Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG
I./ LỜI NÓI ĐẦU
 1/ Lí do chọn đề tài
 a/ Cơ sở lí luận:
Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đổi mới phương pháp dạy học theo hướng học tập tích cực chủ động và sáng tạo hướng tới sự phát triển năng lực cá nhân, khám phá và chiếm lĩnh kiến thức. Vì vậy sau thời gian giảng dạy và đúc kết được một số kinh ngiệm tôi nhận thấy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một đề tài chưa đươc báo cáo thông qua các buổi sinh hoạt chuyên đề nên cần được nghiên cứu sâu hơn.
 b/ Cơ sở thực tiển
Trong môn đại số 8, phương pháp nhân và phương pháp chia chia các đa thức là cơ sở của phép biến đổi các biểu thức đại số, trong đó phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng bài học mà học sinh phải nắm làm cơ sở cho các bài toán như: rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình sau này. Trên thực tế rất nhiều học sinh gặp khó khăn khi thực hiện các dạng toán này .Vì vậy, tôi viết chuyên đề này mong giúp học sinh khối 8 yêu thích môn toán toán phân tích thành nhân tử một cách thành thạo ở những phương pháp đơn giản, và cũng dành cho học sinh khá, giỏi những phương pháp mới để giải toán. 
 Tôi hy vọng sẽ góp phần giúp các em có kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử được tốt hơn.
 2/ Phạm vi của đề tài
 Nội dung nghiên cứu: Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng
 Khả năng áp dụng của sáng kiến: khối 8 khối 9
II/ GIẢI PHÁP 
1. Cơ sở lý luận 
- Thực chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán ngược của phép nhân đa thức
- Kỹ năng này sử dụng nhiều trong các bài toán rút gọn biểu thức, tính nhẩm, tính hợp lý giá trị của 1 biểu thức, tìm x.
- Biến đổi từ tổng thành tích là một kỹ năng sử dụng nhiều trong bài toán tính nhẩm, tìm x và là 1 phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này từ đó phục vụ cho các phép toán về phân thức đại số, giải các loại phương trình ở các chương sau.
2 . Cơ sở thực tiễn
1/ Về phía học sinh: 	
- Học sinh trung bình - yếu nắm chưa chắc các phương pháp, chỉ nhận dạng được ở dạng số, dạng chữ đơn giản , chưa nhận dạng chữ và số hỗn hợp , dạng bình phương của một biểu thức phức tạp.
- Có những học sinh chưa thuộc các hằng đẳng thức nên không nhận dạng được bài toán phải phân tích như thế nào, hoặc đã nhận dạng được hằng đẳng thức rồi tuy nhiên chưa vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức đó theo hai chiều hoặc đã biết vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức trong thực hiện các phép tính, phép biến đổi biểu thức nhưng còn sai sót về dấu khi thực hiện phép nhân, sử dụng quy tắc bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ, quy tắc chuyển vế trong bài toán tìm x 
2/ Về phía giáo viên
 -Trong nhiều năm giảng dạy môn toán 8 , tôi nhận thấy được phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng rất nhiều trong các bài toán như giải phương trình, rút gọn phân thức và các bài toán khác trên Violympic, các bài toán trên báo khăn quàng đỏ. Trong thời gian này học sinh tham gia các cuộc thi gặp nhiều khó khăn và không đạt được thành tích tốt. Nguyên nhân các học sinh không đạt được thành tích tốt vì chưa thành thạo trong các bài toán có chứa các phép toán phân tích thành nhân tử với các phương pháp nâng cao.
- Trong phân tích đa thức thành nhân tử thì hằng đẳng thức cũng rất quan trọng thì giáo viên cần cho học sinh nắm kĩ bản chất của vấn đề , các em phải biết sử dụng được hằng đẳng thức và áp dụng hợp lý cho từng bài, để làm nổi bật trọng tâm của bài dạy, cần có phương pháp linh hoạt để gây hứng thú học tập của học sinh đồng thời kiểm tra được việc nắm công thức và vận dụng các công thức này theo hai chiều qua các bài tập nhỏ , các trò chơi mang tính đồng đội .
- Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần quan tâm rèn kỹ năng, thuật toán cho học sinh đặc biệt là học sinh yếu kém. Giáo viên chưa chỉ ra những tình huống mà các em dễ nhầm lẫn rồi sửa chữa qua đó góp phần củng cố kỹ năng cho học sinh.	
- Giáo viên nên định hướng, xây dựng cho học sinh một phương pháp học tập nhẹ nhàng, hiệu quả mà lại nâng cao kỹ năng làm bài cho học sinh. Giáo viên nên ứng dụng công nghệ thông tin, phương tiện dạy học hiện đại trong công tác giảng dạy.
 3. Thực trạng và những mâu thuẫn
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS nói chung và ở trường THCS Lý Tự Trọng nói riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán. Vì thông qua đó có thể rèn luyện được tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh. Để làm được điều đó người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, các phương pháp vận dụng và biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu được thực chất của vấn đề để từ đó có các kĩ năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chán nản và sợ môn toán.
 Năm học 2012-2013 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán lớp 8/6 ngay từ đầu năm học. Sau khi học xong nội dung về “Phân tích đa thức thành nhân tử” tôi đã cho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian làm bài 15 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng những hằng đẳng thức vào làm bài tập. Kết quả thu được như sau:
Lớp
Sĩ số
KẾT QUẢ ĐIỂM 
Giỏi
Khá
Tb
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8/6
39
6
15,4
13
33,3
11
28,2
9
23,1
Kết quả trên đã chứng tỏ được rằng: Hầu hết các em đã làm được bài đó , tuy nhiên số lượng giỏi quá ít, số lượng yếu còn nhiều.Còn có một số học sinh rất ngượng ngập, khoâng tìm ra lời giải, chưa chịu khó suy nghĩ, kiến thức còn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài toán tự mình giải còn chưa có niềm tin. Bên cạnh đó một số học sinh còn có tâm lí chán nản và tỏ ra sợ môn toán mỗi khi vào học tiết toán.
Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay thì không phải bất cứ người học nào cũng có thể đáp ứng được những yêu cầu đưa ra, nhất là đối với những đối tượng là học sinh xa trường, kinh tế gia đình không ổn định, còn khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em.
Bên cạnh đó, một số học sinh còn ham chơi, lười học, ngồi học trong lớp chưa tập trung còn có tâm lí chán nản và sợ học môn toán. Khi kiểm tra các em về lý thuyết thì có vẻ như rất hiểu bài nhưng khi yêu cầu các em làm thêm phần bài tập vận dụng thì rất lúng túng và khó khăn để trình bày. Cách học của các em là nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối sự kiểm tra của giáo viên, các em cho rằng: Chỉ cần học thuộc lý thuyết là có thể làm được bài tập mà các em quên rằng: “ Học phải đi đôi với hành” . 
Vì vậy việc chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là những phương pháp giải các bài toán có liên quan đến hằng đẳng thức thật vô cùng quan trọng. Qua đó giúp các em khắc sâu được kiến thức, kích thích khả năng tư duy, khả năng quan sát, sáng tạo, rèn cho các em kĩ năng phân tích, tổng hợp, tư duy suy luân lôgic. Hơn thế nữa giúp các em sẽ có được “niềm tin” trong học tập. 
 Với thực tế này tôi xác định phải tự tìm cho mình một cách dạy “Phân tích đa thức thành nhân tử” sao cho phù hợp được với thực tế, kích thích được óc suy nghĩ của các em. Giúp các em nâng cao chất lượng của môn toán, các em thấy hứng thú và yêu thích môn học hơn. Hơn thế nữa giúp các em có niềm tin để lĩnh hội tốt, học tốt các kiến thức sau này.
III/ NỘI DUNG
 A./ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 1./ Phương pháp đặt nhân tử chung:
 Hệ số của nhân tử chung là ước chung lớn nhất của các hệ số của các hạng tử.
 Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ nhỏ nhất của nó. Muốn tìm hạng tử trong ngoặc ta lấy từng hạng tử của đa thức chia cho nhân tử chung.
 VD : Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử:
 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x – 3y + 4xy)
Bài tập vận dụng:
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a) 5x(x – 1) – 3(x – 1)
 b)x(x + y) – 5x – 5y 
 c)x(x – y) + y(y – x)
 d)x2 + xy + x 
 2./ Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
 Dùng hằng đẳng thức đã học vào phân tích đa thức thành nhân tử.
 VD : x2 -4x + 4 = x2 – 2x2 + 22 = (x – 2)2
 x3 – 3x2 + 3x -1 =(x -1)3
Bài tập vận dụng:
a) 9x2 + 6xy + y2
b) 6x – 9 – x2
c) 4x2 – 25 
d) (x + y)2 – (x – y)2
e) x6 – y6
f) x3 + y3 + z3 – 3xyz
g) (x + y)3 – (x – y)3
 3./ Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm hạng tử thích hợp vào một nhóm có thể phân tích được. Quá trình phân tích sau được tiếp tục sau khi phân tích ở mỗi nhóm. Mục đích của việc nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 VD : x2 + xy – 3x – 3y = (x2 + xy) – ( 3x + 3y) 
= x(x + y) – 3 (x + y) = (x + y)(x – 3)
 x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
 = (x + 2)2 – y2 = (x + 2 + y)(x + 2 – y)
Bài tập vận dụng :
a) x2 – xy – y2 – y 
b) x2 – 2x – y2 + 1
c) x2 + 4x – 4y2 + 4
d) 5x – 5y + ax – ay 
e) xz – yz – x2 + 2xy – y2
4./ Phối hợp nhiều phương pháp:
 Phối hợp hài hòa giữa các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử để giải.
 VD: 2x2 + 4x + 2 – 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) = 2[(x +1)2 – y2]
	= 2(x + 1 + y)(x + 1 - y)
 x3 – 4x2 – 12x + 27 = ( x3 + 27) – (4x2 + 12x)
	 = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 4x(x + 3)
	 = (x + 3)(x2 – 7x + 9)
Bài tập vận dung:
x4 +2x3 + x2 b) x4 – 9x3 + x2 – 9x 
5x2 -10xy + 5y2 – 20z2 d)x4 – 9x3 + x2 – 9x 
2x(x + 5) – x2 – 5x
x2 + (x – 2)2 – 4 
Nếu chỉ sử dụng 4 phương pháp trên thì thực tế chưa giải quyết được một số bài toán như: x4 + 1; x2 + 5x – 6; x5 + x + 1.
 Vì vậy ta còn một số phương pháp sau:
5./ Phương pháp tách hạng tử
ìĐối với tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có một cách tách hạng tử rất hiệu quả là tách hạng tử bậc một bx thành b1x + b2x.
 Bước 1 :Tìm tích ac
 Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.
 Bước 3: chọn 2 thừa số có tích bằng ac mà tổng bằng b.
VD : x2 + 5x – 6 = x2 – x + 6x – 6 = x(x – 1) + 6(x – 1) = (x – 1)(x + 6)
 2x2 + 3x -5 = 2x2 – 2x + 5x – 5x
 = 2x(x – 1) + 5(x – 1) = (x -1)(2x – 5)
Ngoài việc tách hạng tử bậc nhất ta còn có thể tách hạng tử bậc 0.
VD: x2 + 5x – 6 = x2 - 5x -5 -1 = (x – 1)(x -1) – 5(x – 1) = (x -1)(x – 6)
ìĐối với đa thức không phải là tam thức bậc hai ta vẫn có thể tách hạng tử.
VD1: x2 + 3xy + 2y2 = x2 + 2xy +xy + 2y2 = x(x +y) +2y(x + y)
 =(x + y)(x + 2y)
VD2:xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz=
 =[xy(x + y) +xyz] + ]yz(y + z) + xyz] + xz(x+ z)
 = xy(x + y + z) + yz( x+ y + z) + xz(x+ z)
 = y(x+ y + z)( x + z) + xz(x + z) =(x + z)(xy + y2 + z + xz) 
 =(x + z)[x(y +z) + y(y+z)] = (x+z)(y+z)(x+y)
VD3: x8 + x4 + 1= x8 + 2x4 +1 – x4 = (x4 +1)2 –x4 = (x4 – x2 +1)(x4 + x2 +1)
 = (x4 – x2 +1)(x4 + 2x2 +1 – x2)
 = (x4 – x2 +1)(x2 +1 –x)(x2 +1 + x)
Đặc biệt : Với f(x) = x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
 g(x)= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc = (x + a)(x + b)(x + c)
 Vd : x2 + 5x + 6 = x2 + (2 +3)x + 2.3 = (x + 2)(x + 3)
 x3 + 6x2 +11x + 6 = x3 + (1 +2 + 3)x2 + ( 1.2 + 1.3 + 2.3)x + 1.2.3
	 = (x + 1)( x+ 2)(x + 3)
Bài tập :
a) 3x2 + 5x – 2 
b) -14x2 + 39x – 10 
c) 4x3 – 14x2 + 6x
d) 5x2 + 6xy + y2
e) x3 + 2x2 -15x – 50
f) x3 + 4x2 – 29x + 24
g) x3 + 21x2 + 134x +240
6./ Phương pháp thêm bớt hạng tử.
 Trong một số trường hợp phải thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
VD1: x4 + 4 = (x2)2 + 2.x2.2 + 22 - 2.x2.2
 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 – 2x)
VD2: x5 + x + 1 = x5 - x2 + x2 + x + 1 = x2(x3 -1) + (x2 + x + 1)
 = x2(x-1)(x2 + x+ 1) + (x2 + x + 1)
 =(x2 + x + 1)(x3 – x2 +1)
Đa thức có dạng xa + xb + 1 đều chứa nhân tử x2 + x + 1 do đó để phân tích các đa thức này ta thên bớt hạng tử thích hợp hoặc thực hiện phép chia.
Bài tập:
 a) x4 + 64 b) x4 + 4y4
c) x5 + x4 +1 d) x8 + x4 +1 
e) x7 + x2 + 1
f) x10 + x5 + 1
g) x3 + y3 + z3 – 3xyz
7./ Áp dụng tính chất chia hết và định lí nghiệm nguyên của đa thức để phân tích đa thức thành nhân tử
 a) Định lí 
4Định lí Bê – du:
 Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức (x-a) thì dư của phép chia là f(a) tức là bằng giá trị của đa thức khi x = a.
 Theo hệ quả định lí Bê- du, nếu khi x =a là là một nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho nhị thức (x – a).
 4Định lí nghiệm nguyên:
 f(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của hạng tử độc lập a0.
Đặc biệt:
 + Nếu an + an-1 + + a0 =0 => f(1) = 0 , tức là đa thức có nghiệm x = 1.
 + Nếu (a2n + a2n-2 + + a0) – (a2n-1 + a2n-3 + + a1) = 0 => f(-1) = 0 tức là đa thức có nghiệm x = -1.
VD : Phân tích đa thức f(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6
 Ta có (2 – 6) – (1 - 5) = 0
Vậy đa thức có một nghiệm x = -1.
Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho (x + 1) ta được:q(x) = x2 + x – 6
F(x)= (x + 1)( x2 + x – 6) = (x + 1)(x2 – 2x + 3x – 6) 
	 = (x + 1)(x – 2)(x + 3)
+Đối với đa thức nhiều biến f(x,y) nhận giá trị bằng 0 khi x = y thì f(x,y) chia hết cho (x – y)
 VD : Phân tích đa thức thành nhân tử: yz(y –z) + xz(x – z) + xy(x – y)
Thay x = y => f(x,y,z) = 0, y = z => f(x,y,z) = 0 ; x=z => f(x,y,z) = 0
Vậy đa thức có thể viết dưới dạng : f(x,y,z)= k(x-y)(y-z)(z-x)
 ó yz(y –z) + xz(x – z) + xy(x – y) = k(x-y)(y-z)(z-x)
Ta xét y2z trong vế trái và – ky2z trong vế phải => k = -1
 Vậy f(x,y,z) = -(x-y)(y-z)(z-x)
b./ Sơ đồ Horner
 Để tính các hệ số trong đa thức thương và dư trong phép chia đa thức
F(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 cho x – α
Giả sử f(x) = (x-α).g(x) + r 
 Với g(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + +b2x + b1 ta có sơ đồ sau:
an
an-1
an-2
a1
a0
α
bn=an
bn-1= αbn +an-1
bn-2=αbn-1+an-2
b1=αb2+a1
r =αb1+a0
VD : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 F(x) = 2x4 – 3x2 + 4x -12 
Ta xét thấy x= - 2 là nghiệm của f(x) 
2
0
-3
4
-12
-2
2
-4
5
-6
0
 Vậy f(x) = (x + 2)(2x3 – 4x2 + 5x – 6)
Nếu F(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 (an ≠ 0) có n nghiệm là x1,x2,...,xn 
thì f(x) = an(x-x1)(x-x2) ..(x-xn).
c) Tìm nghiệm qua máy tính bỏ túi Fx500ES,Fx570MS,Fx500ES:
 Nếu F(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 (an ≠ 0) có n nghiệm là x1,x2,...,xn thì f(x) = an(x-x1)(x-x2) ..(x-xn).
Đối với phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
VD : f(x)= 2x2 + 3x – 5 có nghiệm là x1 = 1, x2 = - 
Nên f(x) = 2x2 + 3x – 5= 2(x – 1)(x + ) = ( x – 1)(2x + 5)
Ta gọi chương trình EQN – 1 Degree 2 rồi nhập hệ số a,b,c
Đối với phương trình bậc 3 : ax3 + bx2 + cx + d = 0 ta gọi chương trình EQN – 1 Degree 3 rồi nhập các hệ số a,b,c,d
VD: x3 – 2x2 – x + 2 có nghiệm là x1 = -1; x2 =2; x3 = 1
Nên x3 – 2x2 – x + 2 = (x +1 )(x - 2)(x – 1)
Hạn chế của việc dùng máy tính là chỉ sử dụng khi phân tích các đa thức 1 biến bậc 2 và bậc 3 không phân tích được các đa thức có bậc cao hơn.
Bài tập:
 a) x3 + 3x2 + 3x + 2
 b) x3 - x2 – 8x + 12
 c) x3 – 3x2 + 6x – 4
 d) x3 – 9x2 + 15x + 25
 e) 2x4 + x3 – 22x2 + 15x + 36
8./ Phương pháp đặt ẩn phụ:
 Xét ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
 F(x)= x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
	Giải
F(x) = (x2 + 10x)(x2 + 10x +24) + 128
Đặt y = x2 + 10x + 12 thì ta được đa thức có dạng như sau:
f (y) = (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
hay f(x) = (x2 + 10x + 16)(x2 +10x + 8) =(x + 2)(x + 8)(x2 + 10x +8)
Nhận xét phương pháp: nhờ đặt ẩn phụ mà ta đã đưa đa thức bậc 4 ẩn x trở thành đa thức bậc 2 với ẩn y
VD2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
 G(x) =(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 
 Giải
G(x)=(x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24 
 Đặt y= x2 + 7x + 10 ta được :
G(y) =y(y + 2) – 24 =y2 + 2y – 24 =y2 + 6y – 4y – 24 
	= (y + 6)(y – 4)
Thay y = x2 + 7x + 10 được:
G(x) = (x2 + 7x +16)(x2 + 7x + 6) = (x+ 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16)
Bài tập:
 a) (x2 – 3x – 1)2 – 12(x2 – 3x – 1 ) + 27
 b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 
 c) (x2 + x) + 4x2 + 4x -12
 d) (x2 + x +1)(x2 + x+ 2) -12
 e) 27x3 – 27x2 + 18x – 4 
9./ Phương pháp hệ số bất định
 VD :Phân tích đa thức thành nhân tử:
 x4 - 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Nếu phân tích dược thành nhân tử thì đa thức có dạng
 (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
Phép nhân có kết quả sau:
x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc )x + bd
Ta đồng nhất biểu thức này với biểu thức đã cho ta được:
 a + c = - 6 
 ac + b + d =12
 ad + bc = -14
 bd = 3
 Xét bd =3 với b,d Î{±1;±3}
Với b = 3 thì d = 1, ta được:
 a + c = -6
 ac = 6
 a + 3c = -14
Suy ra 2c = -14 – ( - 6 ) = - 8 
Do đó c = - 4 ; a = - 2 
Vậy x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 =(x2 – 2x + 3)(x2 – 4x +1)
Bài tập:
x3 + 2x2 – 2x – 12 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + 1
B/ VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
 1/ Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình và bất phương trình.
 Ví dụ1:giải các phương trình
 a/ 3x – 15 + 2x(x - 5) = 0
 ó 3(x – 5) + 2x(x – 5) = 0
 ó(x – 5) (3 +2x) = 0
 X=5 hoặc x= -3/2
 b/ x2 + 5x + 6 = 0
 ó x2+ 3x + 2x + 6= 0
 óx(x+3) + 2(x + 3) =0
 ó(x +3)(x + 2) = 0
 x = - 3 hoặc x = -2
 Ví dụ 2: giải bất phương trình
 x2 + 4x +3 >0
 x2 +x + 3x + 3> 0
 (x+1)(x+3) >0
x+ 1>0, x+3>0 hoặc x+1<0, x+3<0
x>-1 hoặc x < -3
 2/ Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để rút gon phân thức:
 Ví dụ 3: Rút gọn phân thức
 a/
 b/ 
 = =
 3/ Sử dụng định lí Bê- du và hệ quả của định lí Bê – du để giải một số bài toán trên Violympic
Ví dụ 4: Tìm a và b để F(x ) =x2 +ax + b chia cho x + 1 thì dư 6, còn chia cho x - 2 thì dư 3.
 Giải
Áp dụng định lí Bê – du :
 F(-1)= 6 ó(-1)2 + a(-1) + b=6
 óa – b = - 5 (1)
 F(2) = 3 ó 2a + b = -1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a= =2 , b = 3.
 Ví dụ 5: tìm a và b để f(x) = x3 + ax2 + bx – 60 chia hết cho g(x) = x2 + 9x +20
 	Giải
G(x) = (x + 4)(x + 5)
F(x) chia hết cho g(x) nếu f(x) nhận x= -4, x = -5 là nghiệm.
F(-4) =0 ó 4a – b = 21 (1)
F(-5) =0 ó 5a – b = 37 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = 6, b = - 7 
Bài tập:
Giải các phương trình
 a) x3 + 3x2 + 3x + 2 =0
 b) x3 - x2 – 8x + 12= 0
 c) x3 – 3x2 + 6x – 4 = 0
 d) x3 – 9x2 + 15x + 25 = 0
 e) 2x4 + x3 – 22x + 15x + 36 = 0
 f) x3 + 6x2 +11x + 6 = 0
 2. Rút gọn các phân thức sau
a) 
b)
 3.Giải các bất phương trình sau
a)
b)
c)
	4.Tìm các hệ số a,b,c
1/ Tìm a và b để f(x) = 2 x3 - 5x2 + ax + b chia hết cho g(x) = x2 – 4
2/ Tìm a và b để f(x) =3x4 + 5x3 +ax2 +bx + 10 chia hết cho g(x) = (x-1)(x+2)
3/Tìm a,b,c biết f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x +2 còn chia cho x2 – 1 thì dư là x + 5.
4/ Tìm a để đa thức 2x3 + ax – 5 nhận x – 3 là nhân tử.
IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
 Với cách sử dụng một số biện pháp phát huy tính tích cực và các phương dạy học phù hợp nên chất lượng môn học được nâng cao rõ rệt
Năm học 2013- 2014:
 Học sinh giỏi cấp trường: 2
 Học sinh giỏi cấp TP: 1
 Học sinh giỏi toán trên Violympic cấp trường: 7
 Học sinh giỏi toán Violympic cấp TP: 1
 Học sinh vào chung kết Lê Quý Đôn: 2
 Kiểm tra học kì 2: 100%
Năm học 2014-2015:
 Học sinh giỏi cấp trường: 3
 Học sinh giỏi cấp TP: 1
 Học sinh giỏi toán trên Violympic cấp trường: 8
 Học sinh giỏi toán Violympic cấp TP: 1
 Kiểm tra học kì 2: 100%
 V.KẾT LUẬN
 Phân tích đa thức thành nhân tử có ý nghĩa rất quan trọng trong việc học toán của các em học sinh và trong quá trình giảng dạy của giáo viên . Nó có khả năng áp dụng rộng rãi ở cả khối 8 và 9.
 Trên đây là một số phương pháp phân tích thành nhân tử . tuy nhiên không phải học sinh nào cũng theo kịp và tiếp thu hết các phương pháp trên . Tùy đối tượng học sinh ta sẽ vận dụng phù hợp và linh hoạt để tạo cho học sinh hứng thú và thích học môn toán. Đối với học sinh trung bình ta chỉ sử dụng các phương pháp 1 đến phương pháp 4, học sinh khá chỉ áp dụng từ phương pháp 1 đến phương pháp 6, học sinh giỏi có thể vận dụng hết các phương pháp.
Qua quá trình nghiên cứu tôi có vài kiến nghị như sau:
Cần tổ chức các buổi trao đổi về SKKN giữa các trường để giao lưu học hỏi lẫn nhau
Tổ chức câu lạc bộ toán học tại các trường và đưa các đề tài nghiên cứu của giáo viên phổ biến rộng rãi trong đội ngũ nhà giáo và rèn luyện cho học sinh tham gia câu lạc bộ có thêm nhiều kiến thức và kĩ năng giải toán
Mặc dù có chuẩn bị cho sáng kiến này, song kinh ngiệm của bản thân còn ít vì vậy không tránh khỏi thiếu sót mong được sự đóng góp của quý đồng nghiệp . Xin chân thành cảm ơn!
 	 Trà vinh, tháng năm 201
Người viết
Nguyễn Đăng Khoa