọn bằng thước kẻ 
và compa theo hai bước
Bước 1: Vẽ nửa đường tròn đường kính (hình 72).
Bước 2: Giao điểm của hai cạnh với nửa đường tròn chính là chân đường cao kẻ từ và . Giao điểm
 của hai đường cao là trực tâm của tam giác, nối đỉnh với trực tâm ta được đường cao thứ ba.
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN
DẠNG 1. Nhận dạng hình chữ nhật, chứng minh ba điểm thẳng hàng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhận dạng hình chữ nhật theo ba cách sau:
Cách 1: Chứng minh tứ giác có bốn góc bằng nhau.
Cách 2: Chứng minh tứ giác là một hình thang cân có thêm một góc vuông.
Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có thêm một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng nhờ tính chất về góc bẹt hoặc tính chất về đường chéo của hình chữ nhật hoặc tiên đề Ơ-cờ-lít về đường thẳng song song.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình bình hành . Các tia phân giác của các góc cắt nhau như trên hình vẽ (hình 73). Chứng minh rằng là hình chữ nhật.
Lời giải
Đặt . Áp dụng tính chất góc trong cùng
 phía vào , ta được:
	.
Áp dụng tính chất về góc vào , ta được: , hay .
Chứng minh tương tự ta được: .
Tứ giác có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Ví dụ 2. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
Lời giải (hình 74)
Tứ giác là hình chữ nhật.
Giải thích: Từ giả thiết ta có thứ tự là đường trung bình của các tam giác và .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác này ta được 
	(1)
Chứng minh tương tự, ta cũng được 	(2)
Từ (1) và (2) tứ giác có các cạnh đối song song nên 
nó là hình bình hành.
Gọi là giao điểm của với và là giao điểm của 
 với :
Áp dụng tính chất góc đồng vị vào các đường thẳng song song
 ở trên và giả thiết ta có:
	 .
Như vậy hình bình hành có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Ví dụ 3. Bài toán thực tế
Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (hình 75). Đội đã dựng các điểm như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn đường vuông góc với . Vì sao và cùng nằm trên một đường thẳng? 
Lời giải (hình 75)
Theo hình 75, tứ giác có và vì 
có góc trong cùng phía bù nhau. Tứ giác có hai cạnh
 đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. Hình
 bình hành lại có góc vuông nên là hình chữ nhật.
Do đó suy ra thẳng hàng và cùng thẳng hàng. Vậy cùng nằm trên một đường thẳng.
BÀI TẬP
Các câu sau đúng hay sai?
Tứ giác có tất cả các góc bằng nhau là hình chữ nhật.
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Hãy nêu các tính chất về đường chéo hình chữ nhật. Chỉ rõ tính chất nào được suy từ hình bình hành, hình thang.
Cho vuông tại , từ điểm trên cạnh huyền vẽ .
Chứng minh rằng là hình chữ nhật.
Gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Cho cân tại , các đường trung tuyến cắt nhau tại . Gọi là điểm đối xứng với qua và là điểm đối xứng với qua . Tứ giác là hình gì? Vì sao?
DẠNG 2. Vẽ thêm hình chữ nhật để tính độ dài đoạn thẳng,
tính góc, chứng minh quan hệ về độ dài
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vẽ thêm hình chữ nhật bằng cách kẻ đường vuông góc hoặc vẽ thêm hình bình hành có một góc vuông.
Áp dụng:
Tính chất về cạnh hoặc đường chéo của hình chữ nhật, định lý Py-ta-go.
Định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính trên hình 76.
Lời giải
Kẻ thì tứ giác có ba góc vuông là 
 nên nó là hình chữ nhật.
Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật , thu được:
	.
Do đó .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông tại thu được:
	.
Vậy .
Ví dụ 2. Cho hình thang vuông có và . Tính , từ đó suy ra cách vẽ hình.
Lời giải (hình 77)
Vẽ (1) thì tứ giác có nên nó là hình chữ nhật. Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật , ta được:
	 	(2)
Mà (theo giả thiết)	(3)
Từ (2) và (3) suy ra nên 	(4)
Từ (1) và (4) ta có là đường trung trực của , do đó .	(5)
Lại có (theo giả thiết)	(6)
Từ (5) và (6) suy ra nên là tam giác đều, do đó .
Vì và là hai góc trong cùng phía của 
 nên chúng bù nhau hay , suy ra:
	.
Từ chứng minh trên ta có cách vẽ hình theo hai bước sau:
Bước 1: Vẽ tam giác đều , đường cao .
Bước 2: Vẽ hình chữ nhật .
Ví dụ 3*. Cho hình thang vuông có và . Kẻ gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 78)
Vẽ thì tứ giác có ba góc vuông là nên nó là hình chữ nhật.
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật , ta được: 	 	(1)
Lại có 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra là đường trung bình của tam giác .
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác thu được 
 do theo giả thiết nên hay tam giác
 vuông tại .
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình chữ nhật ta được 0 nên là đường trung tuyến của hai tam giác vuông và .
Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông và tính chất về cạnh vào hình chữ nhật ta được:
	.
Điều này chứng tỏ trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh bằng nửa cạnh ấy nên nó vuông tại . vậy .
III. BÀI TẬP
5. 	Cho cân tại , đường cao . Từ điểm trên cạnh kẻ . Chứng minh rằng .
6. 	Cho tam giác có góc nhọn . Kẻ đường cao , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho , gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng:
a)	.
b)	.
7.	Cho hình chữ nhật , kẻ . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng .
8.	Cho hình chữ nhật , vẽ . Gọi thứ tự là trung điểm của . Chứng minh rằng .
9.	Cho tam giác cân tại , đường cao . Dựng hình chữ nhật , vẽ . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh .
DẠNG 3. Vẽ thêm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác 
vuông để chứng minh quan hệ về độ dài và tính góc
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định tam giác vuông để vẽ thêm trung tuyến ứng với cạnh huyền.
Áp dụng tính chất về trung tuyến ứng với cạnh huyền hoặc dấu hiệu nhận biết tam giác vuông.
VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn , các đường cao . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng tam giác cân.
Lời giải (hình 79) 
Vì là hai đường cao của tam giác theo giả thiết
 nên suy ra vuông tại , 
 vuông tại . Do là trung điểm của nên vẽ 
thì là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của 
hai tam giác vuông và .
Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai 
tam giác vuông trên, ta được:
	. Vậy cân tại .
Ví dụ 2. Cho hình thang cân có đường cao . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính độ dài đoạn biết .
Lời giải (hình 80)
Từ giả thiết ta có là đường trung bình của hình thang cân .
Áp dụng định lí đường trung bình vào hình thang , ta được:
	 	(1)
Vì là đường cao của hình thang nên hay tam giác 
 vuông tại , do là trung điểm của nên vẽ thì là đường
 trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông .
Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông và kết hợp với giả thiết, ta được:
	 	(2)
Lại có 	(3)
Do là hình thang cân nên từ (2) và (3) suy ra , do đó:
	 	(4)
Từ (1) và (4) ta thấy tứ giác có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.
Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành và kết hợp với giả thiết ta được .
Ví dụ 3. Cho hình thang có . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 81)
Gọi giao điểm của và . Áp dụng tính chất về
 góc vào tam giác , ta được:
	.
Do theo giả thiết nên .
Suy ra tam giác và vuông tại .
Vẽ thì là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông và .
Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên, ta được:
(vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau).
Mặt khác (vì đồng vị)	(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra .
 thẳng hàng nên 	(6)
Từ (1), (2) và (6) suy ra .
BÀI TẬP
10. 	Cho hình thang cân có chiều cao bằng đường trung bình . Chứng minh rằng . Từ đó suy ra cách vẽ hình.
11. 	Cho hình thang cân có hai đường chéo và vuông góc với nhau. Chứng minh rằng chiều cao bằng đường trung bình .
12.	Cho vuông tại , đường cao , trung tuyến và phân giác . Chứng minh rằng:
a) 	.
b)	 là tia phân giác của .