Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 1: Mở đầu về phương trình (Có đáp án)

 ĐS8-C3-CD1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
1. PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Ví dụ 1: Ta gọi các hệ thức:
• 2x 3 x 2 là một phương trình với ẩn số x.
• 3y 2 y là một phương trình với ẩn số y.
từ đó ta có được định nghĩa về phương trình một ẩn:
Một biểu thức x có dạng:
 A x B x 
trong đó vế trái A x và vế phải B x là hai biểu thức của cùng một biến x, gọi là phương trình một 
ẩn.
 Chú ý:
• Hệ thức x m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là 
 nghiệm duy nhất của nó.
• Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, , nhưng cũng có thể không có nghiệm nào 
 hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Hãy cho ví dụ về:
a) Phương trình với ẩn y.
b) Phương trình với ẩn u.
 Giải 
Ta lần lượt có:
▪ Phương trình với ẩn y là 3y 4 0 .
▪ Phương trình với ẩn u là 1 4u u 1
Ví dụ 3: Khi x 6, tính giá trị mỗi vế của phương trình: 2x 5 3 x 1 2
 Giải 
Với x 6 thì:
VT 2x 5 2.6 5 17; VP 3 x 1 2 3 6 1 2 17 .
 Nhận xét: Ta thấy hai vế của phương trình cùng nhận một giá trị khi x 6. Ta nói x 6 là một 
nghiệm của phương trình.
Ví dụ 4: Cho phương trình 2 x 1 7 3 x .
a. x 2 có thỏa mãn phương trình không?
b. x 2 có là một nghiệm của phương trình không?
 Giải a. Thay x 2 vào phương trình, ta được:
2 2 1 7 3 2 2 7 3 2 9 5, sai.
Vậy x 2 không thỏa mãn phương trình.
b. Thay x 2 vào phương trình, ta được:
2 2 1 7 3 2 6 7 3 2 1 1, sai.
Vậy x 2 không là nghiệm của phương trình.
2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường 
được kí hiệu bởi S.
Ví dụ 5: Hãy điền vào chỗ trống (...):
a. Phương trình x 2 có tập nghiệm là S = ....
b. Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S = ....
 Giải 
Ta lần lượt có:
▪ Phương trình x 2 có tập nghiệm là S 2.
▪ Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S  .
Khi bài toán yêu cầu giải một phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của 
phương trình đó.
3. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
Định nghĩa: Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.
Ví dụ 6: Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?
 x 2 0, (1)
 x 1 3. (2)
 Giải 
Giải phương trình (1), ta được:
x 2 S1 2 .
Giải phương trình (2), ta được:
x 2 S2 2 .
Vậy, ta thấy S1 S2 , do đó hai phương trình đã cho tương đương với nhau.
 Nhận xét:
 1. Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi 
 giải từng phương trình rồi thực hiện phép so sánh hai tập nghiệm, và ở đây vì S1 S2 nên chúng 
 ta kết luận “Hai phương trình tương đương”. 2. Nếu S1 S2  thì hai phương trình cũng tương đương, do đó “Hai phương trình vô nghiệm 
 cũng tương đương với nhau”.
Ví dụ 7: Hai phương trình sau có tương đương không? Vì sao?
 x 1 2, (1)
 x2 8x 15 0. (2)
 Giải 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Giải phương trình (1), ta được:
x 1 S1 1 .
Giải phương trình (1), ta được: 
x2 8x 15 0 x2 8x 16 1 0
 x 4 2 1 0 x 4 1 x 4 1 0
 x 5 x 3 0 x 5 hoặc x 3 S2 5,3
Vậy, ta thấy S1 S2 do đó hai phương trình không tương đương.
Cách 2: Giải phương trình (1), ta được:
x 1 S1 1
Thay x 1 vào phương trình (2), ta được:
12 8.1 15 0 8 0 , mâu thuẫn
tức là, x 1 không phải là nghiệm của (2).
Vậy, hai phương trình không tương đương.
 Nhận xét:
 1. Như vậy, để xét tính tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời giải trên chúng ta đi 
 giải phương trình (1) rồi nhận xét rằng x 1 không phải là nghiệm của phương trình (2), từ đó 
 kết luận “Hai phương trình tương đương”. Sở dĩ chúng ta lựa chọn hướng làm như vậy là bởi 
 việc giải phương trình (2) là khó khăn.
 2. Như vậy, để chứng tỏ hai phương trình không tương đương, ta có thể lựa chọn một trong hai 
 cách:
 Cách 1: Tìm tập hợp nghiệm của mỗi phương trình, rồi đưa ra nhận xét về hai tập hợp này.
 Cách 2: Chỉ ra một giá trị của ẩn là nghiệm của phương trình này nhưng không là nghiệm của 
 phương trình kia.
B. BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN
Dạng toán 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÍ DỤ 1: Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem x 1 có là nghiệm của nó không?
a. 4x 1 3x 2. b) x 1 2 x 3 . c) 2 x 1 3 2 x.  Hướng dẫn: Kiểm nghiệm bằng cách thay x 1 vào mỗi phương trình và khi đó:
• Nếu đẳng thức đúng thì kết luận x 1 là một nghiệm của phương trình.
• Nếu đẳng thức sai thì kết luận x 1 không là nghiệm của phương trình.
 Giải 
a. Thay x 1 vào phương trình ta được:
 4 1 1 3 1 2 5 5 (luôn đúng).
Vậy, ta thấy x 1 là một nghiệm của phương trình.
b. Thay x 1 vào phương trình ta được:
 1 1 2 1 3 0 8 (mâu thuẫn).
Vậy, ta thấy x 1 không phải là nghiệm của phương trình.
c. Thay x 1 vào phương trình ta được:
 2 1 1 3 2 1 3 3 (luôn đúng).
Vậy, ta thấy x 1 là một nghiệm của phương trình.
VÍ DỤ 2: Trong các giá trị t 1,t 0 và t 1, giá trị nào là nghiệm của phương trình? 
 t 2 2 3t 4
 Hướng dẫn: Thay lần lượt các giá trị t vào phương trình.
 Giải 
Ta lần lượt:
▪ Với t 1 thì phương trình có dạng:
 1 2 2 3 1 4 12 3 4 1 1, đúng.
 Vậy, ta thấy t 1 là một nghiệm của phương trình.
▪ Với t 0 thì phương trình có dạng:
 22 3.0 4 4 4 , đúng. 
 Vậy, ta thấy t 0 là một nghiệm của phương trình. 
▪ Với t 1 thì phương trình có dạng:
 1 2 2 3.1 4 32 3 4 9 7 , sai.
 Vậy, t 1 không là nghiệm của phương trình.
VÍ DỤ 3: Xét phương trình x 1 1 x . Ta thấy mọi số đều là nghiệm của nó. Người ta còn nói 
“Phương trình này nghiệm đúng với mọi x”. Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình đó.
 Hướng dẫn: Hãy nhớ chúng ta đang xét bài toán trên tập số nào?
 Giải 
Tập nghiệm của phương trình là S ¡ hoặc S x x ¡ .
VÍ DỤ 4: giải phương trình: x2 4 5  Hướng dẫn: Thực hiện phương pháp chuyển vế hoặc chuyển vế dạng tích.
 Giải 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình như sau:
x2 4 5 x2 9 32 x 3 hoặc x 3 .
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 3 và x 3 .
Cách 2: Biến đổi phương trình như sau:
x2 4 5 x2 9 0 x 3 x 3 0
 x 3 0
 x 3 hoặc x 3 .
 x 3 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 3 và x 3 .
 Nhận xét: Qua lời giải trên ta nhận thấy:
 1. Phương trình: 
 x2 a2 x a.
 2. Phương trình:
 A 0
 A.B 0 A 0 hoặc B 0 hoặc viết .
 B 0
VÍ DỤ 5: Tìm tập hợp nghiệm của các phương trình sau:
 1
a. x 2 x 2 x2 4 c. x .
 2
 1
b. 0. d. 2x 2 2x 3 
 x 1
 Hướng dẫn: Sử dụng các phép đánh giá khác nhau cho mỗi phương trình.
 Giải 
a. Biến đổi tương đương phương trình về dạng:
 x 2 x 2 x2 4 x2 4 x2 4 , luôn đúng với mọi x.
Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S ¡ .
b. Nhận xét rằng:
VT 0 , với mọi x 1
do đó phương trình vô nghiệm.
Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  .
c. Nhận xét rằng:
 1
VT x 0 , với mọi x; VP , luôn âm, do đó phương trình vô nghiệm.
 2
Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  .
d. Nhận xét rằng: VT 2x 2 2x 3 VP , do đó phương trình vô nghiệm.
Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S  .
 Nhận xét: Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy:
 1.Ở câu a), bằng việc đánh giá được VT VP với mọi x, chúng ta đã đưa ra kết luận “Phương 
 trình có tập hợp nghiệm S ¡ ”. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp do dù có được VT VP 
 nhưng lại không thể kết luận được như vậy, thí dụ:
 x 1 1
 x2 1 x 1
 Ta cũng có:
 x 1 x 1 1
 VT VP
 x2 1 x 1 x 1 x 1
 Và trong trường hợp này ta lại kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S ¡ \ 1;1”. – Các 
 em học sinh hãy thử lí giải vì sao?
 2.Ở câu b), bằng việc đánh giá được VT 0 với mọi x 1, chúng ta đã đưa ra kết luận “Phương 
 trình có tập hợp nghiệm S  ”.
 3.Ở câu c), bằng việc đánh giá được VT 0 và VP 0 với mọi x, chúng ta đã đưa ra kết luận 
 “Phương trình có tập hợp nghiệm S  ”.
 4.Ở câu d), bằng việc đánh giá được VT VP với mọi x, chúng ta đã đưa ra kết luận “Phương 
 trình có tập hợp nghiệm S  ”.
 5. Cả 4 câu a), b), c), d) đã cho chúng ta làm quen được với việc “Sử dụng phương pháp đánh giá 
 để giải phương trình”.
VÍ DỤ 6: Chứng minh rằng phương trình x x 0 nghiệm đúng với mọi x 0 .
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
 Giải
Nhận xét rằng, với x 0 ta luôn có:
x x
Do đó:
x x x x 0.
Vậy, phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 0 .
VÍ DỤ 7: Cho phương trình:
 mx 3 2m x 1.
Chứng tỏ rằng phương trình luôn nhận x 2 làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào.
 Giải
Với x 2 , ta được:
VT m.2 3 2m 3; VP 2m 2 1 2m 3, suy ra:
VT VP
Vậy, phương trình luôn nhận x 2 làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào.
VÍ DỤ 8: Cho phương trình:
 m2 3m 2 x2 m 1, với m là tham số.
Chứng minh rằng: 
a. Với m 1, phương trình nghiệm đúng với mọi x.
b. Với m 0 , phương trình vô nghiệm.
c. Với m 3 , phương trình nhận x 1 và x 1 làm nghiệm.
 Giải
a. Với m 1, phương trình có dạng:
 12 3.1 2 x2 1 1 0x2 0
do đó, phương trình có nghiệm đúng với mọi x.
b. Với m 0 , phương trình có dạng:
 02 3.0 2 x2 0 1 2x2 1
Nhận xét rằng: 
VT 0; VP 1 0
nên phương rình vô nghiệm.
c. Với m 3 , phương trình có dạng:
 32 3.3 2 x2 3 1 2x2 2 x2 1 x 1
do đó, phương trình nhận x 1 và x 1 làm nghiệm.
Dạng toán 2: HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
VÍ DỤ 1: Hai phương trình x 0 và x x 1 0 có tương đương không? Vì sao?
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hai phương trình tương đương.
 Giải
Hai phương trình đã cho không tương đương, bởi:
• Tập nghiệm của phương trình x 0 là S1 0.
• Tập nghiệm của phương trình x x 1 0 là S2 0;1.
Suy ra S1 S2 .
VÍ DỤ 2: Chứng tỏ rằng cặp phương trình sau là tương đương:
 x2 4
 0, (1) 
 x 2 x 2 0. (2)
 Giải
Nghiệm của phương trình (1) là các giá trị của x thỏa mãn:
 x2 4 0 x 2 x 2 0
 x 2 0
 x 2 0 x 2 0
đó chính là phương trình (2).
Vậy, hai phương trình đã cho tương đương.
 Nhận xét: Như vậy, trong lời giải trên để chứng tỏ hai phương trình tương đương với nhau chúng ta 
sử dụng cách biến đổi tương đương một phương trình về phương trình còn lại.
VÍ DỤ 3: Cho hai phương trình:
 x2 3x 2 0 (1)
 2x2 5x 3 0 (2)
a. Chứng minh rằng hai phương trình có nghiệm chung x 1.
b. Chứng minh rằng x 2 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
 3
c. Chứng minh rằng x là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của (1).
 2
d. Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau hay không? Vì sao?
 Giải
a. Với x 1, ta được:
 12 3.1 2 0 , do đó x 1 là nghiệm của (1).
 2.12 5.1 3 0, do đó x 1 là nghiệm của (2).
Vậy, hai phương trình có nghiệm chung x 1.
b. Với x 2 , ta được:
 22 3.2 2 0 , do đó x 2 là nghiệm của (1).
 2.22 5.2 3 1, do đó x 2 không là nghiệm của (2).
Vậy, x 2 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
c. Thực hiện tương tự câu b).
d. Ta có ngay kết luận hai phương trình không tương đương vì “ x 2 là nghiệm của (1) nhưng không 
là nghiêm của (2)”.
C.BÀI TẬP NÂNG CAO TỔNG HỢP
Ví dụ 1: Cho các phương trình
 5x2 3y 4 3x 8y ; 2,5x 10 0 và 4x2 6x 5x 108
 Trong các phương trình trên:
 a) Phương trình nào là phương trình một ẩn?
 b) Phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? c) Số nào trong tập S { 4;0;4} là nghiệm của phương trình một ẩn?
 Giải
a) Các phương trình 2,5x 10 0 và 4x2 6x 5x 108 là phương trình một ẩn.
b) Phương trình 2,5x 10 0 là phương trình bậc nhất một ẩn.
c) Lần lượt thay các giá trị x 4;0;4 vào từng phương trình một ẩn ta có:
 ⁕ Với x 4 thì 2,5.4 10 0
 nên x 4 là nghiệm của phương trình 2,5x 10 0
 ⁕ Với x 4 thì 4x2 6x 4.( 4)2 6.( 4) 64 24 88
 Và 5x 108 5.( 4) 108 88
 Vậy x 4 là nghiệm của phương trình 4x2 6x 5x 108
 Nhận xét: Muốn xem một số có phải là nghiệm của phương trình ta xét xem giá trị đó của ẩn thoả 
 mãn (hay nghiệm đúng) phương trình đã cho bằng cách thay vào từng vế của phương trình. Nếu hai 
 vế có cùng giá trị thì số đó là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Cho bốn phương trình:
 2x 6 0 (1)
 x2 2x 3 0 (2)
 (x 1)(x 5) 2x2 15x 47 (3)
 (5x 15)(x2 1) 0 (4)
 a) Chứng tỏ rằng x 3 là nghiệm chung của cả bốn phương trình.
 b) Chứng tỏ rằng x 1 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình 
 (1) và (3).
 c) Hai phương trình (1) và (2) có tương đương không. Tại sao?
 Giải
a) Với x 3
- Thay vào phương trình (1) ta có 2.3 6 6 6 0
- Thay vào phương trình (2) ta có 32 2.3 3 9 6 3 0
- Thay vào phương trình (3) ta có:
 Vế trái (3 1)(3 5) 2.32 2.8 2.9 16 18 2
 Vế phải 15.3 47 45 47 2
- Thay vào phương trình (4) ta có (5.3 15)(32 1) (15 15).10 0.10 0
 x 3 nghiệm đúng cả bốn phương trình nên là nghiệm chung của bốn phương trình.
b) Với x 1
- Thay vào phương trình (1) ta có 2.( 1) 6 2 6 8 0
- Thay vào phương trình (2) ta có: ( 1)2 2.( 1) 3 1 2 3 0 - Thay vào phương trình (3): (x 1)(x 5) 2x2 15x 47 ta có:
 Vế trái ( 1 1)( 1 5) 2.( 1)2 ( 2).4 2 10
 Vế phải 15.( 1) 47 15 47 62
 Vậy x 1 nghiệm đúng phương trình (2) nhưng không nghiệm đúng phương trình (1) và (3) nên là 
 nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3).
c) Hai phương trình (1) và (2) không tương đương vì không cùng tập nghiệm.
 Nhận xét: Ta thay các số đã cho vào từng vế của phương trình để xét xem các số đó có phải là các 
 nghiệm của phương trình. Từ đó xác định tập nghiệm của các phương trình.
b) x 1 là nghiệm của phương trình (2) vì thay vào làm 2 vế cùng có giá trị 0. 
 Nhưng không là nghiệm của phương trình (1) và (3) vì khi thay vào 2 phương trình làm hai vế có giá 
 trị khác nhau.
c) Tương tự cách 1.
Ví dụ 3: Cho phương trình với a là tham số: (a2 3a 10)x2 a 2 (1)
 Chứng minh rằng:
 a) Với a 2 phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
 b) Với a 5 phương trình (1) vô nghiệm.
 c) Với a 5 phương trình (1) tương đương với phương trình
 (a 5)x 2016 0 (2)
⁕ Tìm cách giải: Với mọi giá trị của ẩn x:
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị bằng nhau thì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị 
 của x(x) . Tập nghiệm là R.
- Nếu hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau thì phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm là 
 .
- Hai phương trình cùng vô nghiệm được coi là hai phương trình tương đương.
 Giải
a) Với a 2 phương trình (1) có dạng (22 3.2 10)x2 2 2
 hay 0x2 0 . Phương trình (1) nghiệm đúng x .
b) Với a 5 phương trình (1) có dạng (25 15 10)x2 5 2
 hay 0x2 7 . Phương trình vô nghiệm vì hai vế của phương trình luôn có giá trị khác nhau x . 
 Tập nghiệm của phương trình là  .
c) Với a 5 phương trình (2) trở thành 
 ( 5 5)x 2016 0 hay 0x 2016 0 . Phương trình này cũng vô nghiệm vì vế trái khác 0, x . 
 Tập nghiệm của phương trình là  cùng tập nghiệm với phương trình 0x2 7 . Do đó hai phương 
 trình 0x 2016 0 và 0x2 7 tương đương.