Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương III, Chủ đề 2: Phương trình tích (Có đáp án)

 CHƯƠNG 3.PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
 Chủ đề 2.PHƯƠNG TRèNH TÍCH
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Phương trỡnh tớch (một ẩn) là phương trỡnh cú dạng A (x).B (x)... = 0. (1)
Trong đú A (x),B (x),... là cỏc đa thức.
Để giải (1), ta chi cần giải từng phương trỡnh A (x) = 0,B (x) = 0,... rồi lấy tất cả cỏc nghiệm của 
chỳng.
Cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử cú vai trũ quan trọng trong việc đưa phương 
trỡnh về dạng phương trỡnh tớch. Cỏch đặt ẩn phụ cũng hay được sử dụng để trỡnh bày cho lời giải 
gọn gàng hơn.
II.BÀI TẬP 
A.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Vận dụng cỏc phương phỏp phõn tớch thành nhõn tử và cỏch giải phương trỡnh tớch đưa phương 
trỡnh đó cho về cỏc phương trỡnh bậc nhất đó biết cỏch giải.
Vớ dụ 1.Giải phương trỡnh: y(y- 16)- 297 = 0 .
Vớ dụ 2.Giải phương trỡnh:(2x - 3)(4- x)(x + 3)= 0 .
Vớ dụ 3.Giải phương trỡnh:(4x2 - 9)(x2 - 25)= 0.
Vớ dụ 4. Giải cỏc phương trỡnh sau:
Vớ dụ 5. Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. x 2 - 7x + 6 = 0;
b. x 2 + 6x + 5 = 0 .
Vớ dụ 6. Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. 4x 2 + 4x + 1 = x 2 ;
b. 4x 2 - 1 = (2x + 1)(3x - 5).
Vớ dụ 7. Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. (x 2 + 2x + 1)- 9 = 0 ;
b. x 3 - 7x 2 = 3x 2 - 12x . Vớ dụ 8. Giải cỏc phương trỡnh sau:
 2 2
a. (2x - 5) = (x + 2) ;
 2
b. (x + 1) = 4(x 2 - 2x + 1).
Vớ dụ 9. Giải cỏc phương trỡnh sau:
 2
a. (x 2 - 5x) + 10(x 2 - 5x)+ 24 = 0;
b. x (x + 1)(x 2 + x + 1) = 42.
 2 2
Vớ dụ 10.Giải phương trỡnh: (2x + 5) = (x + 3)
Vớ dụ 11.Giải phương trỡnh:(x4 - 16)(x3 - 1)(x + 3)= 0.
 LỜI GIẢI VÍ DỤ
Vớ dụ 1.Giải phương trỡnh: y(y- 16)- 297 = 0 .
Lời giải. Ta cú
 y(y- 16)- 297 = 0
 Û y2 - 16y- 297 = 0
 Û y2 - 27y + 11y- 297 = 0
 Û y(y- 27)+ 11(y- 27)= 0
 ộy- 27 = 0
 Û y- 27 y + 11 = 0 Û ờ
 ( )( ) ờ
 ởy + 11= 0
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm y=27 và y= -11.
Vớ dụ 2.Giải phương trỡnh:(2x - 3)(4- x)(x + 3)= 0 .
Lời giải. 
Nghiệm số của phương trỡnh đó cho là nghiệm số của:
 3
(2x - 3)= 0 ị x = ;
 2
Hoặc 4- x = 0 ị x = 4;
Hoặc x + 3 = 0 ị x = - 3 . 3
Vậy phương trỡnh cú ba nghiệm x = , x = 4 và x = - 3 .
 2
Vớ dụ 3.Giải phương trỡnh:(4x2 - 9)(x2 - 25)= 0.
Lời giải. 
Ta cú thể viết:
 4x2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3),
 x2 - 25 = (x + 5)(x - 5).
Do đú:(2x - 3)(2x + 3)(x + 5)(x - 5)= 0 .
 3
Từ đú: x = ± và x = ± 5 .
 2
Vớ dụ 4. Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. 0, 5x (x - 3) = (x - 3)(2, 5x - 4);
 3 1
b. x - 1 = x (3x - 7).
 7 7
Lời giải
a. 0, 5x (x - 3) = (x - 3)(2, 5x - 4).
Phương trỡnh đó cho tương đương với
(x - 3)(2, 5x - 4)- 0, 5x (x - 3) = 0 .
 Û (x - 3)(2, 5x - 4 - 0, 5x) = 0 Û (x - 3)(2x - 4) = 0.
Hoặc x - 3 = 0 , hoặc 2x - 4 = 0. Từ đú ta tỡm được x = 3 hoặc x = 2.
Vậy nghiệm của phương trỡnh ban đầu là x = 3 và x = 2.
 3 1
b. x - 1 = x (3x - 7).
 7 7
Phương trỡnh đó cho tương đương với
 1 1
 x (3x - 7)- (3x - 7) = 0
 7 7
 ổ ử
 ỗ1 ữ
 Û (3x - 7)ỗ x - 1ữ= 0.
 ốỗ7 ứữ 1 7
Hoặc 3x - 7 = 0 , hoặc x - 1 = 0 . Từ đú ta tỡm được x = hoặc x = 7 .
 7 3
 7
Vậy nghiệm của phương trỡnh ban đầu là x = và x = 7 .
 3
Vớ dụ 5. Giải cỏc phương trỡnh sau:
a.x 2 - 7x + 6 = 0;
b.x 2 + 6x + 5 = 0 .
Lời giải
a. Phương trỡnh đó cho tương đương với
 x 2 - x - 6x + 6 = 0, hay x (x - 1)- 6(x - 1) = 0 .
Tức là (x - 1)(x - 6) = 0. Từ đú ta tỡm được x = 1 hoặc x = 6.
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 1 hoặc x = 6.
b. Phương trỡnh đó cho tương đương với
 x 2 + x + 5x + 5 = 0 , hay x (x + 1)+ 5(x + 1) = 0 .
Tức là (x + 1)(x + 5) = 0. Từ đú ta tỡm được x = - 1 hoặc x = - 5.
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = - 1 hoặc x = - 5.
Vớ dụ 6. Giải cỏc phương trỡnh sau:
a. 4x 2 + 4x + 1 = x 2 ;
b. 4x 2 - 1 = (2x + 1)(3x - 5).
Lời giải
a. Phương trỡnh đó cho tương đương với
 2 2
(2x + 1) = x 2 , hay (2x + 1) - x 2 = 0.
 1
Tức là (x + 1)(3x + 1) = 0 . Từ đú ta tỡm được x = - 1 hoặc x = - .
 3
 1
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = - 1 và x = - .
 3
b. Phương trỡnh đó cho tương đương với
(2x - 1)(2x + 1) = (2x + 1)(3x - 5), hay (2x + 1)(3x - 5- 2x + 1) = 0 . 1
Tức là (2x + 1)(x - 4) = 0. Từ đú ta tỡm được x = 4 hoặc x = - .
 2
 1
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 4 và x = - .
 2
Vớ dụ 7. Giải cỏc phương trỡnh sau:
a.(x 2 + 2x + 1)- 9 = 0 ;
b.x 3 - 7x 2 = 3x 2 - 12x .
Lời giải
a. Xột phương trỡnh (x 2 + 2x + 1)- 9 = 0 .
 2
Phương trỡnh đó cho tương đương với (x + 1) - 9 = 0, hay (x + 1- 3)(x + 1+ 3) = 0, tức là 
(x - 2)(x + 4) = 0.
Từ đú ta tỡm được x = 2, hoặc x = - 4.
Vậy nghiệm của phương trỡnh ban đầu là x = 2và x = - 4.
b. Xột phương trỡnh x 3 - 7x 2 = 3x 2 - 12x .
Phương trỡnh đó cho tương đương với
 x 3 - 7x 2 - 3x 2 + 12x = 0
 Û x (x 2 - 10x + 12) = 0 hay x (x - 4)(x - 3) = 0.
Từ đú ta tỡm được x = 0 hoặc x = 3 hoặc x = 4.
Vậy nghiệm của phương trỡnh ban đầu là x = 0,x = 3 và x = 4.
Vớ dụ 8. Giải cỏc phương trỡnh sau:
 2 2
a.(2x - 5) = (x + 2) ;
 2
b.(x + 1) = 4(x 2 - 2x + 1).
Lời giải
a. Phương trỡnh đó chụ tương đương với
 2 2
(2x - 5) - (x + 2) = 0 , hay (2x - 5- x - 2)(2x - 5 + x + 2) = 0 .
Tức là (x - 7)(3x - 3) = 0. Từ đú ta tỡm được x = 1 hoặc x = 7 .
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 1 và x = 7 . b. Phương trỡnh đó cho tương đương với
 2 2
(2(x - 1)) - (x + 1) = 0 , hay (2x - 2 + x + 1)(2x - 2- x - 1) = 0.
 1
Tức là (3x - 1)(x - 3) = 0 . Từ đú ta tỡm được x = 3 hoặc x = .
 3
 1
Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 3 và x = .
 3
Chỳ ý: với hai phương trỡnh này cú thể giải bằng cỏch chuyển về phương trỡnh cú chứa dấu giỏ trị 
tuyệt đối (sẽ trỡnh bày ở cuối chương). Chẳng hạn như:
 2 2
Phương trỡnh (2x - 5) = (x + 2) cú thể đưa về dạng 2x - 5 = x + 2 .
Vớ dụ 9. Giải cỏc phương trỡnh sau:
 2
a.(x 2 - 5x) + 10(x 2 - 5x)+ 24 = 0;
b.x (x + 1)(x 2 + x + 1) = 42.
Lời giải
a. Đặt t = (x 2 - 5x) phương tỡnh trở thành
t 2 + 10t + 24 = 0 Û (t + 4)(t + 6) = 0 Û t = - 4;t = - 6 .
Với t = - 4, ta cú phương trỡnh x 2 - 5x = - 4 Û x 2 - 5x + 4 = 0 .
Phương trỡnh cú hai nghiệm x = 1;x = 4 .
Với t = - 6, ta cú phương trỡnh x 2 - 5x = - 6 Û x 2 - 5x + 6 = 0.
Phương trỡnh cú hai nghiệm x = 2;x = 3.
Vậy phương trỡnh đó cho cú bốn nghiệm x = 1;x = 4;x = 2;x = 3.
b. Xột phương trỡnh x (x + 1)(x 2 + x + 1) = 42.
Phương trỡnh đó cho cú thể viết thành (x 2 + x)(x 2 + x + 1) = 42 .
Đặt t = x 2 + x , ta được phương trỡnh
t (t + 1) = 42 Û t 2 + t - 42 = 0 Û (t - 6)(t + 7) = 0 Û t = 6;t = - 7 .
Với t = 6, ta cú phương trỡnh x 2 + x = 6 Û x 2 + x - 6 = 0.
Phương trỡnh cú hai nghiệm x = 2;x = - 3. Với t = - 7 , ta cú phương trỡnh x 2 + x = - 7 Û x 2 + x + 7 = 0 .
 ổ ử2
 2 ỗ 1ữ 27
Phương trỡnh này vụ nghiệm do x + x + 7 = ỗx + ữ + > 0 .
 ốỗ 2ứữ 4
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x = 2;x = - 3.
 2 2
Vớ dụ 10.Giải phương trỡnh: (2x + 5) = (x + 3)
 2 2
Lời giải. Chuyển cỏc số hàng về vế trỏi:(2x + 5) - (x + 3) = 0 .
Áp dụng hằng đẳng thức đỏng nhớ: a2 - b2 = (a + b)(a- b) ta được:
 ộ2x + 5 + x + 3 ựộ2x + 5 - x + 3 ự= 0
 ởờ( ) ( )ỷỳởờ( ) ( )ỷỳ ,
Hay(3x + 8)(x + 2)= 0 .
Phương trỡnh tớch này cho ta:
 8
 x = - và x = - 2 .
 3 
Vớ dụ 11.Giải phương trỡnh:(x4 - 16)(x3 - 1)(x + 3)= 0.
Lời giải. Để ý rằng:
 2 2
 x4 - 16 = (x2 ) - (4) = (x2 - 4)(x2 + 4)= (x - 2)(x + 2)(x2 + 4),
(x3 - 1)= (x - 1)(x2 + x + 1)
Phương trỡnh đó cho trở thành:
(x - 2)(x + 2)(x2 + 4)(x - 1)(x2 + x + 1)(x + 3)= 0
 2
 ổ 1ử 3
Vỡ x2 + 4 và x2 + x + 1 = ỗx + ữ + là hai số dương, nờn ta cú thể viết:
 ốỗ 2ứữ 4
(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 3)= 0
Phương trỡnh tớch này cho ta: x = ± 2 ; x = 1 và x = - 3 .
B.DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO
Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh: 2x2 x 6 3 2x2 x 3 9 0 . Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh:
 x 2 x 3 x 5 x 6 31 x2 8x 12 128 (1)
Vớ dụ 3. Giải cỏc phương trỡnh:
 a) 3y3 7y2 7y 3 0 (1)
 b) 2y4 9y3 14y2 9y 2 0 (2)
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh 4x 7 4x 5 x 1 2x 1 9 .
Vớ dụ 5. Giải cỏc phương trỡnh:
 3 3 3
 a) 4x 3 2x 5 2x 8 
 3 3 3
 b) 3x 2016 3x 2019 6x 3 
 3 3
 c) 2x 7 9 2x 152
 LỜI GIẢI DẠNG NÂNG CAO
Vớ dụ 1. Giải phương trỡnh: 2x2 x 6 3 2x2 x 3 9 0 .
 Giải
 Đặt 2x2 x 6 y thỡ 2x2 x 3 y 3 phương trỡnh trở thành
 y 0 2x2 x 6 0
 y2 3 y 3 9 0 y y 3 0 
 2
 y 3 0 2x x 3 0
 2x 3 x 2 0 * 
 2x 3 x 1 0 ** 
 Từ * x 1,5; x 2 
 Từ ** x 1,5; x 1.
 Tập nghiệm của phương trỡnh là S 2; 1,5;1;1,5 .
Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh: x 2 x 3 x 5 x 6 31 x2 8x 12 128 (1)
 Giải
 x 2 x 3 x 5 x 6 31 x2 8x 12 128
 x2 8x 12 x2 8x 15 31 x2 8x 12 128 2 
 Đặt x2 8x 12 y thỡ x2 8x 15 y 3
 Khi ấy phương trỡnh (2) trở thành y y 3 31y 128
 y2 3y 31y 128 0 y2 4y 32y 128 0
 y 4 0
 y y 4 32 y 4 0 y 4 y 32 0 
 y 32 0
 2
 Với y 4 0 x2 8x 16 0 x 4 0 x 4
 Với y 32 0 x2 8x 20 0 x2 10x 2x 20 0
 x 10 x 2 0 x 10 hoặc x 2
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 2;4;10
Vớ dụ 3. Giải cỏc phương trỡnh:
 c) 3y3 7y2 7y 3 0 (1)
 d) 2y4 9y3 14y2 9y 2 0 (2)
 Giải
 a) 1 3y3 3y2 10y2 10y 3y 3 0
 3y2 y 1 10y y 1 3 y 1 0
 y 1 3y2 10y 3 0 y 1 3y 1 y 3 0 y 1
 y 1 0 
 1 1 
 3y 1 0 y .Vậy tập nghiờm của (8) là S 1; ;3
 3 3
 
 y 3 0 
 y 3
 b) Với y = 0 từ (2) ta cú VT 2 0 nờn y = 0 khụng là nghiệm của (2)
 Do y = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh y 0 . Do đú chia hai vế của phương 
 1 1 
 2 y2 y 
trỡnh cho y ta cú 2 2 2 9 14 0
 y y 
 1 1
Đặt t y thỡ t2 2 y2 . Do đú ta cú 2 t2 2 9t 14 0
 y y2 
 2t2 9t 10 0 2t2 5t 4t 10 0 t 2 2t 5 0
 y 1
 2
 2 
 t 2 0 y 2y 1 0 y 1 0 y 2
 2 
 2t 5 0 2y 2 5y 0 y 2 2y 1 0 1
 y 
 2
 1 
 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh (2) là S ;1;2
 2 
 1
 Nhận xột: Trong phương trỡnh đối xứng, nếu a là nghiệm thỡ cũng là nghiệm, 
 a
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh 4x 7 4x 5 x 1 2x 1 9 .
 Giải
 Ta cú: 4x 7 4x 5 x 1 2x 1 9
 4x 7 4x 5 4x 4 4x 2 72
 16x2 36x 14 16x2 36x 20 72
Đặt 16x2 36x 17 y , ta cú:
 y 3 y 3 72 y2 9 72 y2 81 y 9