Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Đại số Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 7: Bất đẳng thức (Có đáp án)

 ĐS8-C4-CD7-BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA
 Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng:
 A B, A B A B, A B
2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN
 Với a, b, c, d là các số thực, ta luôn có:
 Tính chất 1: Nếu a b b a
 Tính chất 2: Nếu a b và b c thì a c
 Tính chất 3: Nếu a b a c b c
 Tính chất 4: Nếu a b
 a b
 khi c 0
 ac bc khi c 0 c c
 và .
 ac bc khi c 0 a b
 khi c 0
 c c
 Tính chất 5: Nếu a b và c d thì a c b d .
 Chú ý quan trọng: không áp dụng được “quy tắc” trên cho phép trừ hai bất đẳng thức 
 cùng chiều.
 Tính chất 6: Nếu a b 0 và c d 0 thì ac bd
 Tính chất 7: Nếu a b thì:
 1 1
 khi ab 0
 a b
 1 1
 khi ab 0
 a b
 Tính chất 8: Nếu a b thì a2n 1 b2n 1 , với n ¥ * .
 Tính chất 9: Nếu a b 0 thì an bn , với n ¥ * .
 Tính chất 10: Nếu a b 0 thì n a n b , với n ¥ * .
B. BẤT ĐẲNG THỨC – CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Để chứng minh bất đẳng thức A B , ta lựa chọn một trong các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Phương pháp chứng minh bằng định nghĩa. Khi đó ta lựa chọn theo các hướng:
 Hướng 1: Chứng minh A B 0 .
 Hướng 2: Thực hiện các phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về 
 một bất đẳng thức đúng.
 Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức đúng.
 Hướng 4: Biến đổi vế trái hoặc vế phải.
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bắc cầu, tức là chứng minh:
 A C và C B A B Phương pháp 3: Phương pháp chứng minh phản chứng, được áp dụng với các bài toán yêu cầu chứng 
 minh ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng hoặc sai.
Phương pháp 4: Phương pháp hình học, bằng việc sử dụng tính chất:
 “Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì 
 a b c và a b c
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có:
 a2 b2 c2 ab bc ca
 Giải
Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:
Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:
 a2 b2 c2 (ab bc ca) 0
 a2 b2 b2 c2 c2 a2 
 ab bc ca 0
 2 2 2 2 2 2 
 2 2 2
 a b b c c a 
 0 , luôn đúng.
 2 2 2 2 2 2 
Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:
 2(a2 b2 c2 ) 2(ab bc ca)
 (a2 b2 2ab) (b2 c2 2bc) (c2 a2 2ca) 0
 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 , luôn đúng.
Cách 3: Ta luôn có:
 (a b)2 0 a2 b2 2ab 0
 2 2 2
 (b c) 0 b c 2bc 0 (I)
 2 2 2
 (c a) 0 c a 2ca 0
Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:
 2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 0 a2 b2 c2 ab bc ca , đpcm.
Nhận xét: Như vậy, ví dụ trên đã minh họa cho các em học sinh thấy được ba hướng chứng minh bất 
 đẳng thức khi sử dụng phương pháp 1 và sau đây ta sẽ minh họa bằng một ví dụ cho hướng 
 4.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi n ¥ * luôn có:
 1 1 1
 ... 1
 1.2 2.3 n(n 1)
 Giải
Nhận xét rằng: 1 1 1
 k(k 1) k k 1
Do đó: 
 1 1 1 1 1 1
 VT 1 ... 1 1, đpcm.
 2 2 3 n n 1 n 1
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi a,b ¡ luôn có:
 a b a2 b2 a3 b3 a6 b6
 . . 
 2 2 2 2
 Giải
Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:
 x y x3 y3 x4 y4
 . (*)
 2 2 2
Thật vậy:
 (*) (x y)(x3 y3 ) 2(x4 y4 ) xy(x2 y2 ) xy(x2 y2 ) x4 y4
 2 2
 2 x y 3y 
 (x y) 0 , luôn đúng.
 2 4 
Khi đó áp dụng (*), ta được:
 a b a2 b2 a3 b3 a b a3 b3 a2 b2
 . . . .
 2 2 2 2 2 2
 a4 b4 a2 b2 a6 b6
 . , đpcm.
 2 2 2
Ví dụ 4. Cho a,b,c (0; 1) , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 1 1 1
 a(1 b) , b(1 c) , c(1 a) 
 4 4 4
 Giải
Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, khi đó nhân theo vế ba bất đẳng thức ta được:
 1 1
 a(1 b).b(1 c).c(1 a) a(1 a).b(1 b).c(1 c) (*)
 64 64
Ta có nhận xét:
 1 1 1
 a(1 a) a a2 (a )2 
 4 2 4
Chứng minh tương tự, ta có:
 1 1
 b(1 b) , c(1 c) 
 4 4
Do đó:
 1
 a(1 a).b(1 b).c(1 c) , tức là (*) sai.
 64 Ví dụ 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng:
 a3 b3 c3
 Giải
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a b và a c .
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
 a2 b2 c2
Ta có nhận xét:
 a b
 a3 a2.a (b2 c2 ).a b2.a c2.a b2.b c2.c b3 c3 , đpcm.
 a c
Chú ý: Ở đây, ta còn có kết quả tổng quát hơn:
 “Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền ta luôn có 
 an bn cn , với n ¥ và n 2 ”
 BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Ta có các tính chất sau:
Tính chất 1: Với hai số thực a, b tùy ý:
 a2 b2 a b
Tính chất 2: Ta có:
 b a b a b
Tính chất 3: Ta có:
 a b
 a b .
 a b
Tính chất 4: Ta có:
 a b a b
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng toán 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có:
 a b a b
 Giải
Ta có:
 a (a b)  b a b b a b a b
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có:
 a c a b b c . (1)
 Giải Ta có:
 a c (a b) (b c)
Kết quả suy ra từ tính chất 4.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu:
 a b a b , thì a,b 0 (1)
 Giải
Vế trái không âm, vậy vế phải không âm, tức là a b 0 .
Suy ra, trong hai số a, b phải có một số không âm, giả sử a 0 suy ra a a .
Từ đó (1) có dạng:
 b b b 0 .
Dạng toán 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Với phương trình ta sử dụng các tính chất:
Tính chất 1: Nếu:
 a b a b ab 0
Tính chất 2: Nếu:
 a 0
 a b a b 
 b 0
Tính chất 3: Nếu:
 a 0
 a b a b 
 b 0
Tính chất 4: Nếu:
 a b a b b(a b) 0
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2x 3 1 2x 4
 Giải
Ta biến đổi phương trình về dạng:
 2x 3 1 2x (2x 3) (1 2x) .
 3
 x 
 tÝnh chÊt 1 2x 3 0 2
  
 1 2x 0 1
 x 
 2
 3 1
Vậy nghiệm của phương trình là x 
 2 2 Chú ý: Các phương trình được giải bằng phương pháp sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối ở dạng ban 
 đầu thường không thấy xuất hiện dấu trị tuyệt đối, nó thường xuất hiện sau phép biến đổi 
 A2 A .
Ví dụ 2. Giải phương trình:
 x2 2x 1 x2 2x 1 2 (1)
 Giải
Ta biến đổi phương trình về dạng:
 (x 1)2 (x 1)2 2 x 1 x 1 (x 1) (x 1
 tÝnh chÊt 4 (x 1).(x 1) (x 1) 0 (x 1).2 0
 x 1 0 x 1.
Vậy, phương trình có nghiệm là x 1.
 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Bất đẳng thức Cô-si: Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:
 a b
 2 ab , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b .
 2
Mở rộng
a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:
 a b c
 3 abc ,
 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
b. Với n số ai, i 1,n , không âm, ta luôn có:
 1
 (a a ... a ) a .a ...a
 n 1 2 n n 12 n
 nsè h¹ng n sè h¹ng
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 ... an
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Ví dụ 1. Cho a,b 0 . Chứng minh rằng:
 1 1
 (a b)( ) 4 .
 a b
 Giải
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
 ▪ Cho cặp số a, b, ta được:
 a b 2 ab (1) 1 1
 ▪ Cho cặp số , ta được:
 a b
 1 1 2
 (2)
 a b ab
Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:
 1 1 2
 a b ( ) 2 ab. 4 , đpcm.
 a b ab
 a b
Dấu bằng xảy ra khi: 1 1 a b 
 a b
Nhận xét: Chúng ta có được kết quả tổng quát hơn như sau:
Cho n số dương ai, i 1,n . Chứng minh rằng:
 1 1 1 2
 a1 a2 ... an ... n
 a1 a2 an 
Thật vậy, ta có:
 n
 a1 a2 ... an n a1a2...an ,
 1 1 1 n
 ... 
 n
 a1 a2 an a1a2...an
Nhân hai vế tương ứng, ta được bất đẳng thức cần chứng minh và dấu đẳng thức xảy ra khi 
a1 a2 ... an .
Ví dụ 2. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
 a b c 3
 b c c a a b 2
 Giải
Ta có:
 a b c a b c 
 1 1 1 3
 b c c a a b b c c a a b 
 a b c 
 (a b c) 3
 b c c a a b 
 1 1 1 1 
 (a b) (b c) (c a) 3
 2 b c c a a b 
 1 1 9 3
 .33 (a b)(b c)(c a).3 3 3 ,
 2 3 (a b)(b c)(c a) 2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a b b c c a
 1 1 1 a b c .
 a b b c c a
Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta cần sử dụng một vài phép biến đổi đại số để nhận được các phần tử 
 không âm trong bất đẳng thức, từ đó mơi có thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si. Để minh họa ta 
 xét ví dụ sau:
Ví dụ 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
 ab(a b 2c) bc(b c 2a) ca(c a 2b) 0
 Giải
Biến đổi bất phương trình về dạng:
 a b 2c b c 2a c a 2b
 0
 c a b
 a b b c c a
 6
 c c a a b b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho VT, ta được:
 a b b c c a a b b c c a
 6.6 . . . . . 6 , đpcm.
 c c a a b b c c a a b b
Dấu bằng xảy ra khi:
 a b b c c a
 a b c
 c c a a b b
Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta cần sử dụng liên tiếp nhiều lần bất đẳng thức Cô-si. Để minh họa ta 
xét ví dụ sau:
Ví dụ 4. Cho a,b 0,m ¥ * . Chứng minh rằng:
 m m
 a b m 1
 1 1 2 .
 b a 
 Giải
 m m
 a a a m a 
Ta có: 1 2 1 2 .
 b b b b 
 m m
 b b b m b 
 1 2 1 2 
 a a a a 
Suy ra:
 m m m m
 a b m a m b 
 1 1 2 2 
 b a b a 
 m m
 m a m b m 1
 2. 2 . .2 2
 b a Dấu đẳng thức xảy ra khi:
 a
 1 
 b
 b
 1 a b
 a
 m m
 a b 
 1 1 
 b a 
Dạng toán 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Ví dụ 1. Cho hai số a,b 0 .
 a. Nếu a b k const , tính giá trị lớn nhất của ab.
 b. Nếu ab k const , tính giá trị nhỏ nhất của a b .
 Giải
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
 2
 a b k 2
 a b 2 ab ab 
 2 4
 k 2 k
Từ đó suy ra (ab) , đạt được khi a b .
 Max 4 2
Nhận xét: Qua ví dụ trên chúng ta thấy rằng:
1. Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất.
2. Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông là hình có chu vi nhỏ nhất.
3. Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
 a b 2 ab 2 k ,
 k
Từ đó suy ra a b 2 k , đạt được khi a b 
 Min 2
 x 15
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y , với x 0 .
 3 x
 Giải
 x 15
Với x 0 , ta được , 0 .
 3 x
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
 x 12 x 12
 y 2. . 4
 3 x 3 x
Từ đó suy ra yMin 4 , đạt được khi:
 x 12
 x2 36 x 6 (x 0)
 3 x Chú ý: Ví dụ trên đã minh họa phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của 
một tổng có tích bằng hằng số, tuy nhiên trong hầu hết các trường hợp các em học sinh cần có được thủ 
thuật để tạo ra một tích bằng hằng số, ví dụ như:
 1
1. Với y 2x , với x 0 , ta cần viết lại hàm số dưới dạng:
 x2
 1 1
 y x x 33 x.x. 3.
 x2 x2
2. Trong trường hợp là tổng lũy thừa, ta minh họa bằng ví dụ sau:
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 3
 y x3 , với x 0
 x2
 Giải
Biến đổi:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
 y x3 x3 5 5 x3. x3. . . 
 2 2 x2 x2 x2 2 2 x2 x2 x2 5 4
 5
Từ đó suy ra y , đạt được khi:
 Min 5 4
 1 1 1 1 1
 x3 x3 x5 2 x 5 2
 2 2 x2 x2 x2
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
 y (x 2)(3 x) , với 2 x 3
 Giải
Với 2 x 3, ta được x 2 0 và 3 x 0 .
Do đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
 2
 (x 2) (3 x) 25
 y (x 2)(3 x) 
 2 4
 25
Từ đó suy ra y , đạt được khi:
 Max 4
 1
 x 2 3 x x 
 2
Chú ý: Ví dụ trên đã minh họa phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của một 
tích có tổng bằng hằng số, tuy nhiên trong hầu hết các trường hợp các em học sinh cần có được thủ thuật 
để tạo ra một tổng bằng hằng số, ví dụ như:
 1 2
1. Với y (2x 1)(2 3x) , với x , ta cần viết lại hàm số dưới dạng:
 2 3
 1 1 1 2 1 1 2
 y (2 x 1)(2 3x) (x ). ( x) (x )( x)
 2 2 3 3 6 2 3