Một số Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8

 2 
 Mục Lục 
 Trang 
Lời nói đầu 1 
Chủ đề 1. Hằng đẳng thức 3 
Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 19 
Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 58 
Chuyên đề 4: Phương trình đại số 111 
Chuyên đề 5: Đồng nhất thức 131 
Chuyên đề 6: Bất đẳng thức 157 
Chuyên đề 7: Đa thức 175 
Chuyên đề 8: Hình học 186 
 3 
 CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC 
A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 
1. (a+=+ b )22 a 2 ab +=− b 22 a 2 ab ++ b 2 4 ab =−+ ( a b )42 ab 
2. (a−=− b )22 a 2 ab +=+ b 22 a 2 ab +− b 2 4 ab =+− ( a b )42 ab 
3. a22−=− b( a ba )( + b ) 
4. ()ab+3 =+ a 3 3 ababb 2 + 3 23 +=++ a 33 b3() abab +⇒+=+ a33 b ()3() ab 3 − abab + 
5. ()a− b3 =− a 3 3 a 2 b + 3 ab 23 −=−− b a 33 b3() ab a +⇒−=− b a33 b ()3() a b 3 + ab a − b 
6. a33−=− b( aba )(2 ++ abb 2 ) 
7. a33+=+ b( a b )( a2 −+ ab b 2 ) 
Bài 1: 
 =2222 −+−++− 22
a) Tính A 100 99 98 97 ... 2 1 
 2222 n 2
b) Tính Bn=−+−+−+−1 2 3 4 ....( 1) . 
 Lời giải 
a) Ta có: 
 101.100
A =1002 − 99 2 + 98 2 − 97 2 ++ ... 2 22 −= 1 (100 − 99)(100 + 99) ++ ... (2 − 1)(2 += 1) 100 ++= ... 1 =5050
 2
b) Ta xét hai trường hợp 
- TH1: Nếu n chẵn thì 
 2 nn( +1)
B=(222 − 1) +( 4 2 − 3 2) + ... +nn 2 −( − 1) =++++ 1 2 3 4 ... +(n − 1) += n 
  2
- TH1: Nếu n lẻ thì
 +
 22 2 2 222 2 nn( 1)
B=(2 − 1) +( 4 − 3) + ... +(n − 1) −( n − 2) − n =++++ 1 2 3 4 ... +(nn − 1) − =− 
  2
 n nn( +1)
⇒ Hai kết quả trên có thể dùng công thức: (−1.) 
 2
Bài 2: So sánh A =19999.39999 và B = 299992 
 Lời giải 
Ta có: 19999.39999= (29999 − 10000)(29999 + 10000) = 2999922 −10000 < 29999 2 ⇒<AB 
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau 
a. A =(2 + 1)(22 + 1)...(264 ++ 1) 1 
b. B =(3 + 1)(32 + 1)...(364 ++ 1) 1 
c. C=( abc ++ )2 + ( abc +− ) 22 − 2( ab + ) 
 4 
 Lời giải 
a. A =(2 + 1)(22 + 1)...(264 + 1) += 1 (2 − 1)(2 + 1)(22 + 1)...(264 + 1) += 1 2128 −+= 1 1 2128 
 1 1 31128 +
b. B =(3 + 1)(32 + 1)...(364 + 1) += 1 (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1)...(364 + 1) += 1 (3128 − 1) +=1 
 2 22
c. Ta có: 
C=()()2()()2()()()2()() abc ++2 + abc +− 22 − ab + = abc ++ 2 − abcabc ++ +− + abc +−2 − abcabc ++ +−
− +2 = ++++−2 − +22 −2 + = +2 − + 2 + 2 − + 22 =
 2(ab ) ( abcabc) 2 ( ab) c-2( ab) 4( ab ) 2( ab ) 2 c 2( ab ) 2 c
Bài 4: Chứng minh rằng 
 2
a. (a2+ b 22 )( x +=− y 2 ) ( bx ay )2 ++( ax by) 
 2
b. (a222222++ b c )( x ++−++ y z )( ax by cz) =−( bx ay )(2 +− cy bz )( 2 +− az cx )2 
 Lời giải 
a. Ta có: VT = (a2222+ b )( x += y ) a 22222222 x + a y + b x + b y =()()(ax)() bx 2 + ay 2 + 2 + by 2 
 2
=()bx2 − 2. bx ay + () ay2 + 2. bx ay + (ax)()22 + by =− ( bx ay ) 2 ++( ax by) ( dpcm ) 
 2222+ ++++++−++++ 222222222
b. VT = ()()()(a b x y a b z c x y z )( ax by) 2( ax by) c zz( c ) 
 22
=(ax++−+ by) ( bx ay )()()()()()222222 az + bz + cx + cy + cz −+−−( ax by) ()2.2. cz2 ax cz − by cz 
=−+(bx ay )[(cy)2.()]+(az)()2.2 2 −by cz + bz222 + cx − az cx =−+−+− ( bx ay )(2 cy bz )( 2 az cx ) 2 
Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski. 
 2 22 2
Bài 5: Cho x= yz + . Chứng minh rằng: (5xyzxyz−+ 3 4 )(5 −− 3 4 ) = (3 xy − 5 ) 
 Lời giải 
VT = (5x− 3 y )22 − 16 z = 25 x 2 − 30 xy +− 9 y 22 16 z 
Mà: zxy222=−⇒=−−−−=−+=− VT25 x2 30 xyy 92 16( xy 22 ) 9 x 2 30 xy 25 y2 (3 xydpcm 5 )2 ( ) 
Bài 6: Cho ()()()()abcdabcd+++ −−+ = abcdabcd −+− +−− . Chứng minh rằng: ad = bc 
 Lời giải 
 2 2 2 2 22
 VT = (ad+++) ( bc)( ad +−+) ( bc)=( ad +) −+ () bc =++ a d 2 adb −−− c 2 bc 
VP =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)22−− (c b ) = ( a − d ) 222222 −− ( c b ) = a + d −2 ad −−+ c b2 bc 
VT = VP ⇒22ad − bc =−+ 22 ad bc ⇔ 44 ad = bc ⇔= ad bc ( dpcm ) 
Bài 7: Chứng minh rằng, nếu: 
a. a + b + c = 0 thì a32+ a c − abc + b 2 c += b 30 
b. (yz− )(222222 + zx − )( + xy − )( = yz +− 2)( x + zx +− 2)( y + yx +− 2) z thì x = y = z 
 Lời giải 
 5 
a. Ta có : 
a33+=+ b( a b )( a2 −+ ab b 2 )
 ⇒+=−−+a33 b c() a 2 ab b 2 =−+ a 2 c abc − b 2 c ⇒++ a 332 b a c − abc + b 2 c =0
abc++⇒+=− ab c
 yz+−2 x = ( yx − )( + zx − ) =− bc
 
b. Đặt : yz−= azxbxy;; −= − =⇒++= c abc0 và zx+−2 yca =− 
 
 x+− y2 z =− ab
Từ giả thiết ta có : 
abc222++=−( bc )( 2 +− ca )( 2 +− ab ) 2 ⇔ abcb 222 ++=− 22 bccc ++− 22 2 acaa ++− 2 2 2 abb + 2
⇔++−abc2222 abbcca − 2 − 2 =⇔ 0 2( abc222 ++ ) − ( abc 222 +++2 abbcca + 2 + 2 ) = 0
 xy=
 
⇔2(a222 + b + c ) − ( abc ++ )2 = 0 ⇔a222 + b + c =⇔==⇒0 abc yz =⇒== xyz
 
 zx=
Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 5x22+ 10 y − 6 xy − 4 x − 2 y += 3 0 b. x2+4 yz 22 +−−++= 2 xzy 6 8 15 0 
 Lời giải 
a. VT=−(3)(21)(1)1( x y2 + x − 22 +− y ≥ dpcm ) 
b. VT=( x − 1)2 + 4( y + 1) 22 + ( z − 3) +≥ 1 1 (dpcm ) 
Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn 
a. x22+8 y += 9 4 yx ( + 3) 
 22
 b. 9x− 8 xy + 8 y − 28 x += 28 0 
 c. x2+2 y 22 + 5 z += 1 2( xy + 2 yz + z ) 
 Lời giải 
 3
a. Ta có: x22+8 y += 9 4 yx ( + 3) ⇔ ( x − 2 y )2 + (2 y − 3) 2 =⇔∈ 0 x  3; 
 2
b. Ta có: 
 9x22−+−+=⇔−++ 8 xy 8 y 28 x 28 0 (7x2 28 x 28) (2 x 22 −+ 8 xy 8 y ) = 0
 x = 2 
 ⇔7(x −+− 2)22 2( xy 2 ) =⇔ 0 
 y =1
c. Ta có: 
x2+2 yz 22 + 5 += 12(2 xyyzz + + ) ⇔ ( xy − )(2 + yz − 2)(1)0 2 + z − 2 = ⇔x = ; y = 2;1 z = 
Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai 
 222
biểu thức: xx2 ++++++213243( ) ( x) ( x) 
 Lời giải 
 6 
 222
Ta có: xx2+213243( ++) ( x +) +( x +) =+ xxx22 2( +++ 21344469) ( xx2 +++) ( xx2 ++)
 22
=10x2 + 40 x +=+ 50( x 5) +( 3 x + 5) ⇒ dpcm
Bài 11: Cho ax=2 ++ x1. Tính theo a giá trị của biểu thức Axxxx=+4322 + 5 ++ 44 
 Lời giải 
Ta có: Axxxx=+4322 + 5 ++=++++ 44( xx42 12) xxxxx 32 2 ++ 22 2 ++ 23 
 2
⇒Axx =( 22 ++1) + 2( xx ++ 1) +⇒ 1 Aa = 2 + 2a += 1( a + 1) 2
Bài 12: Chứng minh xxaxax( −)( +)( ++2a) a4 là bình phương của một đa thức
 Lời giải 
Ta có: A=( x2 + ax)( x 2 +− ax2a 24) + a 
 22
Đặt t=+⇒=− x2 ax A t( t2a 2) +=− a 42 t2 ta 24 +=− a( t a 2) ⇔= A( x2 +− ax a 2) ⇒ dpcm 
Bài 13: 
a) Cho a, b, c thỏa mãn a2010++= b 2010 c 2010 ab 1005 1005 + bc 1005 1005 + ca 1005 1005 . Tính giá trị của biểu 
 20 11 2010
thức sau A=−( ab) +−( bc) +−( ca) 
b) Cho abcd,,, ∈ Z thỏa mãn abcd+=+. Chứng minh rằng abcd222+++ 2 luôn là tổng 
của ba số chính phương 
c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn pq22−=−+ pq32 thì 
 pq22+ cũng là số nguyên tố 
 Lời giải 
a) Ta có:
a2010++= b 2010 c 2010 ab 1005 1005 + bc 1005 1005 + ca 1005 1005 ⇔2222 a 2010 + b2010 + c 2010 − ab 1005 1005 − 2 bc 1005 1005 − 2 ca 1005 1005 = 0
 222
⇔(ab1005 − 1005) +( bc 1005 − 1005) +( ca 1005 − 1005 ) =⇔0 abbc1005 − 1005 = 1005 − 1005 = ca1005 − 1005 ⇔== abc
 20 11 2010
Vậy A=( aa −) +−( bb) +−( cc) ⇒= A0 
b) Ta có:
 22
abcd+=+⇒=+− acdbab;2222 +++ c d 2 =+−( cdb) +++ b22 c d 2 =+( cd) −( cdbb +) ++++222 b c d 2
 2 22 2
=+(c d) −22 bc − bd ++++ b222 b c d 2 =+( c d) +−( b c) +−( b d ) 
c) Ta có:
 22
 pq22−=−+⇒−=−+⇒−+=−+⇒−=− pq324 p2 4 q 2 41284414129 p q p2 p q2 q( 21 p) ( 23 q)
mà 2p −> 10 ( p nguyên tố ); 2q −> 30 (q nguyên tố ). Do đó 2p−= 12 q −⇔ 3 qp = + 1
Ta có: qp≥32( ≥⇒) q lẻ, do đó p chẵn ⇒=⇒=⇒p2 q 3 pq22 + =13 là số nguyên tố 
Bài 14: [ HSG – năm 2015 ] 
 7 
Cho a, b, c thỏa mãn: a222+ b + c =2; abc ++= 2. CMRM : = ( a2 + 1)( b 2 + 1)( c 2 + 1) viết được 
dưới dạng bình phương của một biểu thức 
 Lời giải: 
Cách 1: 
M=+( a2 1)( b 2 + 1)( c 2 += 1) abc 222 + ab 22 + ac 22 +++++ bc 22 a 2 b 2 c 2 1(*) 
Có: a222+ b + c ==++⇒2 abc ( a2222 + b + c )( = abc ++ )2 
Có: 
()a++=+++ b c2 a 2 b 2 c 2 2( ab ++ bc ca ) =⇒++=⇒ 4 ab bc ca1 a22 b + a 22 c + b 22 c +2( acb 2 + a 2 bc + c 2 ab) = 1
⇒a22 b + a 22 c + b 22 c =−1 2( acb2 + a 2 bc + abc 2) ⇒ M = ( abc )2 − 2 abc ( a + b + c ) ++ 1 a2 + b 2 + c 2 +1
 =22 − ++ + ++ = − ++ 2
M()2()() abc abc a b c a b c abc( a b c) () dpcm 
Cách 2: Ta có: 
a22+=1 a + abbccaabacb + + =( + )( + );2 += 1 ( abbcc + )( + );2 += 1 ( accb + )( + ) ⇒ M = [(a+b)(b+c)(c+a)]2
 HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA 
1. ()ab+3 =+ a 3 3 ababb 2 + 3 23 +=++ a 33 b3() abab +⇒+=+ a33 b ()3() ab 3 − abab + 
 3 3 2 23 33 33 3
2. ()a− b =− a 3 a b + 3 ab −=−− b a b3() ab a +⇒−=− b a b ()3() a b + ab a − b 
Bài 1: Cho xx2 −=10. Tính Ax=−+−+−+653432 x x 43 x x 2 x 1 
 Lời giải 
Ax=−+653 x 4 x 43 −+ 3 x 2 xx 2 −+=−+−+−++−+ 1( x 65434322 3 x 3 xx )( x 2 xx )( xx 1)
=−+−+−+=(xx23222 ) ( xx ) ( xx ) 1 1111
 (233++ 1)(3 1)...(100 3 + 1)
Bài 2: Tính A = 
 (233−− 1)(3 1)....(100 3 − 1)
 Lời giải 
 (kk++ 1)32 1 ( + 2)[(k+1) -(k+1)+1]k+ 2
Ta có: = = 
 k32−1 (k-1)(k++kk 1) − 1
Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được: 
 333++ 1 4 1 100 3 + 1 1 4 5 101 1
A =(23 += 1). . ..... . 9. . .... .
 233− 1 3 − 1 99 3 − 1 100 3 − 1 1 2 98 99(1002++ 100 1)
 99.100.101 9.99.100.101 30300
A = 9. = =
 1.2.3...10101 6.99.10101 20202 
Bài 3: Cho xy22+=1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y. 
A=23( xy66 +−) ( xy 44 +) 
 Lời giải 
 8 
Ta có: 
 33
A=2( x2) +( y 2) − 32( xy 44 +=) ( xyxxyy 224224 +)( − +−) 322233( xy 44 +=−) x 4 xyy 224 +−− x 4 y 4
     
 1
 2
=−++( x421 x 224 y y) =−+=−⇒( x 22 y) dpcm 
Bài 4: Cho a3232−=−=−3 ab 2; b 3 a b 11.. Tính ab22+ 
 Lời giải 
 222
Ta có: (a3−3 ab 2) +−=+−⇒−++−+=+( b 33 ab 2) 2 2 ( 11) a6 6a 42 b 9 ab 24 b 6 6 ab 24 9 ab 42 4 121
 3
⇒+++=⇒+=⇒+=a63 ab 42 3 ab 24 b 6 125 a2 b 25 3 a 2 b 2 5
 ( ) 
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A=++− a333 b c3 abc 
 Lời giải 
A=++− a333 b c3 abc =+ ()3()3 a b3 − ab a ++− b c3 abc
 = +33 +3 ++ ++ − + ++ − ++
A( ab) c-3= ababc( ) ( abc) 3().()3() abcabc ababc
 = ++ ++2 − + − = ++222 + + − − −
A() abc( abc) 3( abcab ) 3 (a b c )( a b c ab bc ca)
Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a333++= b c3 abc 
 (ab2− 23 )( +− bc 2 23 )( +− ca 2 23 )
Áp dụng tính B = 
 (ab− )(333 +− bc )( +− ca )
 Lời giải 
Từ giả thiết ⇒=−+⇒++=+−+c() a b a333 b c a 33 b()3()3 a b 3 =− ab a += b abc 
 abbcca22222−+−+− 2 =0 3(abbcca2−−− 22 )( 22 )( 2 )
+)  ⇒=B =(abbcca + )( + )( + ) 
 abbcca−+−+− =0 3(abbcca−−− )( )( )
 111 3
 ++2 = 222 + + ++=
Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: ()abc a b c .Chứng minh rằng: 333 
 a b c abc
 Lời giải 
Ta có: 
 1 1 1 1 1 1 111 3
()a++=++⇒ b c2 a 222 b c ab ++=⇔++=⇒++ bc ca 0 0 =3. . . = 
 a b c a333 b c a b c abc
 111 bc ca ab
Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: ++=0 . Tính A =++ 
 abc abc222
 Lời giải 
 1 1 1 111 3
Đặt x=;; y = z =⇒++=⇒++= xyz0 xyz3 33 3 xyz ⇔++=
 a b c a333 b c abc
 abc abc abc 111 3 
⇒=A + + =abc( + + ). =abc = 3
 a3 b 3 c 3 a 333 b c abc
Bài 9: Cho x+=+ y a bx;.2 + y 2 = a 22 + b Chứng minh rằ ng xy33+=+ ab 3 3 
 9 
 Lời giải 
Ta có: 
 22
x33+ y =( xyx +)( 2 + xyy + 2); xyab +=+⇒( xy +) =( ab +) ⇔ x2 +22 xyy + 2 = a 2 + abb + 2
 2 222
Do x+ y =+⇒ a b22 xy = ab ⇒ xyab = 
Thay các kết quả vào ta được: 
x33+=+ y( x y)( x2 ++ xy y 2) =+( a b)( a2 ++ ab b 2) =+⇒ a 3 b 3 dpcm
 33
Bài 10: Cho abmabn+=;. −= Tính ab; a− b theo m và n 
 Lời giải 
 mn− mn + mnmn −+ m22 − n
Cách 1: Từ abmabn+=;. −= ⇒= b , a = ⇒ ab =. = 
 2 2 22 4
 333323
 33m+− n  m n  (mn+) −−( mn) 3mn+ n
ab−=  −  = = 
 22   8 4
 22
 22 mn−
Cách 2: Ta có: 4ab=+( a b) −−( a b) = m22 −⇒ n ab = 
 4
 22
 33 2 2 2 2mn−
Lại có: a−=− b( aba)( ++ abb) =−( ab) ( ab +) − abnm = −
 4
 22
 nm(3 + n) 3mn23+ n
= =
 44
Bài 11: Cho abc22++= 2 m. Tính giá trị biểu thức sau theo m 
 222
A=(22 a +− bc) +( 22 b +− ca) +( 22 c +− ab) 
 Lời giải 
 222
Ta có: A=(2223 abcc ++−) +++−( 2223a2223 bca) +++−( cabb) 
 222
Đặt x=++⇒ abc A =(23 x − c) +( 23 x − a) +( 23 x − b) = 1212 x2 − xabc( ++) + 9( a222 + b + c) 
=12x2 − 12 x 2 + 9( abc 222 ++) =9 m 
 3
 HẰNG ĐẲNG THỨC: (a + b + c) 
Ta có: 
 3
 ()abc++=++=+++3( ab) c()3()3() ab3 abc 2 ++ abcc23 +
 
 =3(a2 b + ab 22 +++++ a c ac 22 b c bc 2 abc + abc)
 2 2 2 2 2 2 2 333
=3(a b +++++++ ab )( a c ac )( ac bc )( b c abc )=3( a +++ b)( b c)( c a)+ a ++ b c
⇒()abc ++3 = a 333 + b + c +3( abbcca + )( + )( + ) 
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính: A=( abc ++ )(3333 − bca +− )( − cab +− )( − abc +− ) 
 Lời giải 
 10 
 xbca=+− xy + =2 c
 
Đặt y=+−⇒ cab yz +=2; axyz ++=++ abc
 
 z=+− abc zx +=2 c
⇒A =() x ++ y z33 − x − y 33 − z =3( x + y )( y + z )( z + x ) = 3.2 c .2 b .2 a = 24 abc = 24
Bài 2: Phân tích thành nhân tử 
a. A=8( abc ++ )3333 − (2 abc +− ) − (2 bca +− ) − (2 cab +− ) 
b. B=27( abc ++ )3333 − (2 a + 3 b − 2 c ) − (2 b + 3 c − 2 a ) − (2 c + 3 a − 2 b ) 
 Lời giải 
 23abc+−= x x + y =+ a b
 
 2bca+−=⇒ y yzb +=+3 c ⇒++= xyz2( abc ++ )
a. Đặt
 23cab+−= z zx +=+ c a
  
 ⇒A =() xyz ++33 − x − y 33 − z =3( xyyzzx + )( + )( + ) = 3( a + 3 bbcc )( + 3 )( + 3 a )
b. Ta có:
B=27( abc ++ )3333 − (2 a + 3 b − 2 c ) − (2 b + 3 c − 2 a ) − (2 c + 3 a − 2 b ) = 3(5 ab + )(5 bc + )(5 ca + ) 
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1 
Tính Aabc=++nnn ( n là số tự nhiên lẻ ) 
 Lời giải 
 ab+=0
 3 333 
 Ta có: (abc++==++⇒ ) 1 a b c3( abbcca + )( + )( +=⇒+= ) 0 bc 0 
 ca+=0
+) TH1: ab+ =011 ⇒ a =−⇒=⇒ bc abcnnn + + = 
+) Tương tự ta có: A = 1. 
Bài 4: Giải các phương trình sau 
a. 27xx33+− ( 5) + 64 = (4 x − 1) 3 b. (2x2− 2 x − 1) 3 + (2 x − 1) 3 = ( xx 2 −+ 1) 32 + ( xx +− 3) 3 
c. (x2−+ 2 x 2) 33 =+ xx ( 3 − 1)( x − 2) 3 d. (x2+ 3 x + 3) 32 + ( xx − − 1) 3 +− ( 2 x 2 − 2 x − 1) 3 = 1 
   
 ab c
 Lời giải 
a. Ta có:
 33 333 3
27x+− ( x 5) + 64 = (4 x − 1) ⇔ (3 x ) +− ( x 5) + 64 =+−+⇒ 3 x( x 5) 4 3(3xx +− 5)( x −+ 5 4)(4 + 3 x ) = 0
 54−
⇒∈x ;1; 
 43
b. (2x2− 2 x − 1) 3 + (2 x − 1) 3 = ( xx 2 −+ 1) 32 + ( xx +− 3) 3 
⇔(2x2 −−+ 2 x 1) 3 (2 x −+−−= 1) 3 ( xx 23 1) ( x 2 +− x 3) 3 
 11 
 ab+=22 x2 −
 
 bc+=32 xx −2 −
Đặt 2x2− 21;21; x −= ax −= bxx −2 −= 1 c ⇒ ⇒a333 + b + c =() abc ++ 3 
  2
 ca+= x −− x2
  2
 abc++= x +− x3
 ab+=00 ab += 2x2 −= 20
  2
⇔3(abbcca + )( + )( + ) =⇔ 0 bc += 0 ⇔ bc += 0 ⇔ 3 xx − −=⇒∈− 2 0 x{ 1;1; 2} 
 += +=  2
 ca00 ca xx−=0
c. (x2−+ 2 x 2) 33 =+ xx ( 3 − 1)( x − 2) 3 
⇔(xx2 − 2 + 2) 3 = xxx 33 + ( − 2) 3 + (2 − x ) 3 ⇔ 3( xxxxxx + 2 − 2 )( 2 − 2 +− 2 )(2 −+ xx2 ) = 0
⇔6(x22 − xx )( − 3 x + 2) =⇔∈ 0 x { 0;1;2}
 xyz2 22
Bài 5: Cho x++= y z0; xyz ≠ 0 . Tính A =++ 
 yz xz xy
 Lời giải 
 x2 y 2 z 2 xyz 3++ 33
A =++= 
 yz xz xy xyz
Cách 1: Nếu x++=⇒ y z0 x3 + y 33 + z = 33 xyz ⇒ A = 
Cách 2: 
()xyz++3 = x 3 + y 33 + z +3( xyyzzx + )( + )( + ) → x3 + y 33 + z =( xyz ++ )3 − 3( xyyzzx + )( + )( + ) → A = 3
   
 =0
Bài 6: Giải các phương trình sau: (x2+ 3 x + 3) 32 + ( xx − − 1) 3 +− ( 2 x 2 − 2 x − 1) 3 = 1(*) 
   
 ab c
 Lời giải 
 ab+=2 x2 + 22 x +
 
 bc+=−− x2 32 x −
(*) ⇒ ⇒3(abbcca + )( + )( + ) =⇒∈ 0 x{ 2; −− 2; 1} 
 ca+=−++ x2 x2
 
 abc++=1
Bài 7: Rút gọn A=( xyz ++ )(333 − xyz +− )( − xyz −+ )( −−++ xyz ) 3 
 Lời giải 
 xyza+−=
 
Đặt xyzb−+=⇒++=++⇒ abcxyz A =24 xyz
 
 xyzc++=