Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 5: Bất phương trình đưa về dạng bậc nhất (Có đáp án)

 ĐS8-C4-CD 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG BẬC NHẤT
A. BÀI GIẢNG
Ta thực hiện các bước:
Bước 1: Bằng việc sử dụng phép toán bỏ dấu ngoặc hay quy đồng mẫu để biến đổi bất phương 
trình ban đầu về dạng:
 ax b 0 hoặc ax b
Bước 2: Giải bất phương trình nhận được, từ đó kết luận.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ BÀI MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các bất phương tình sau và hãy biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số:
 a. 1,2x 6 b. 3x 4 2x 3
Hướng dẫn: Sử dụng các quy tắc biến đổi cho bất phương trình.
Giải
a. Ta có
 6
1,2x 6 x x 5
 1,2
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x 5 và ta có biểu 
diễn.
b. Ta có:
 3x 4 2x 3 3x 2x 3 4 x 1
Vậy, nghiệm của bất phương tình là x 1 và ta có biểu 
diễn.
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
 a. 2x 1 5 b. 3x 2 4
 c. 2 5x 17 d. 3 4x 19
Giải
a. Ta có biến đổi:
 2x 1 5 2x 5 1 2x 6 x 3
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 3 .
b. Ta có biến đổi:
 3x 2 4 3x 4 2 3x 6 x 2
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 2
c. Ta có biến đổi:
 2 5x 17 2 17 5x 5x 15 x 3
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 3
d. Ta có biến đổi: 3 4x 19 3 19 4x 4x 16 x 4
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 4 .
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:
 2 5 1 1
 a. x 6 b. - x 20 c. 3 x 2 d. 5 x 2
 3 6 4 3
Hướng dẫn: Thực hiện phép nhân chéo để nhân được bất phương trình đơn giản hơn.
Giải
a. Ta có biến đổi:
 2
 x 6 2x 18 x 9
 3
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 9 .
b. Ta có biến đổi:
 5
 x 20 5x 120 x 24
 6
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 24
c. Ta có biến đổi:
 1
 3 x 2 12 x 8 12 8 x x 4
 4
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 4
d. Ta có biến đổi:
 1
 5 x 2 15 x 6 15 6 x x 9
 3
Vậy, nghiệm của bất phương trình làx 9 .
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình:
 a. 8x 3(x 11) 5x (2x 6) b. 2x(6x 1) (3x 2)(4x 3)
Giải
a. Ta có:
 8x 3(x 11) 5x (2x 6)
 27
 11x 33 3x 6 8x 27 x 
 8
 27
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x .
 8
b. Ta có:
 2x(6x 1) (3x 2)(4x 3)
 12x2 2x 12x2 x 6 3x 6 x 2
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 2 .
Ví dụ 5. Giải bất phương trình: 3(2x 1) (5x 3) x
Hướng dẫn: Sử dụng các quy tắc biến đổi cho bất phương trình.
Giải
Biến đổi phương trình về dạng:
 6x 3 5x 3 x 6x 5x x 3 3 2x 6 x 3
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 3 .
Ví dụ 6. Giải bất phương trình:
 x 3 x 3
 3 x 
 12 8
Giải
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:
Cách 1: Nhân hai vế của bất phương trình với 24, được:
 72 2(x 3) 24x 3(x 3) 72 2x 6 24x 3x 9
 2x 24x 3x 9 72 6 23x 69 x 3
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 3 .
Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:
 x 3 x 3 1 1
 x 3 0 (x 3)( 1 ) 0
 8 12 8 12
 x 3 0 x 3
Vậy, bất phương trình có nghiệm x 3 .
Nhận xét: Trong lời giải của cách 2, ta không máy móc quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu 
thức, bởi xuất phát từ nhận xét về nhân tử chung x 3 , điều này sẽ giúp giảm đáng kể độ phức tạp 
trong lời giải.
Ví dụ 7. Giải các bất phương trình sau:
 15 6x 8 11x
 a. 5 b. 13
 3 4
 1 x 4 2 x 3 2x
 c. (x 1) d. 
 4 6 3 5
Hướng dẫn: Thực hiện phép nhân chéo để nhận được bất phương trình đơn giản hơn.
Giải
a. Ta có biến đổi:
 15 6x
 5 15 6x 15 15 15 6x 6x 0 x 0
 3
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 0 .
b. Ta có biến đổi:
 8 11x
 13 8 11x 52 8 52 11x x 4
 4 Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 4
c. Ta có biến đổi:
 1 x 4
 (x 1) 3(x 1) 2(x 4) 3x 3 2x 8
 4 6
 3x 2x 3 8 x 5
Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 5
d. Ta có biến đổi:
 2 x 3 2x
 5(2 x) 3(3 2x) 10 5x 9 6x
 3 5
 6x 5x 9 10 x 1
Vậy, nghiệm của bất phương trình làx 1 .
Ví dụ 8. Cho biểu thức:
 x 1 x 2
 A .
 6 2
Tìm các giá trị của x sao cho giá trị A lớn hơn -1 nhưng nhỏ hơn 1. Biểu diễn trên trục số các giá trị 
tìm được của x.
Hướng dẫn: Ta đi đơn giản A rồi thiết lập các bất phương tình tương ứng. Việc tìm x là giao của hai 
tập hợp các em học sinh hãy sử dụng trục số để trực quan.
Giải
Trước tiên ta đi rút gọn biểu thức A:
 x 1 x 2 x 1 3(x 2) x 1 3x 6 7 2x
 A 
 6 2 6 6 6
▪ Để A 1 điều kiện là:
 7 2x 13
 1 7 2x 6 2x 6 7 x 
 6 2
▪ Để A 1 điều kiện là:
 7 2x 1
 1 7 2x 6 2x 6 7 x .
 6 2
 1 13
Vậy, để có được 1 A 1 điều kiện là x và ta có biểu diễn:
 2 2
Cách biểu diễn trên trục được thực hiện như sau:
 1 13
1. Xác định vị trí của các điểm và 
 2 2
 1 13
2. Giữ nguyên đoạn thẳng từ điểm đến điểm .
 2 2 1 13
3. Gạch chéo phần còn lại, gạch cả điểm và .
 2 2
Ví dụ 9. Trong cuộc thi bắn súng, mỗi xạ thủ được bắn 10 phát. Mỗi lần trúng đích được 5 điểm, 
mỗi lần trượt bị trừ 1 điểm. Xạ thủ nào đạt được 30 điểm trở lên thì được thưởng. Hỏi xạ thủ phải 
bắn trúng đích bao nhiêu lần thì được thưởng?
Giải
Gọi số lần bắn trúng đích là x, điều kiện x N, 0 x 10 (*)
Theo giả thiết:
▪ Mỗi hạ thủ được bắn 10 phát nên số lần bắn trượt là 10 ,x khi đó tổng số điểm đạt được là 
 5x (10 x) .
▪ Muốn được thưởng, tổng số điểm phải đạt từ 30 điểm trở lên, do đó:
 20
 5x (10 x) 30 5x 10 x 30 6x 40 x 
 3
Kết hợp với điều kiện (*), ta được:
 20
 x N, x 10 x 7, x 8, x 9, x 10 .
 3
Vậy, để nhận được thưởng thì số lần bắn trúng đích phải là 7 lần, hoặc 8 lần, hoặc 9 lần, hoặc 10 
lần.
C.DẠNG BÀI NÂNG CAO
Bài 1: Giải bất phương trình
 a) x 5 x 8 0
 b) 2x 3 2 x 0
 c)2x2 x 6 0
 d) x 1 x2 x 1 x2 x 0
Bài 2: Giải bất phương trình
 2x(3x 5)
 a) 0
 x2 1
 x x 2
 b) 2
 x 2 x
 4x 3
 c) 3
 2x 5
Bài 3: Giải bất phương trình
 x 1 x 4 x 5
 a) 3
 99 96 95
 x 5 x 4 x 3 x 2
 b) 4
 27 28 29 30 x 1 x 2 x 3 x 100
 c) ... 100
 2019 2018 2017 1920
Bài 4: Giải bất phương trình
 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10
 a) 
 95 94 93 92 91 90
 x 5 x 7 x 9 x 17 x 18 x 19
 b) 
 921 919 917 909 908 907
Bài 5:Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d,e ta có
 a) a2 b2 c2 ab bc ca
 b) a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e 
Bài 6: Cho a, b,c, d là các số thực. Chứng minh rằng
 2 2 2 2 2
 a2 b2 a b a b c a b c 
 a) b) 
 2 2 3 3 
 a2
Bài 7: Cho a.b.c=1, a3 36 , CMR : b2 c2 ab bc ca
 3
Bài 8:Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a3 b3 a5 b5 , Chứng minh rằng: a2 b2 1 ab
 a b c 3
Bài 9: Cho a,b,c > 0, CMR : 
 b c c a a b 2
 a b 1 3
Bài 10: Cho a,b > 0, CMR : 
 b 1 a 1 a b 2
LỜI GIẢI DẠNG NÂNG CAO
 a) x 5 x 8 0
 b) 2x 3 2 x 0
 c)2x2 x 6 0
 d) x 1 x2 x 1 x2 x 0
Lời giải
 a) x 5 x 8 0
 x 5 0 x 5
 x 8 0 x 8
 5 x 8
 x 5 0 x 5
 x 8 0 x 8
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S={x/-5<x<8} b) 2x 3 2 x 0
 3
 x 
 2x 3 0 2
 2 x 0 x 2 3
 x 2
 2x 3 0 3 2
 x 
 2 x 0 2
 x 2
 3
Vậy x 2
 2
 c)2x2 x 6 0
 (x 2)(3x 2) 0
 x 2
 x 2 0 2
 x x 2
 3x 2 0 
 3 
 2
 x 2 0 x 2 x 
 3
 3x 2 0 2
 x 
 3
 x 2
Vậy 2
 x 
 3
 d) x 1 x2 x 1 x2 x 0
 x 1 x2 x 1 x(x 1) 0
 x 1 x2 x 1 x 0
 x 1 x 1 2 0
 x 1 0
 x 1
Vậy x 1
Bài 2: Giải bất phương trình
 2x(3x 5)
 a) 0
 x2 1
 x x 2
 b) 2
 x 2 x
 4x 3
 c) 3
 2x 5
Lời giải x 0
 x 0 5
 x 5
 3x 5 0 
 2x(3x 5) 3 x 
 a) 2 0 2x 3x 5 0 3
 x 1 x 0 x 0 
 x 0
 3x 5 0 5
 x 
 3
 5
 x 
Vậy 3
 x 0
 2
 x x 2 x2 x 2 2x x 2 
 b) 2 0
 x 2 x x(x 2) x(x 2) x x 2 
 x2 x2 4x 4 2x2 4x 4
 0 0 x x 2 0
 x x 2 x x 2 
 x 0 x 0
 x 2 0 x 2 x 2
 x 0 x 0 x 0
 x 2 0 x 2
 x 2
Vậy 
 x 0
 4x 3 4x 3 4x 3 6x 15 10x 12
 c) 3 3 0 0 0
 2x 5 2x 5 2x 5 2x 5 2x 5
 6
 x 
 5
 10x 12 0 
 5 5
 x x 
 2x 5 0 2 2
 10x 12 0 6 6
 x x 
 2x 5 0 5 5
 5
 x 
 2
 5
 x 
 2
Vậy 
 6
 x 
 5
Bài 3: Giải bất phương trình
 x 1 x 4 x 5
 a) 3
 99 96 95
 x 5 x 4 x 3 x 2
 b) 4
 27 28 29 30
 x 1 x 2 x 3 x 100
 c) ... 100
 2019 2018 2017 1920 Lời giải:
 x 1 x 4 x 5
 a) 3
 99 96 95
 x 100 x 100 x 100
 0
 99 96 95
 1 1 1 
 x 100 0
 99 96 95 
 x 100 0 x 10
Vậy x 10
 x 5 x 4 x 3 x 2
 b) 4
 27 28 29 30
 x 32 x 32 x 32 x 32
 0
 27 28 29 30
 1 1 1 1 
 x 32 0
 27 28 29 30 
 x 32 0 x 32
Vậy x<32
 x 1 x 2 x 3 x 100
 c) ... 100
 2019 2018 2017 1920
 x 2020 x 2020 x 2020
 ... 0
 2019 2018 1920
 1 1 1 
 x 2020 ... 0
 2019 2018 1920 
 x 2020 0 x 2020
Vậy x>-2020
Bài 4: Giải bất phương trình
 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10
 a) 
 95 94 93 92 91 90
 x 5 x 7 x 9 x 17 x 18 x 19
 b) 
 921 919 917 909 908 907
Lời giải
 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10
 a) 
 95 94 93 92 91 90
 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
 0
 95 94 93 92 91 90
 1 1 1 1 1 1 
 x 100 0 (1)
 95 92 94 91 93 90 
Ta có 1 1 1 1
 0
 95 92 95 92
 1 1 1 1
 0
 94 91 94 91
 1 1 1 1
 0
 93 90 93 90
 1 1 1 1 1 1
 0
 95 92 94 91 93 90
 (1) x 100 0 x 100
Vậy x 100
 x 5 x 7 x 9 x 17 x 18 x 19
b) 
 921 919 917 909 908 907
 x 926 x 926 x 926 x 926 x 18 x 19
 0
 921 919 917 909 908 907
 1 1 1 1 1 1 
 x 926 0 (1)
 921 909 919 908 917 907 
Ta có
 1 1 1 1
 0
 921 909 921 909
 1 1 1 1
 0
 919 908 919 908
 1 1 1 1
 0
 917 907 917 907
 1 1 1 1 1 1
 0
 921 909 919 908 917 907
 (1) x 926 0 x 926
Vậy x>926
Bài 5:Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d,e ta có
 a) a2 b2 c2 ab bc ca
b) a2 b2 c2 d 2 e2 a b c d e 
Lời giải
a) Ta có
 a2 b2 c2 ab bc ca
 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca
 a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca c2 0
 a b 2 b c 2 c a 2 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a,b,c nên a2 b2 c2 ab bc ca luôn đúng
Đẳng thức sảy ra khi a-b =b-c =c-a =0 hay a=b=c