Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương II, Chủ đề 11: Phép chia các phân thức đại số (Có đáp án)

 ĐS8-C2-CD11. PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1. Phân thức nghịch 
 A B
đảo của là .
 B A
 A C A
- Muốn chia phân thức cho phân thức khác 0, ta nhân với phân thức nghịch 
 B D B
 C
đảo của 
 D
- Ta có:
 A C A D C
 : . với ≠ 0.
 B D B C D
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính
Phương pháp giải: Áp dụng công thức:
 A C A D C
 : . với ≠ 0.
 B D B C D
Chú ý:
- Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức 
đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải.
- Ưu tiên tính toán đối vói biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có). 
Bài 1: Làm tính chia các phân thức
 7xy 14x2 y
a) : 
 3x 1 6x 2
 34x2 y3 17xy
b) : 
 2xy2 2y2 3x 3
 x3 27
c) : x2 6x 9 
 x 3
 x2 1
d) x2 2x 1 :
 2x 3 Bài 2: Chia các phân thức sau
 9x2 4 3x 2
a) :
 3x 1 6x2 2x
 5x 15 x 3
b) :
 x2 4 x 2
 3
 x 8 2
c) 2 : x 2x 4 
 x 4
 2x 4x2 4x2 4x 1
d) :
 x2 x x 1
Bài 3: Thực hiện phép chia
 2x 8
a) 3x2 48 :
 9x 6
 x2 1
b) 3 6x 3x2 : 
 x
 x 1 x 2 x 1 x 3 
c) : :
 x 2 x 3 x2 4
 x3 1 x 1
d) : x2 x 1 :
 x 1 x 1
Bài 4: Làm tính chia
 9x2 6x 1 12x 4
a) : 
 x2 2xy 4y2 4x3 32y3
 x2 3x 2 x2 x
b) :
 x2 x 6 x2 4x 4
 x4 y4 3x2 y 3xy2
c) :
 4x2 4x 1 6 12x
 x2 4xy 4y2 10x 20y
d) : 
 2x2 2xy 2y2 5x3 5y3
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế; Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần 
tìm.
 x 4 x2 5x 4
Bài 5: Tìm phân thức A , thoả mãn: : A 
 x3 3x2 x 3 x 2 x 3 
 12x2 18x 8x3 36x2 54x 27
Bài 6: Tìm phân thức B , biết: B. 
 x3 x2 x
 1 1
 8 4 2
 x6 y6 x4 x2 y2 y4
Bài 7: Tìm phân thức C , thoả mãn: :C 
 10x2 10xy 5x2 10xy 5y2
 2
 x 1 6 x 1 9 x2 16
Bài 8: Tìm phân thức D, biết: .D 
 3x2 3x 3x3 3x
Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thức A chia hết cho phân thức B biết:
 x3 x2 x 11 x 2
A ; B .
 x 2 x 2
 15 5
Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức M : là số nguyên.
 16x2 1 4x 1
 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia các phân thức
 7xy 14x2 y 7xy 6x 2 7xy 2. 3x 1 1
a) : . . . 
 3x 1 6x 2 3x 1 14x2 y 3x 1 14x2 y x
 34x2 y3 17xy 34x2 y3 3x 3 34x2 y3 3 x 1 102x2 y3. x 1 
b) : . . 3x 
 2xy2 2y2 3x 3 2xy2 2y2 17xy 2y2 x 1 17xy 34xy3 x 1 
 3 3 3 x 3 x2 3x 9
 x 27 2 x 3 1 1
c) : x 6x 9 . 2 . 2 
 x 3 x 3 x 6x 9 x 3 x 3 
 x2 3x 9 x2 3x 9
 x 3 x 3 x2 9
 2
 2 x 1 2 2x 3 2 2x 3 x 1 2x 3 
d) x 2x 1 : x 2x 1 . 2 x 1 . 
 2x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 Bài 2: Chia các phân thức sau
 2
 9x2 4 3x 2 3x 22 6x2 2x 3x 2 3x 2 2x 3x 1 
a) : . . 2x 3x 2 
 3x 1 6x2 2x 3x 1 3x 2 3x 1 3x 2
 5x 15 x 3 5. x 3 x 2 5
b) : . 
 x2 4 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2
 3 3 3 x 2 x2 2x 4
 x 8 2 x 2 1 1 1
c) 2 : x 2x 4 2 2 . 2 . 2 
 x 4 x 2 x 2x 4 x 2 x 2 x 2x 4 x 2
 2x 4x2 4x2 4x 1 2x 4x2 x 1 2x. 1 2x x 1 2
d) : . . 
 x2 x x 1 x2 x 4x2 4x 1 x. x 1 2x 1 2 2x 1
Bài 3: Thực hiện phép chia
 2x 8 9x 6 3. 3x 2 
a) 3x2 48 : 3x2 48 . 3. x2 16 .
 9x 6 2x 8 2. x 4 
 3. 3x 2 9. x 4 3x 2 
 3. x 4 x 4 . 
 2. x 4 2
 2
 2 x 1 2 x 2 x 3x. x 1 
b) 3 6x 3x : 3. 1 2x x . 2 3. x 1 . 
 x x 1 x 1 x 1 x 1
 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 
c) : : . :
 x 2 x 3 x2 4 x 2 x 2 x 2 x 2 
 x 1 x 3 x 2 x 2 x 2
 . 
 x 2 2 x 1 x 3 x 2
 3 x 1 x2 x 1
 x 1 2 x 1 1 x 1 x 1 x 1
d) : x x 1 : . 2 : . 1
 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
Bài 4: Làm tính chia
 2 2 3 3
 9x2 6x 1 12x 4 3x 1 4x3 32y3 3x 1 4. x 8y 
a) : . .
 x2 2xy 4y2 4x3 32y3 x2 2xy 4y2 12x 4 x2 2xy 4y2 4. 3x 1 
 3x 1 2 4. x 2y x2 2xy 4y2 
 . 3x 1 x 2y 
 x2 2xy 4y2 4. 3x 1 
 2
 x2 3x 2 x2 x x2 3x 2 x2 4x 4 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 
b) : . . 
 x2 x 6 x2 4x 4 x2 x 6 x2 x x 3 x 2 x. x 1 x. x 3 2 2 2 2
 x4 y4 3x2 y 3xy2 x4 y4 6 12x x y x y 6. 1 2x 
c) : . .
 4x2 4x 1 6 12x 4x2 4x 1 3x2 y 3xy2 2x 1 2 3xy. x y 
 x y x y x2 y2 6. 1 2x 2 x y x2 y2 
 . 
 1 2x 2 3xy. x y xy. 1 2x 
 2 3 3
 x2 4xy 4y2 10x 20y x 2y 5. x y 
d) : . 
 2x2 2xy 2y2 5x3 5y3 2. x2 xy y2 10. x 2y 
 x 2y 2 5. x y x2 xy y2 x 2y x y 
 . 
 2. x2 xy y2 10. x 2y 4
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
 x 4 x2 5x 4
Bài 5: Tìm phân thức A , thoả mãn: : A 
 x3 3x2 x 3 x 2 x 3 
 x 4 x2 5x 4
 A :
 x3 3x2 x 3 x 2 x 3 
 x 4 x 2 x 3 
A .
 x3 3x2 x 3 x2 5x 4
 x 4 x 2 x 3 
A .
 x2 x 3 x 3 x2 x 4x 4
 x 4 x 2 x 3 
A .
 x 3 x2 1 x 1 x 4 
 x 2
A 
 x 1 x2 1 
 12x2 18x 8x3 36x2 54x 27
Bài 6: Tìm phân thức B , biết: B. 
 x3 x2 x
 1 1
 8 4 2
 8x3 36x2 54x 27 12x2 18x
 B :
 x2 x x3
 1 1
 4 2 8 3
 x 
 3 1
 2x 3 2
 B . 
 x2 x 6x. 2x 3
 1 
 4 2
 x x2 x 
 3 1 1 
 2x 3 2 4 2
 B . 
 x2 x 6x. 2x 3
 1 
 4 2
 2 x 
 2x 3 . 1 
 2
 B 
 6x
 x6 y6 x4 x2 y2 y4
Bài 7: Tìm phân thức C , thoả mãn: :C 
 10x2 10xy 5x2 10xy 5y2
 x6 y6 x4 x2 y2 y4
 C :
 10x2 10xy 5x2 10xy 5y2
 3 3
 x2 y2 5 x2 2xy y2 
 C .
 10x x y x4 x2 y2 y4
 x2 y2 x4 x2 y2 y4 5 x y 2
 C .
 10x x y x4 x2 y2 y4
 x y x y x y 2 x y 3
 C . 
 2x x y 1 2x
 2
 x 1 6 x 1 9 x2 16
Bài 8: Tìm phân thức D, biết: .D 
 3x2 3x 3x3 3x
 2
 x 1 6 x 1 9 x2 16
 D :
 3x2 3x 3x3 3x
 2
 x 1 6 x 1 32 3x3 3x
 D .
 3x. x 1 x2 16
 x 1 3 2 3x x2 1 
 D .
 3x. x 1 x2 42 x 4 2 3x. x 1 . x 1 
 D .
 3x. x 1 x 4 . x 4 
 x 4 x 1 
 D 
 x 4
Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thức A chia hết cho phân thức B biết:
 x3 x2 x 11 x 2
A ; B .
 x 2 x 2
 x3 x2 x 11 x 2 x3 x2 x 11 x 2 x3 x2 x 11 1
Ta có A: B : . x2 3x 5 
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Để phân thức A chia hết cho phân thức B thì 
1 x 2 x 2 Ư 1 
 x 2 1;1 x 3; 1
Vậy x 3; 1 thì phân thức A chia hết cho phân thức B .
 15 5
Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức M : là số nguyên.
 16x2 1 4x 1
Giải
 15 5 15 4x 1 3
Ta có M : . 
 16x2 1 4x 1 4x 1 4x 1 5 4x 1
Để giá trị của phân thức M là số nguyên thì 
3 4x 1 4x 1 Ư 3 
 1 1 
 4x 1 3; 1;1;3 x ;0; ;1
 2 2 
 1 1 
Vậy x ;0; ;1thì giá trị của phân thức M là số nguyên.
 2 2 
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia phân thức: 15x x2 3x2 11x4 20x 4x3 25x2 y5
 : : : :15xy2
a) 3 2 b) 2 c) 2 d) 
 7y 2y 8y 4y 3y 5y 3x
Bài 2: Làm tính chia phân thức: 
 4x 12 3 x 3 7x 2 14x 4 y2 xy 5xy 15xy3
 : : x y : :
a) x 4 2 x 4 b) 3xy3 x2 y c) x y d) 2x 3 12 8x 
Bài 3: Làm tính chia phân thức:
 2
 5x 10 2 2x 10 2 3x 6 4x 1
a) 2 : 2x 4 b) x 25 : c) 4x 16 : d) : 1 2x 
 x 7 3x 7 7x 2 x
Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)
 4 x 3 x2 3x 8xy 12xy3 1 9x2 6x 2
a) : b) : d) : 
 3x2 x 1 3x 3x 1 5 15x c) x2 4x 3x
Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4)
 27 a3 a 3 b 4
a) : b) 2b2 32 :
 5a 10 3a 6 7b 2
 3x3 3 y3 8
c) : x2 x 1 d) : y2 2y 4 
 x 1 y 1
 4x 6y 4x2 12xy 9y2 x2 x 3x 3
e) : f) :
 x 1 1 x3 5x2 10x 5 5x 5
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
 a3 b3 b2 a2
Bài 6: Tìm Q , biết: .Q .
 a4 a2
 a2 b2 2ab a b
Bài 7: Tìm Q , biết: .Q . 
 a2 b2 ab a3 b3
 a4 b4 a2 b2
Bài 8: Tìm Q , biết: :Q .
 a4 2a2b2 b4 a2 b2
Bài 9: Tìm Q , biết:
 x y x2 2xy y2 x y 3x2 3xy
a) .Q . b) .Q 
 x3 y3 x2 xy y2 x3 y3 x2 xy y2
Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 10: Thực hiện các phép tính sau:
 m2 5m 6 m2 6m 9
 a) : 
 m2 7m 12 m2 4m u2 4uv 4v2 4u 8v
 b) : 
 2u2 2uv 2v2 6u3 6v3
Bài 11: Rút gọn các biểu thức 
 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 
a) : : b) : : 
 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 
 HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia phân thức: 
 15x x2 3x2 11x4 20x 4x3 25x2 y5
 : : : :15xy2
a) 3 2 b) 2 c) 2 d) 
 7y 2y 8y 4y 3y 5y 3x
 Lời giải
 15x x2 15x 2y2 30
 : . 
a) 7y3 2y2 7y3 x2 7xy
 3x2 11x4 3x2 4y2 3y
 : . 
b) 2 4 2 
 8y 4y 8y 11x 22x
 20x 4x3 20x 5y 25
 : . 
c) 2 2 3 2
 3y 5y 3y 4x 3x y
 25x2 y5 25x2 y5 1 5y3
 :15xy2 . 
d) 3x 3x 15xy2 9
Bài 2: Làm tính chia phân thức: 
 4x 12 3 x 3 7x 2 14x 4 y2 xy 5xy 15xy3
 : : x y : :
a) x 4 2 x 4 b) 3xy3 x2 y c) x y d) 2x 3 12 8x 
 Lời giải
 4x 12 3 x 3 4 x 3 x 4 4
 : . 
a) x 4 2 x 4 x 4 2 3 x 3 3 x 4 
 7x 2 14x 4 7x 2 x2 y x
 : . 
b) 3xy3 x2 y 3xy3 2 7x 2 6y2
 y2 xy x y x y x y
 x y : x y . x y . 
c) x y y2 xy y y x y
 5xy 15xy3 5xy 12 8x 5xy 4 3 2x 5xy 4 2x 3 4
 : . . . 
d) 2x 3 12 8x 2x 3 15xy3 2x 3 15xy3 2x 3 15xy3 3y2
Bài 3: Làm tính chia phân thức:
 2
 5x 10 2 2x 10 2 3x 6 4x 1
a) 2 : 2x 4 b) x 25 : c) 4x 16 : d) : 1 2x 
 x 7 3x 7 7x 2 x
 Lời giải 5x 10 5 x 2 1 5
a) : 2x 4 . 
 x2 7 x2 7 2 x 2 2 x2 7 
 2x 10 3x 7 3x 7 x 5 3x 7 
b) x2 25 : x 5 x 5 . x 5 x 5 . 
 3x 7 2x 10 2 x 5 2
 3x 6 7x 2 7x 2 4 x 2 7x 2 
c) 4x2 16 : 4 x2 4 . 4 x 2 x 2 . 
 7x 2 3 x 2 3 x 2 3
 4x2 1 2x 1 2x 1 1 2x 1 
d) : 1 2x . 
 x x 2x 1 x
Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)
 4 x 3 x2 3x 8xy 12xy3 1 9x2 6x 2
a) : b) : d) : 
 3x2 x 1 3x 3x 1 5 15x c) x2 4x 3x
 Lời giải
 4 x 3 x2 3x 4 x 3 3x 1 4
a) : . 
 3x2 x 1 3x x 3x 1 x x 3 x2
 8xy 12xy3 8xy 5 1 3x 8xy 5 3x 1 10
b) : . . 
 3x 1 5 15x 3x 1 12xy3 3x 1 12xy3 3y2
 3x 9 x 3 3 x 3 x 2 3
 : . 
c) x2 4 2 x x 2 x 2 x 3 x 2
 1 9x2 6x 2 1 3x 1 3x 3x 3 1 3x 
d) : . 
 x2 4x 3x x x 4 2 3x 1 2 x 4 
Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4)
 27 a3 a 3 b 4
a) : b) 2b2 32 :
 5a 10 3a 6 7b 2
 3x3 3 y3 8
c) : x2 x 1 d) : y2 2y 4 
 x 1 y 1
 4x 6y 4x2 12xy 9y2 x2 x 3x 3
e) : f) :
 x 1 1 x3 5x2 10x 5 5x 5
 Lời giải
 2 2
 27 a3 a 3 3 a 9 3a a 3 a 2 3 a 3a 9 
a) : . 
 5a 10 3a 6 5 a 2 a 3 5
 b 4 7b 2
b) 2b2 32 : 2 b2 16 . 2 b 4 7b 2 
 7b 2 b 4
 3 3 x3 1 3 x 1 x2 x 1
 3x 3 2 1 3 x 1 
c) : x x 1 . 2 
 x 1 x 1 x x 1 x 1 . x2 x 1 x 1