Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 3: Hình thang cân (Có đáp án)

 HH8-C1-CD3. HÌNH THANG CÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Khái niệm
 Hình thang cân là hình thang có 
 A B
 hai góc kề một đáy bằng nhau.
 2. Tính chất
 - Trong hình thang cân, hai cạnh bên D C
 bằng nhau.
 - Trong hình thang cân, hai đuờng chéo 
 bằng nhau.
3. Dấu hiệu nhận biết
- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
 Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau không phải luôn là hình thang cân.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và công thức 
tính diện tích hình thang để tính toán.
1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có µA 2Cµ . Tính các góc của hình thang cân.
2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có µA 3Dµ . Tính các góc của hình thang cân.
3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình thang. CD AB
a) Chứng minh DH = . 
 2
b) Biết AB = 6 cm, CD = 14 cm, AD = 5 cm, tính DH, AH và diện tích hình thang cân ABCD.
4. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có µA Bµ 600 , AB = 4,5cm; AD = BC = 2 cm. Tính độ 
dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD.
Dạng 2. Chứng minh hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân. 
5. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng 
minh BCDE là hình thang cân.
6. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác. Chứng minh 
BCHK là hình thang cân.
Dạng 3. Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình thang cân
7. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Gọi O là giao điểm của AD và BC; Gọi 
E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Tam giác AOB cân tại O;
b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;
c) EC = ED;
d) OE là trung trực chung của AB và CD.
8. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ tia Mx song song 
 µA
vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E. Chứng minh D· ME 900 . 
 2
 HƯỚNG DẪN
1.
 Ta có µA Dµ 1800 và µA 2Cµ 2Dµ Suy ra Cµ Dµ 600 , µA Bµ 1200
2. Tương tự bài 1. Ta có: Cµ Dµ 450 , µA Bµ 1350
3.
 a) Chứng minh
 ADH = BCK (ch-gnh)
 DH = CK
Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK AB = HK
 CD AB
b) Vậy DH 
 2
 2
c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm
 4. Hạ CH và DK vuông góc với AB
 Ta có:
 1
 AK BH AD 1cm 
 2
 Từ đó: CD = 2,5cm
 CH 3cm 
 AB CD .CD 7 3
 S cm2 
 ABCD 2 2
5. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC.
6. Chứng minh BKC = CHB (ch-gnh)
Suy ra CK = BH & AK = AH. 1800 K· AH
Từ đó ·AKH ·ABC hay KH / /BC. 
 2
 7. a) O· AB O· BA 
 suy ra OAB cân tại O.
 b) HS tự chứng minh.
 c) ·ADB B· CA, suy ra E· DC E· CD hay 
 ECD cân tại E.
 d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy ra OE là 
 đường trung trực của đoạn AB.
 Tương tự có OE cũng là đường trung 
 trực của đoạn CD. Vậy OE là đường 
 trung trực chung của AB và CD.
 8. Do MD / /BC D· ME M· EB 1800 
 Suy ra D· ME 1800 M· EB
 µA
 1800 ·ACB 900 
 2
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
PHIẾU SỐ 1
 PHIẾU BÀI TẬP HÌNH THANG CÂN – SỐ 2
Câu 1: Trong các hình vẽ sau, hình nào là hình thang cân. Giải thích.
 R
 U
 A B H G 58° S
 I J M N 122°
 E F
 D AB//CD C EF//GH L I J//KL K Q P T Câu 2: Cho hình thang cân ABCD AB//CD có µA 1100 . Tính các góc còn lại của hinh thang 
 ABCD .
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A . Đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB; AC 
lần lượt tại M ; N . Chứng minh BCNM là hình thang cân.
Câu 4: Cho hình thang cân ABCD AB//CD có các đường cao AE; BF . Chứng minh 
 DE CF .
Câu 5: Cho hình thang cân ABCD AB//CD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Chứng minh 
 OA OB;OC OD .
Câu 6: Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D ; trên tia đối của tia 
 AC lấy điểm E sao cho AD AE . Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao?
Câu 7: Tứ giác ABCD có AB BC AD ; µA 1100 ; Cµ 700 . Chứng minh rằng:
a) DB là tia phân giác góc D. b) ABCD là hình thang cân.
Câu 8: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD biết rằng cạnh bên BC 25cm ; các cạnh 
đáy AB 10cm và CD 24cm .
Câu 9: Cho tam giác đều ABC , điểm M nằm trong tam giác đó. Qua M , kẻ các đường thẳng 
song song với AC cắt BC ở D , kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E , kẻ đường 
thẳng song song với BC cắt AB ở F . Chứng minh rằng:
a) D· ME E· MF D· MF 
b) Trong ba đoạn MA;MB;MC đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia.
Câu 10: Chứng minh rằng trong một hình thang cân, đường chéo luôn lớn hơn đường trung 
bình.
HƯỚNG DẪN
Câu 1: a) Xét tứ giác ABCD có AB//CD và AC BD nên là hình thang cân(hình thang có hai đường 
chéo bằng nhau).
b) Tứ giác EFGH có EF //GH và Hµ Gµ nên là hình thang cân(hình thang có hai góc kề đáy 
bằng nhau là hình thang cân)
c) Tứ giác IJKL là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nên chưa thể khẳng định là hình 
thang cân.
d) Tứ giác MNPQ có MN //PQ (cùng vuông góc với MQ ) và Qµ Pµ 900 nên là hình thang 
cân.
e) Tứ giác RSTU có RS//UT (hai góc trong cùng phía bù nhau) và Rµ S nên là hình thang 
cân.
Câu 2: 
 A B
 D C
Ta có ABCD là hình thang cân nên Bµ µA 1100 (hai góc kề đáy)
Mà AB//CD nên µA Dµ 1800 (hai góc trong cùng phía) nên Dµ 700 
 Cµ Dµ 700 
Câu 3: 
 A
 M N
 B C Ta có MN //BC (gt) nên BCNM là hình thang. Mà Bµ Cµ (tam giác ABC cân tại A ) nên 
 BCNM là hình thang cân.
Câu 4: 
 A B
 D E F C
Xét hai tam giác vuông AED và BFC có: AD BC và Dµ Cµ ( ABCD là hình thang cân) 
nên AED BFC (ch-gn).
 DE FC 
Câu 5: 
 A B
 O
 D C
Xét hai tam giác BDC và ACD có: cạnh DC chung; B· CD ·ADC và AD BC (tính chất 
hình thang cân) 
 BDC ACD (c-g-c)
 B· DC ·ACD 
 ODC cân tại O OD OC 
Chứng minh tương tự ta có OB OC .
Câu 6: E D
 A
 B C
 1800 E· AD
Theo giá thiết ta có các tam giác ABC và ADE là các tam giác cân nên ·AED 
 2
 1800 B· AC
và ·ACB 
 2
Mặt khác E· AD B· AC (đối đỉnh) nên ·AED ·ACB 
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE //BC 
 BCDE là hình thang
Lại có EC EA AC DA AB DB nên BCDE là hình thang cân.
Câu 7: 
 E
 A B
 D F C
a) Kẻ BE vuông góc với tia DA; BF vuông góc với tia DC
Khi đó do hai tam giác vuông BEA và BFC có: B· AE B· CF 700 và AB BC nên chúng 
bằng nhau. Do đó: BE BF 
 B thuộc tia phân giác ·ADC hay DB là tia phân giác của ·ADC .
b) tam giác ADB cân tại A có D· AB 1100 nên ·ADB 350 
 ·ADC 700 ( DB là tia phân giác ·ADC ) ·ADC D· AB 700 1100 1800 
 AB//DC 
Mà Dµ Cµ 700 nên ABCD là hình thang cân.
Câu 8:
 A B
 D E F C
Kẻ các đường cao AE; BF của hình thang. Khi đó hình thang ABFE có hai cạnh bên song 
song nên hai cạnh đáy EF AB 10cm 
 24 10
Mặt khác theo câu 4 thì DE CF nên DE CF 2cm 
 2
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác tính được BF 3 69cm 
Câu 9:
 A
 E
 F M
 B D C
a) Các tứ giác AEM F; BDMF;CDME có một cặp cạnh đối song song và có các góc ở đáy 
đều bằng 600 nên chúng là các hình thang cân.
Do đó: E· MF E· MD D· MF µA 600 b) Vì các tứ giác AEM F; BDMF;CDME là các hình thang cân nên 
 MA EF;MB FD;MC ED 
 MA;MB;MC bằng độ dài ba cạnh của một tam giác nên suy ra đpcm
Câu 10: 
 A B
 D E F C
Xét hình thang cân ABCD có hai cạnh đáy AB và CD AB CD , kẻ các đường cao AE và 
 BF . 
Ta có hình thang ABFE có hai cạnh bên song song(cùng vuông góc với DC ) nên suy ra 
hai cạnh đáy bằng nhau. 
 CD AB
Dó đó EF AB và DE CF 
 2
 CD AB AB CD
Ta có EC EF FC AB 
 2 2
 EC bằng độ dài đường trung bình của hình thang ABCD 
Lại xét trong tam giác vuông AEC vuông tại E ta có: EC AC 
Vậy, trong hình thang cân, độ dài đường trung bình luôn bé hơn đường chéo.
PHIẾU SỐ 2
Bài 1: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O, biết OA=OC, OB=OD. Tứ giác ACBD là 
hình gì ?
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD)