Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (Có đáp án)

 ĐS8-C4-CD6. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. BÀI GIẢNG
1. NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Với số a, ta cĩ:
 a nÕu a 0
a 
 a nÕu a 0
Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng cĩ:
 f (x) nÕu f (x) 0
 f (x) 
 f (x) nÕu f (x) 0
Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức:
 a. C 3x 7x 4 khi x 0
 b. D 5 4x x 6 khi x 6
 Giải
a. Với x 0 thì 3x 0 nên ta nhận được:
 C 3x 7x 4 4x 4
b. Với x 6 thì x 6 0 nên ta nhận được:
 D 5 4x x 6 11 5x .
2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt 
đối, bao gồm:
 Dạng 1: Phương trình:
 f (x) k , với k là hằng số khơng âm.
 Dạng 2: Phương trình:
 f (x) g(x)
 Dạng 3: Phương trình:
 f (x) g(x)
Ví dụ 2. Giải các phương trình:
 a. x 5 3x 1 b. 5x 2x 21
 Giải
a. Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ:
 x 5 khi x 5
 x 5 .
 x 5 khi x 5
Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x 5 phương trình cĩ dạng:
 x 5 3x 1 3x x 5 1 2x 4 x 2 , thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 5 phương trình cĩ dạng:
 3
 x 5 3x 1 3x x 5 1 4x 6 x , khơng thỏa mãn điều kiện.
 2
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x 2 .
Cách 2: Với điều kiện:
 1
 3x 1 0 x 
 3
Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 x 2
 x 5 3x 1 2x 4 
 3
 x 5 (3x 1) 4x 6 x (lo¹i)
 2
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x 2 .
b. Viết lại phương trình dưới dạng:
5x 2x 21
Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ:
 5x khi x 0
 5x .
 5x khi x 0
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 5x 2x 21 3x 21 x 7 , thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 5x 2x 21 7x 21 x 3, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x 7 và x 3.
Cách 2: Với điều kiện:
 21
 2x 21 0 x (*)
 2
Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 5x 2x 21 3x 21 x 7
 , thỏa mãn (*)
 5x (2x 21) 7x 21 x 3
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x 7 và x 3.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Dạng tốn 1: PHÁ DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức: a. A 3x 2 5x trong hai trường hợp x 0 và x 0 .
 b. B 4x 2x 12 trong hai trường hợp x 0 và x 0 .
 c. C x 4 2x 12 khi x 5.
 d. D 3x 2 x 5
 Giải
a. Ta cĩ: 
 5x khi x 0 
 5x 
 5x khi x 0
Do đĩ: 
 3x 2 5x khi x 0 8x 2 khi x 0
 A 
 3x 2 5x khi x 0 2x 2 khi x 0
b. Ta cĩ: 
 4x khi x 0 
 4x 
 4x khi x 0
Do đĩ: 
 4x 2x 12 khi x 0 6x 12 khi x 0
 B 
 4x 2x 12 khi x 0 2x 12 khi x 0
c. Ta cĩ: 
 x 4 x 4 khi x 5
Do đĩ: 
 C x 4 2x 12 x 8
d. Ta cĩ: 
 x 5 khi x 5 
 x 5 
 x 5 khi x 5
Do đĩ: 
 3x 2 x 5 khi x 5 4x 7 khi x 5
 D 
 3x 2 x 5 khi x 5 2x 3 khi x 5
Ví dụ 2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:
 a. A x 2 3x 2 khi x 2
 b. B x 3 3 2x x 8 khi x 3
 Giải
a. Với giả thiết x 2 , ta suy ra:
 x 2 0 x 2 x 2
Do đĩ, A được viết lại: A x 2 3x 2 4x 4
b. Với giả thiết x 3, ta suy ra:
 x 3 0 x 3 x 3
 3 2x 0 3 2x (3 2x)
Do đĩ, B được viết lại:
 B x 3 (3 2x) x 8 x 3 3 2x x 8 4x 2
Ví dụ 3. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức:
 C x 1 2 x 2 3
Hướng dẫn: Tạo các khoảng chia tương ứng để xét dấu.
 Giải
Nhận xét rằng:
 x 1 0 x 1
 x 2 0 x 2
Do đĩ, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối của C ta cần xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 2 , ta được:
 C (x 1) 2(x 2) 3 3x
Trường hợp 2: Nếu 2 x 1, ta được:
 C (x 1) 2(x 2) 3 x 8
Trường hợp 3: Nếu x 1, ta được:
 C (x 1) 2(x 2) 3 3x 6
Dạng tốn 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
 f (x) k , với k là hằng số khơng âm.
Phương pháp
Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đĩ:
 f (x) k
 f (x) k => nghiệm x.
 f (x) k
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đĩ đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình:
Chú ý: Hệ hoặc trong bước 2 cĩ được là nhờ kiến thức giải phương trình tích (chương III), cụ thể:
 f (x) k f 2 (x) k 2  f (x) k f (x) k 0
Ví dụ 1. Giải phương trình 2x 3 1.
 Giải
Biến đổi tương đương phương trình: 2x 3 1 2x 1 3 x 2
 2x 3 1 .
 2x 3 1 2x 1 3 x 1
Vậy, phương trình cĩ hai nghiệm x 2 và x 1.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
 x 2
 1.
 x 2
 Giải
Điều kiện xác định của phương trình là x 2 .
Ta cĩ thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Biến đổi tương đương phương trình:
 x 2
 1
 x 2 x 2 x 2 x 2
 1 x 0
 x 2 x 2 x 2 (x 2)
 1 
 x 2
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x 0 .
Cách 2: Biến đổi tương đương phương trình:
 x 2 x 2 x 2
 1 x 2 x 2 x 0
 x 2 x 2 (x 2)
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x 0 .
Dạng tốn 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
 f (x) g(x)
Phương pháp
Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đĩ:
 f (x) g(x)
 f (x) g(x) => nghiệm x.
 f (x) g(x)
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đĩ đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
 x2 x 2
 a. 2x 3 x 3 b. x 0
 x 1
 Giải
a. Biến đổi tương đương phương trình:
 2x 3 x 3 2x x 3 3 x 6
 2x 3 x 3 
 2x 3 (x 3) 2x x 3 3 x 0
Vậy, phương trình cĩ hai nghiệm x 6 và x 0 . b. Điều kiện xác định của phương trình là x 0 .
Biến đổi tương đương phương trình:
 x2 x 2
 x 2
 x2 x 2 x 1 x x 2 x(x 1)
 x 
 x 1 x2 x 2 x2 x 2 x(x 1)
 x 
 x 1
 2x 2
 x 1
 2
 2x 2 v« nghiƯm
Vậy, phương trình cĩ hai nghiệm x 1.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
 2x 3m x 6 , với m là tham số.
 Giải
Biến đổi tương đương phương trình:
 2x 3m x 6
 2x 3m x 6 
 2x 3m (x 6)
 2x x 6 3m x 6 3m
 2x x 6 3m x m 2
Vậy, phương trình cĩ hai nghiệm x 6 3m và x m 2 .
Dạng tốn 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
 f (x) g(x)
Phương pháp
Ta cĩ thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: (Phá dấu trị tuyệt đối) Thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
 Bước 2: Xét hai trường hợp:
 Trường hợp 1: Nếu f (x) 0. (1)
 Phương trình cĩ dạng:
 f (x) g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1).
 Trường hợp 2: Nếu f (x) 0 (2)
 Phương trình cĩ dạng:
 f (x) g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2).
 Bước 3: Kết luận nghiệm cho phương trình.
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x) 0.
 Bước 2: Khi đĩ: f (x) g(x)
 f (x) g(x) => nghiệm x.
 f (x) g(x)
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đĩ đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 1. Giải phương trình: x 4 3x 5
 Giải
Ta cĩ thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 4 0 x 4 . (1)
Khi đĩ, phương trình cĩ dạng:
 1
 x 4 3x 5 4x 1 x , thỏa mãn điều kiện (1).
 4
Trường hợp 2: Nếu x 4 0 x 4 (2)
Khi đĩ, phương trình cĩ dạng:
 9
 (x 4) 3x 5 2x 9 x , khơng thỏa mãn (2)
 2
 1
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x .
 4
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:
 x 4 5 3x .
Với điều kiện:
 5
 5 3x 0 x .
 3
Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 1
 x 
 x 4 5 3x 4
 x 4 5 3x 
 x 4 (5 3x) 9
 x lo¹i 
 2
 1
Vậy, phương trình cĩ nghiệm x .
 4
Chú ý: Qua ví dụ trên, chúng ta thấy rằng “Cả hai cách giải được trình bày đều cĩ độ phức tạp như 
 nhau”. Chính vì vậy, tại đây đặt ra một câu hỏi “Trong trường hợp nào cách 1 tỏ ra hiệu quả 
 hơn cách 2 và ngược lại?” – Câu trả lời chúng ta sẽ nhận được trong ví dụ 3.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
 a. 2x x 6 b. 4x 2x 12
 c. 3x x 8 d. 5x 16 3x
 Giải a. Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ:
 2x khi x 0
 2x 
 2x khi x 0
 Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 2x x 6 x 6 , khơng thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 2x x 6 3x 6 x 2 , khơng thỏa mãn điều kiện.
 Vậy, phương trình vơ nghiệm.
Cách 2: Với điều kiện:
 x 6 0 x 6 (*)
 Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 2x x 6 x 6 x 6
 , khơng thỏa mãn (*).
 2x (x 6) 3x 6 x 2
 Vậy, phương trình vơ nghiệm.
b. Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ:
 4x khi x 0
 4x 
 4x khi x 0
 Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 4x 2x 12 x 6 , (thỏa mãn).
Trường hợp 2: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 4x 2x 12 x 2 , (thỏa mãn).
 Vậy, phương trình cĩ hai nghiệm x 6 và x 2.
Cách 2: Với điều kiện:
 2x 12 0 x 6 (*)
 Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 4x 2x 12 2x 12 x 6
 , thỏa mãn (*).
 4x (2x 12) 6x 12 x 2
 Vậy, phương trình cĩ hai nghiệm x 6 và x 2.
c. Viết lại phương trình dưới dạng:
 3x x 8
 Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ: 3x khi x 0
 3x 
 3x khi x 0
 Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 3x x 8 2x 8 x 4 , khơng thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 3x x 8 4x 8 x 2, khơng thỏa mãn điều kiện.
 Vậy, phương trình vơ nghiệm.
Cách 2: Với điều kiện:
 x 8 0 x 8 (*)
 Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 3x x 8 2x 8 x 4
 , khơng thỏa mãn (*).
 3x (x 8) 4x 8 x 2
 Vậy, phương trình vơ nghiệm.
d. Viết lại phương trình dưới dạng:
 5x 3x 16
 Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ:
 5x khi x 0
 5x 
 5x khi x 0
 Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 5x 3x 16 2x 16 x 8, thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 0 phương trình cĩ dạng:
 5x 3x 16 8x 16 x 2 , thỏa mãn điều kiện.
 Vậy, phương cĩ hai nghiệm x 8 và x 2.
Cách 2: Với điều kiện:
 16
 3x 16 0 x (*)
 3
 Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 5x 3x 16 2x 16 x 8
 , thỏa mãn (*).
 5x (3x 16) 8x 16 x 2
 Vậy, phương cĩ hai nghiệm x 8 và x 2.
Ví dụ 3. Giải các phươn g trình sau:
 a. x 7 2x 3 b. x 4 2x 5 c. x 3 3x 1 d. x 4 3x 5
 Giải
a. Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ:
 x 7 khi x 7
 x 7 
 x 7 khi x 7
 Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 7 phương trình cĩ dạng:
 x 7 2x 3 x 10 , khơng thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 7 phương trình cĩ dạng:
 4
 x 7 2x 3 3x 4 x , thỏa mãn điều kiện.
 3
 4
 Vậy, phương cĩ nghiệm x .
 3
Cách 2: Với điều kiện:
 3
 2x 3 0 x (*)
 2
 Khi đĩ, phương trình được biến đổi:
 x 10 lo¹i
 x 7 2x 3 x 10 
 4
 x 7 (2x 3) 3x 4 x 
 3
 4
 Vậy, phương cĩ nghiệm x .
 3
b. Ta cĩ thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cĩ:
 x 4 khi x 4
 x 4 
 x 4 khi x 4
 Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu x 4 phương trình cĩ dạng:
 x 4 2x 5 x 9 , thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu x 4 phương trình cĩ dạng:
 1
 x 4 2x 5 3x 1 x , khơng thỏa mãn điều kiện.
 3
 Vậy, phương cĩ nghiệm x 9 .
Cách 2: Với điều kiện:
 5
 2x 5 0 x (*)
 2