Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (Có đáp án)

 ĐS8-C1-CD2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. LÝ THUYẾT:
 2
1. Bình phương của một tổng: A B A2 2AB B2
 2
2. Bình phương của một hiệu: A B A2 2AB B2
3. Hiệu hai bình phương: A2 B2 A B A B 
 3
4. Lập phương của một tổng: A B A3 3A2B 3AB2 B3
 3
5. Lập phương của một hiệu: A B A3 3A2B 3AB2 B3
6. Tổng hai lập phương: A3 B3 A B A2 AB B2 
7. Hiệu hai lập phương: A3 B3 A B A2 AB B2 
Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi 
biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, 
 2
1. Tổng hai bình phương: A2 B2 A B 2AB
 3
2. Tổng hai lập phương: A3 B3 A B 3AB A B 
3. Bình phương của tổng 3 số hạng:
 A B C 2 A2 B2 C 2 2 AB BC CA 
4. Lập phương của tổng 3 số hạng:
 A B C 3 A3 B3 C3 3 A B B C C A 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:
Dạng 1: Biến đổi biểu thức
Phương pháp:
Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
 2 2 2 2
a) 3x 2y b) x xy c) x2 4y2 d) x y 2 y 
Giải
a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
 3x 2y 2 3x 2 2 3x 2y 2y 2 9x2 12xy 4y2
b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: x xy 2 x 2 2 x xy xy 2 x2 2x2 y x2 y2
c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
 x2 4y2 x2 2y 2 x 2y x 2y 
d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
 x y 2 2 y 2 x y 2 y x y 2 y 
 x 2y 2 x 2 
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) x y x2 xy y2 x y x2 xy y2 
b) 2x3 6x2 6x 2
c) x3 6x2 12x 8
 3 3
d) x y x 2y 
Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:
 x y x2 xy y2 x y x2 xy y2 
 x3 y3 x y x2 xy y2 x3 y3 x3 y3 2x3
b) Ta có: 2x3 6x2 6x 2 2 x3 3x2 3x 1 .
 3
Áp dụng bất đẳng thức ta được: 2 x3 3x2 3x 1 2 x 1 .
c) Ta có: x3 6x2 12x 8 x3 3.2x2 3.22.x 23
 3
Áp dụng bất đẳng thức ta được: x3 3.2.x2 3.22..x 23 x 2 
 3 3
d) Áp dụng bất đẳng thức ta được: x y x 2y 
 x3 3x2 y 3xy2 y3 x3 3.x2 2y 3.x. 2y 2 2y 3 
 x3 3x2 y 3xy2 y3 x3 6x2 y 12xy2 8y3
 9x2 y 9xy2 9y3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) a b c d a b c d 
b) x 2y 3z x 2y 3z c) x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 
 3 3
d) x y x y 
 2 2
e) x2 3x 1 3x 1 2 x2 3x 1 3x 1 
Giải
a) a b c d a b c d 
 2 2
 a b c d . a b c d a b c d 
 a2 2ab b2 c2 2cd d 2 a2 b2 c2 d 2 2ab 2cd
b) x 2y 3z x 2y 3z x 3z 2y . x 3z 2y 
 x 2z 2 2y 2 x2 6xz 9z2 4y2
c) x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x3 1 x3 1 x6 1
 3 3
d) x y x y 
 x3 3x2 y 3xy2 y3 x3 3x2 y 3xy2 y3 
 x3 3x2 y 3xy2 y3 x3 3x2 y 3xy2 y3
 6x2 y 2y3 2y 3x2 y2 
 2 2
e) x2 3x 1 3x 1 2 x2 3x 1 3x 1 
 2
 2 2 2 2 2
 x 3x 1 3x 1 x 3x 1 3x 1 x 2 
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau:
- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần 
tính giá trị.
- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức 
có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.
- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.
Bài 1: Cho x y 1 . Tính giá trị biểu thức sau: A x3 3xy y3
Giải
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:
 A x3 y3 3xy x y x2 xy y2 3xy x y x y 2 3xy 3xy
Theo bài ra x y 1 , thay vào A ta được:
 A x y x y 2 3xy 3xy 1. 12 3xy 3xy 1 3xy 3xy 1
Vậy A 1 .
 2
Bài 2: Cho x y 4 và xy 5 . Tính B x3 y3 x y 
Giải.
Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:
 B x3 y3 x y 2 x y x2 xy y2 x y 2
 x y x y 2 3xy x y 2
Theo bài ra x y 4 , xy 5 thay vào B ta được:
 B x y x y 2 3xy x y 2 4 42 3.5 16 140
Vậy B 140
Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
a) 9x2 48x 64 5x3 tại x 2 b) x3 9x2 27x 27 tại x 4
 x3 1 x2 2x 1 x2 1
c) tại x 6 d) tại x 3
 x2 1 x3 1 x 1 2
Giải
 2
a) Ta có: 9x2 48x 64 5x3 3x 8 5x3
 2
Thay x 2 vào ta được: 3.2 8 5.23 36
 3
b) Ta có x3 9x2 27x 27 x 3 
 3 3
Thay x 4 vào ta được: x 3 4 3 73 343
 2
 x3 1 x 1 x x 1 x2 x 1
c) Ta có: 
 x2 1 x 1 x 1 x 1
 x2 x 1 62 6 1 43
Thay x 6 vào ta được: 
 x 1 6 1 7
 x2 2x 1 x2 1
d) Ta có: 
 x3 1 x 1 2 2
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 x 1 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 x 1
 3 1 3 1 2 28
Thay x 3 vào ta được: 2 
 32 3 1 3 1 13 13
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A x . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng: 
 m Q2 x m (với m là hằng số) GTLN của A x m .
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A x . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng 
 Q2 x n n (với n là hằng số) GTNN của A x n .
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A x2 2x 5 b) B 9x 3x2 4
Giải
 2
a) Ta có: A x2 2x 5 x2 2x 1 6 6 x 1 6
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x 1 0 x 1 .
b) Ta có:
 2
 2 9 3 2 27 43 3 43
 B 9x 3x 4 3 2. .x x 4 3 x 
 4 2 4 4 2 4
 43 3 3
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là khi x 0 x .
 4 2 2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A 8x2 8x 14 b) B x2 x 2
Giải
a) Ta có: A 8x2 8x 14 2 4x2 4x 1 12
 2 2x 1 2 12 12
 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi 2x 1 0 x .
 2
 2
 2 2 1 1 1 1 7 7
b) Ta có: B x x 2 x 2. .x 2 x 
 2 4 4 2 4 4
 7 1 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là khi x 0 x .
 4 2 2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 2
a) A x2 x 1 b) B x4 2x3 2x2 2x 1
Giải
 2
 2 2 1 1 3 1 3 3
a) Ta có: x x 1 x 2. .x x 
 2 4 4 2 4 4
 3
Do x2 x 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng .
 4
 2
 3 1 1
Giá trị nhỏ nhất của A khi và chỉ khi x 0 x .
 4 2 2
b) Ta có: B x4 2x3 2x2 2x 1 x4 2x3 x2 x2 2x 1
 x2 x2 2x 1 x2 2x 1 x2 x 1 2 x 1 2 0
 x2 0 x 0
Mặt khác: B 0 x 1 0 x 1 x 1 .
 x 1 0 x 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 0 khi và chỉ khi x 1 .
Bài 4: Chứng minh rằng x2 4x 10 luôn dương với mọi x
Giải
 2
Ta có: x2 4x 10 x2 2.2.x 4 6 x 2 6
 2 2
Ta thấy x 2 0 x 2 6 luôn dương với mọi x .
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP
1. Tìm hệ số x2 của đa thức sau khi khai triển :
 a)A x 2 2 x 2 2 x 3 3 3x 1 3
 b)B 2x 1 2 x 2 2 x 3 2 3x 1 3
Giải
 a)A x2 4x 4 x2 4x 4 x3 9x2 27x 27 27x3 27x2 9x 1
 28x3 38x2 36x 36
Vậy hệ số của x2 là 38.
 b)B 4x2 4x 1 x2 4x 4 x3 9x2 27x 27 27x3 27x2 9x 1
 28x3 31x2 28x 23
Vậy hệ số của x2 là -31. 2. Tính giá trị biểu thức
 a)A x2 0,2x 0,01 tại x 0,9 .
 b)B x3 3x2 3x 2 tại x 19 .
 c)C x4 2x3 3x2 2x 2 tại x2 x 8
Giải
a ) Ta có :
 A x2 0,2x 0,01
 x2 0,2x 0,1 2
 x 0,1 2
 2
Với x 0,9 A 0,9 0,1 1
b) Ta có:
 B x3 3x2 3x 2
 x3 3x2 3x 1 1 x 1 3 1
 3
Với x 19 thì B 19 1 1 8000 1 8001
c) Ta có :
 C x4 2x3 3x2 2x 2
 x4 2x3 x2 2x2 2x 2
 2
 x2 x 2. x2 x 1 1
 2
 x2 x 1 1
 2
Với x2 x 8 C 8 1 1 81 1 82 .
3. Tính hợp lý :
 3562 1442
 a)A b)B 2532 94.253 472
 2562 2442
 c)C 1632 92.136 462 d)D 1002 982 ... 22 992 972 ... 12 
Giải
 3562 1442 356 144 356 144 500.212 53
 a)A 
 2562 2442 256 244 256 244 500.12 3
 b)B 2532 94.253 472 2532 2.47.253 472 253 47 2 3002 90000 c)C 1362 92.136 462 1362 2.46.136 462 136 46 2 902 8100
 d)D 1002 982 ... 22 992 972 ... 12 
 1002 992 982 972 ... 22 12 
 100 99 100 99 98 97 98 97 ... 2 1 2 1 
 1. 100 99 1. 98 97 ... 1. 2 1 
 100 99 ... 1 100 1 99 2 ... 51 50 
 101 101 ... 101 101.50 5050
4. Tính giá trị biểu thức :
 20212 2020 2019 20192 20202 2021 
 A .
 2020 1 20203 1 20203 1
Giải
 20212 20202 2019 20192 2020 2021 
 A .
 20202 1 20203 1 20203 1
 20212 20202 2020 1 20192 20202 2020 1 
 .
 2020 1 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2020 1 20202 2020 1 
 1
 .2019 1
 2019
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 a)A 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2020 b)M 5x2 y2 z2 4x 2xy z 1
Giải
a) Ta có :
 A 4x2 8xy 4y2 x2 2x 1 y2 2y 1 2018
 4 x y 2 x 1 2 y 1 2 2018 2018
Vậy giá trị nhỏ nhất của A 2018 tại x 1; y 1
 1 1
 c)M x2 2xy y2 4x2 4x 1 z2 z 2
 4 4
 2
 2 2 1 1 1
 x y 2x 1 z 2. 2
 2 4 2 
 x y 0
 1
Dấu bằng xảy ra khi 2x 1 0 x y z 
 2
 1
 z 0
 2
 1 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 khi x y z 
 4 4
6. Tìm x, biết :
 a) x 2 2 x 3 2 2 x 2 x 3 19
 b) x 2 x2 2x 4 x x2 5 15
 c) x 1 3 2 x 4 2x x2 3x x 2 17
Giải
 a) x 2 2 x 3 2 2. x 2 x 3 19
 x 2 2 8x x 3 2 12x 2 x 2 x 3 19
 2
 20x x 2 x 3 19
 20x 1 19
 9
 20x 18 x 
 10
 b) x 2 x2 2x 4 x x2 5 15
 x3 8 x3 5x 15
 7
 5x 8 15 5x 7 x 
 5
 c) x 1 3 2 x 4 2x x2 3x x 2 17
 x 1 3 8 x3 3x2 6x 17
 x3 3x2 3x 1 8 x3 6x 17
 9x 7 17
 10
 9x 10 x 
 9
7. Biết xy 11 và x2 y xy2 x y 2016 . Hãy tính giá trị : x2 y2
Giải Ta có: x2 y xy2 x y 2016
 xy x y x y 2016
11 x y x y 2016
12 x y 2016 x y 168
 2
Mà x2 y2 x y 2xy 1682 2.11 28202
8. Cho a b 7 . Tính giá trị biểu thức : A a2 a 1 b2 b 1 3ab a b 1 ab
Giải
Ta có : A a3 a2 b3 b2 3ab a b 3ab ab
 a3 3ab a b b3 a2 b2 2ab
 a b 3 a b 2 73 72 392
9. Chứng minh rằng với mọi x ta có :
 a)x x 6 10 0 b) x 3 x 5 3 0 c)x2 x 1 0
Giải
 a)x x 6 10 0
 x2 6x 9 1 0
 2
 x 3 1 0 (luôn đúng )
 b) x 3 x 5 3 0
 x2 8x 18 0
 x2 8x 16 2 0
 2
 x 4 2 0 (luôn đúng)
 c)x2 x 1 0
 2
 2 1 3 1 3
 x x 0 x 0 (luôn đúng )
 4 4 2 4
10. Tìm x, y biết :
 a)x2 2x 5 y2 4y 0 b)4x2 y2 20x 2y 26 0 c)9x2 4y2 4y 12x 5 0
Giải
 a)x2 2x 5 y2 4y 0
 x2 2x 1 y2 4y 4 0