Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 11: Biến đối các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức (Có đáp án)

 ĐS8-C2-CD11. BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ.GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ
- Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân 
chia trên những phân thức.
- Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, 
nhân, chia các phân thức đã học.
2. Giá trị của phân thức
- Giá trị của một phân thức chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0.
- Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x và y thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định 
vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0.
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
 5x 2 2x 1 x 2
a) ; b) ; c) ; d) 
 2x 6 x2 4 4x2 2x x3 27
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
 4a 3b 6 3 2y2
a) ; b) ; c) ; d) .
 3a 8 b2 2b x2 5 y3 3y 2
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định:
 x2 1 2x 1 3x 4 x 1
a) ; b) ; c) ; d) . 
 9x2 16 x2 6x 9 2x2 3x x3 4x2 3x
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi;
 A
Bước 2. Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng với A và B là các đa thức, B khác đa 
 B
thức 0.
Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 1 4
 2 1 
 1 y 2
a) A x với x 0 và x ; b) B với y 2.
 1 2y
 2 2 1 
 x y2 2y 4
Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức:
 x 15 1
 2 3y 
 9y2
a) A 4 4x với x 0;3;4. b) với y 0. 
 x 6 7 1 1
 1 
 2 x 2 3y 9y2
Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
 4n n2
 4 
 2 1 x
a) M m m ,m 0,n 0,n 2m. b) N , x 3. 
 1 2 x
 3 1 
 m n x 3
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để 
biến đổi.
Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:
 2 1 1 1
 a) A 4x 1 1 với x . 
 2x 1 2x 1 2
 3 9 3 1 
 b) B 2 : 2 với x 0, x 3. 
 x 3 x 6x 9 x 9 3 x 
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
 4a b 4a b a2 16b2
a) A 2 2 . 2 2 với a 0,a 4b; 
 a 4ab a 4ab a b
 y 3y2 
b) B 1 : 1 2 với y 1; y 2. 
 y 2 4 y 
 x2 2x x 6 108 6x
Bài 9: Cho biểu thức P ' 
 2x 12 x 2x x 6 
a) Tìm điều kiện xác định;
b) Rút gọn phân thức;
 3
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng ; 
 2
 9
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng ; 
 2
e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1.
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau: A
• 0 khi và chỉ khi A và B cùng dấu;
 B
 A
 0 khi và chỉ khi A và B trái dấu.
 B
• Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a 2 0 vói mọi giá trị của a.
 a
• Với a;b Z và b 0 ta có: Z b Ư (a).
 b
 x 2
Bài 10: Cho phân thức A với x 1; 
 x 1
a) Tìm x để A 1; b) Tìm x ¢ để A ¢ . 
 x2 2x 2
Bài 11: Cho phân thức B với x 3; 
 x 3
 a) Tìm x để B 0; b) Tìm x ¢ để B ¢ . 
Bài 12: 
 8
a) Tìm x để phân thức A đạt giá trị lớn nhất;
 x2 4x 12
 5
b) Tìm x để phân thức B đạt giá trị lớn nhất.
 x2 2x 11
 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
 5x 2 2x 1 x 2
a) ; b) ; c) ; d) 
 2x 6 x2 4 4x2 2x x3 27
 Hướng dẫn
 1
a) x 3 b) x 2 c) x 0; x d) x 3 
 2
Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định:
 4a 3b 6 3 2y2
a) ; b) ; c) ; d) .
 3a 8 b2 2b x2 5 y3 3y 2
 Hướng dẫn
 8
 a) a b) b 0;b 2 c) x ¡ d) y 1; y 2 
 3
Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định:
 x2 1 2x 1 3x 4 x 1
a) ; b) ; c) ; d) . 
 9x2 16 x2 6x 9 2x2 3x x3 4x2 3x Hướng dẫn
 4 3
a) x b) x 3 c) x 0; x d) x 0; x 1; x 3.
 3 2
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 
 1 4
 2 1 
 1 y 2
a) A x với x 0 và x ; b) B với y 2.
 1 2y
 2 2 1 
 x y2 2y 4
 Hướng dẫn
 1 1 2x 1
a) A 2 : 2 
 x x 2x 1
 4 2y y 2 y2 4y 4 y 2 y2 2y 4 y2 2y 4
b) B 1 : 1 2 : 2 . 2 
 y 2 y 2y 4 y 2 y 2y 4 y 2 y 2 y 2
Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức:
 x 15 1
 2 3y 
 9y2
a) A 4 4x với x 0;3;4. b) với y 0. 
 x 6 7 1 1
 1 
 2 x 2 3y 9y2
 Hướng dẫn
 x 15 x 6 7 x2 8x 15 x2 7x 12 x 5
a) A 2 : : 
 4 4x 2 x 2 4x 2x 2(x 4)
 1 1 1 27y3 1 9y2 3y 1
b) B 3y 2 : 1 2 2 : 2 3y 1
 9y 3y 9y 9y 9y
Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
 4n n2
 4 
 2 1 x
a) M m m ,m 0,n 0,n 2m. b) N , x 3. 
 1 2 x
 3 1 
 m n x 3
 Hướng dẫn
 (2m n)2 m.n (n 2m)n
a) Ta có M . . 
 m2 n 2m m
 1 x(x 3) x2 3x 1
b) Ta có N 
 3 3 3
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ. Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:
 2 1 1 1
 a) A 4x 1 1 với x . 
 2x 1 2x 1 2
 3 9 3 1 
 b) B 2 : 2 với x 0, x 3. 
 x 3 x 6x 9 x 9 3 x 
 Hướng dẫn
 (2x 1) (2x 1) (4x2 1)
a) A 4x2 1 3 4x2
 (2x 1)(2x 1)
 3 (x 3)(x 3) 9 3x
b) B . 
 x 3 2 x x 3
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
 4a b 4a b a2 16b2
a) A 2 2 . 2 2 với a 0,a 4b; 
 a 4ab a 4ab a b
 y 3y2 
b) B 1 : 1 2 với y 1; y 2. 
 y 2 4 y 
 Hướng dẫn
 8(a2 b2 ) a2 16b2 8 2y 2 4 y2 2 y
a) A . b) B . 
 a a2 16b2 a2 b2 a y 2 4 4y2 2 2y
 x2 2x x 6 108 6x
Bài 9: Cho biểu thức P ' 
 2x 12 x 2x x 6 
a) Tìm điều kiện xác định;
b) Rút gọn phân thức;
 3
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng ; 
 2
 9
d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng ; 
 2
e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1.
 Hướng dẫn
a) Tìm được x 6; x 0 
 3 2 2
b) Gợi ý: x 4x 6x 36 (x 6)(x 2x 6) 
 x2 2x 6
Ta tìm được P 
 2x
 3 2 x 3
c) Ta có P x 5x 6 0 (x 3)(x 2) 0 (TM)
 2 x 2
d) Tương tự câu c) tìm được x 6(KTM ) hoặc x 1(TM ) 
 2 2
e) P 1 x 4x 6 0 (x 2) 2 0 ( vô nghiệm)
 2
Vì (x 2) 2 2 0 với mọi x. Do vậy x  Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
 x 2
Bài 10: Cho phân thức A với x 1; 
 x 1
a) Tìm x để A 1; b) Tìm x ¢ để A ¢ . 
 Hướng dẫn
 3
a) Ta có A >1 dẫn đến 0 x 1 (TMĐK)
 x 1
 3
b) Ta có: A 1 nên A ¢ (x 1) nhận giá trị là Ư(3). Từ đó tìm được x 2;0;2;4 
 x 1
 x2 2x 2
Bài 11: Cho phân thức B với x 3; 
 x 3
 a) Tìm x để B 0; b) Tìm x ¢ để B ¢ . 
 Hướng dẫn
 2
 2 1 7 7
a) Ta có x x 2 x 0 nên B 0 x 3 
 2 4 4
 8
b) Ta có B x 2 nên B ¢ (x 3) nhận giá trị là Ư(8). Từ đó tìm được 
 x 3
 x 5; 1;1;2;4;5;7;11. 
Bài 12: 
 8
a) Tìm x để phân thức A đạt giá trị lớn nhất;
 x2 4x 12
 5
b) Tìm x để phân thức B đạt giá trị lớn nhất.
 x2 2x 11
 Hướng dẫn
 1 1
a) Ta có x2 4x 12 (x 2)2 8 8 hay dẫn đến M 1. Từ đó tìm được giá 
 x2 4x 12 8
trị lớn nhất của M = 1 khi x = 2.
 1 1 1
b) Tương tự ta có x2 2x 11 (x 1)2 10 10 hay N 
 x2 x 11 10 2
 1
Giá trị nhỏ nhất của N khi x = -1
 2
Chú ý : Ở bài 12. Ta dựa vào lập luận 
 1 1
- Nếu M a 0 ; 
 M a
 1 1
- Nếu 0 M a 
 M a
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức.
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 x 2 4 2x 1
a) b) 
 9x 2 16 x 2 4x 4
 x 2 4 5x 3
c) d) 
 x 2 1 2x 2 x
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 1 x2 y 2x
 a) b) 
 x2 y2 x2 2x 1
 5x y x y
c) d) 
 x2 6x 10 (x 3)2 (y 2)2
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 x2 5x 6 2
a) b) 
 x2 1 (x 1)(x 3)
 2x 1 4
c) d) 
 x2 5x 6 x2 y2 2x 2
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau:
 5x 4xy 21x2 y3
 a) b) (y 0) c) (xy 0)
 10 2y 6xy
 2x 2y 5x 5y 15x(x y)
 d) e) (x y) f) (x y)
 4 3x 3y 3(y x)
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau:
 x2 16 x2 4x 3
 a) (x 0, x 4) b) (x 3)
 4x x2 2x 6
 15x(x y)3 x2 xy
c) (y(x y) 0) d) (x y, y 0)
 5y(x y)2 3xy 3y2
Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
 (2x2 2x)(x 2)2 1 x3 x2 y xy2
 a) A với x b) B với x 5, y 10
 (x3 4x)(x 1) 2 x3 y3
Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
Bài 7: Thực hiện phép tính: x 5 1 x x y 2y
 a) b) 
 5 5 8 8
 x2 x 1 4x 5xy2 x2y 4xy2 x2y
c) d) 
 xy xy 3xy 3xy
Bài 8: Thực hiện phép tính:
 2x 4 2 x 3x 2x 1 2 x
a) b) 
 10 15 10 15 20
 x 1 x2 3 1 2x 2x 1
c) d) 2
 2x 2 2 2x2 2x 2x 1 2x 4x
Bài 9: Thực hiện phép tính:
 x2 6 1 2x2 10xy 5y x x 2y
a) b) 
 x3 4x 6 3x x 2 2xy y x
 2 1 3x x2 y2
c) d) x y 
 x y x y x2 y2 x y
Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:
 x3 x2 2 x3 2x2 4 2x3 x2 2x 2
 a) b) c) 
 x 1 x 2 2x 1
Bài 11:Tìm giá trị của biến x để:
 1
a) P đạt giá trị lớn nhất
 x2 2x 6
 x2 x 1
b) Q đạt giá trị nhỏ nhất
 x2 2x 1
 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 x 2 4 4 2x 1
a) điều kiện xác định x b) điều kiện xác định x 2
 9x 2 16 3 x 2 4x 4
 x 2 4 5x 3 1 
c) điều kiện xác định x 1 d) điều kiện xác định x 0, 
 x 2 1 2x 2 x 2
Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 1 x 0 x2y 2x
 a) điều kiện xác định b) điều kiện xác định x 1
 x2 y2 y 0 x2 2x 1
 5x y
c) điều kiện xác định x ¡
 x2 6x 10
 x y x 3
d) điều kiện xác định 
 (x 3)2 (y 2)2 y 2
Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức:
 x2 5x 6 2 x 1
a) điều kiện xác định x 1 b) điều kiện xác định 
 x2 1 (x 1)(x 3) x 3
 2x 1 2 x 2
c) điều kiện xác định x 5x 6 0 x 3 x 2 0 
 x2 5x 6 x 3
 4 2
d) điều kiện xác định x2 y2 2x 2 0 x 1 y2 1 0 ( luôn đúng 
 x2 y2 2x 2
với mọi x, y ¡ )
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức.
Bài 4:Rút gọn các phân thức sau:
 5x x 4xy 21x2y3 7
 a) b) (y 0) 2x c) (xy 0) xy2
 10 2 2y 6xy 2
 2x 2y x y 5x 5y 5 15x(x y)
 d) e) (x y) f) (x y)
 4 2 3x 3y 3 3(y x)
 5
Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: x2 16
 a) (x 0, x 4) b) 
 4x x2
 x2 4x 3
 (x 3)
 2x 6
 x 4 x 4 x 4 x 1 x 3 x 1
 x 4 x x 2 x 3 2
 15x(x y)3 x2 xy
c) (y,(x y) 0) d) (x y,y 0)
 5y(x y)2 3xy 3y2
 3x x y x x y x
 y 3y x y 3y
Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
 (2x2 2x)(x 2)2 1
a) A với x 
 (x3 4x)(x 1) 2
 2
 (2x2 2x)(x 2)2 2 x x 2 x 2 2 x 2 
Ta có A 
 (x3 4x)(x 1) x x 2 x 2 x 1 x 1
 1
Thay x vào biểu thức A ta có: 
 2
 1 3
 2 2 2.
 2
 A 2 2
 1 3
 1
 2 2
 x3 x2y xy2
b) B với x 5,y 10
 x3 y3
 2 2
 x3 x2y xy2 x x xy y x
Ta có B 
 x3 y3 x y x2 xy y2 x y
 5
Thay x 5,y 10 vào biểu thức B ta có: B 1
 5 10
 Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ.
Bài 7: Thực hiện phép tính:
 x 5 1 x 4 x y 2y x y
a) b) 
 5 5 5 8 8 8
 x2 x 1 4x x2 5 x 1
c) 
 xy xy xy