Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương I, Chủ đề 7: Đối xứng trục (Có đáp án)

 HH8-C1-CD7. ĐỐI XỨNG TRỤC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
• Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng 
d nếu d là đường trung trực của đoạn thảng nối hai điểm ấy.
 A đối xứng với A' qua d 
 d là trung trực của AA'. 
 Khi đó ta còn nói:
 A' đối xứng với A qua d. 
 Hoặc
 A và A' đối xứng nhau qua d.
* Quy ước. Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối xứng là chính 
nó.
* Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d 
nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và 
ngược lại.
* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thắng thì bằng 
nhau.
* Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xúng với mỗi 
điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H
* Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang 
cân đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một 
đường thẳng.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự trên AB, AC sao 
cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng cạnh AB đối 
xứng vói AC qua AM.
Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán 
Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói nhau qua một đường 
thẳng thì bằng nhau.
1.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Bài 3. Cho tam giác vuông ABC( µA = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh Gọi E, F lần lượt là các điếm đối xứng 
với M qua AB và AC. Chứng minh: A là trung điểm của EF.
Bài 4. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ). Tìm vị điểm C trên d để chu vi tam giác 
ABC nhỏ nhất.
Dạng 3.Tổng hợp
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối xứng với A qua 
d.
 a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm đoạn thẳng đối xứng 
với đoạn thẳng AC qua đường thẳng d.
 b) Tứ giác AKCB là hình gì?
Bài 6. Cho tam giác ABC, có µA = 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a) Chứng minh ∆BHC = ∆BMC.
b) Tính B· MC .
Bài 7. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C. Chứng minh AC 
+ CB < AM + MB.
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC. Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng 
vói M qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của EF với AB và AC.
 a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của I·MK .
 b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P AB và Q AC để chu vi tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ 
nhất.
 HƯỚNG DẪN
 1. Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được AH là phân giác 
 của góc I·AK . Tiếp tục chỉ ra được AH là đường trung trực của IK. 
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
 2. Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối xứng với chính 
 A qua AM. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
 3. Sử dụng tính chất đối xứng trục AE = AF (=AM) (1).
2.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên ¶ ¶ µ ¶
 Sử dụng tính chất của tam giác cân A1 A2 ; A3 A 4 . Từ đó chỉ ra 
 được E· AF 1800 A, E, F thằng hàng (2).
 Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
 4. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d A' cố định.
 Vì C d CA = CA' (tính chất đối xứng trục). Ta có:
 P ABC = AB + AC + BC
 = AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi. Dấu "=" xảy ra tức là 
 chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và BA'.
 5. a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d lần lượt là 
 KC, KB. 
 b) ta có AK//BC (vì cùng vuông góc với d) và AC = KB (tính chất 
 đối xứng trục) tứ giác AKCB là hình thang cân.
 6. a) Chứng minh được BHC = BMC (c.c.c).
 b) Gọi {C'} = CH  AB. Sử dụng định lý tổng 4 góc trong tứ giác 
 AB'HC' ta tính được B· ' HC ' 1200 
 Ta có B· ' HC ' B· HC (đối đỉnh) và 
 B· CH B· MC (doVBHC VBMC) B· MC 1200 
 7. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA. Sử dụng 
 tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường trung trực của 
 AA' MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác A'MB ta 
 có: CA + CB = CA' + CB = BA' <MA' + MB CA + CB < MA + 
 MB.
 8. a) Sử dụng tính chất đối xứng trục kết hợp với chứng minh tam 
 µ ¶ µ ¶ µ µ
 giác bằng nhau ta có được E1 M1 và F1 M 2 , mà E1 F1 (Tính 
 chất tam giác cân)
 ¶ ¶
 M1 M 2 ĐPCM.
 b) Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM = QF. Theo 
 bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta có:
 P MPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥ EF.
 Do M cố định, tam giác ABC cố định E, F, I, K cố định. Vậy 
 (P MPQ)min = EF P  I, Q  K.
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO-PHÁT TRIỂN TƯ DUY
• Đối xứng trục
Bài 1. Cho tam giác ABD. Vẽ điểm C đối xứng với A qua BD. Vẽ các đường phân giác ngoài tại 
các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD chúng cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH.
a) Xác định dạng của tứ giác EFGH;
b) Chứng minh rằng BD là trục đối xứng của tứ giác EFGH.
3.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D là điểm nằm giữa B và C. Vẽ các điểm M và N đối xứng với 
D lần lượt qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng góc MAN luôn có số đo không đổi;
b) Xác định vị trí của D để MN có độ dài ngắn nhất.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, CA, AB. 
Xác định vị trí của D, E, F để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất.
Bài 4. Cho hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy tìm trên xy hai điểm C và D 
sao cho CD a cho trước và chu vi tứ giác ABCD là nhỏ nhất.
Bài 5. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và một điểm M ở trong tam giác. Vẽ các điểm 
 N, P, A đối xứng với M lần lượt qua AB, AC và AD.
a) Chứng minh rằng N và P đối xứng qua AA ;
b) Gọi B ,C là các điểm đối xứng với M lần lượt qua các đường phân giác của góc B, góc C. Chứng 
minh rằng ba đường thẳng AA , BB ,CC đồng quy.
Bài 6. Cho tứ giác ABCD và một điểm M nằm giữa A và B. Chứng minh rằng MC MD nhỏ hơn số 
lớn nhất trong hai tổng AC AD; BC BD .
• Đối xứng tâm
Bài 7. Cho tam giác ABC và O là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm 
của BC, CA, AB. Gọi A , B ,C lần lượt là các điểm đối xứng với O qua D, E, F. Chứng minh rằng 
ba đường thẳng AA , BB ,CC đồng quy.
Bài 8. Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm G ở trong góc đó. Dựng điểm A Ox , điểm B Oy
sao cho G là trọng tâm của tam giác OAB.
Bài .9. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua điểm B. Vẽ điểm E đối xứng với B qua 
C. Vẽ điểm F đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng tam giác ABC và tam giác DEF có cùng một 
trọng tâm.
Bài 10. Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí trung điểm M của AB, trung điểm N của BC và trung 
điểm P của CD.
4.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Hướng dẫn giải
Bài 1. (h.7.9)
a) Vì C đối xứng với A qua BD nên ABD đối xứng với CBD qua BD.
 µ ¶ ¶ ¶
Do đó ABD CBD , suy ra: B1 B2 ; D1 D2 ; BA BC và DA DC .
Ta có BD và BE là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh B nên BD  BE .
Chứng minh tương tự, ta được: BD  DH .
Suy ra EF // HG Tứ giác EFGH là hình thang. 
 ¶ ¶
Ta có D3 D4 (cùng phụ với hai góc bằng nhau).
 µ µ
 A1 C1 (một nửa của hai góc bằng nhau).
Suy ra Hµ Gµ
Hình thang EFGH có hai góc kề một đáy bằng nhau 
nên là hình thang cân.
b) ADH CDG(g.c.g) DH DG .
Chứng minh tương tự, ta được: BE BF .
Đường thẳng BD đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân nên là trục đối xứng của hình thang 
cân EFGH.
Bài 2. (h.7.10)
a) Các đoạn thẳng AM và AN đối xứng với AD lần lượt qua AB 
và AC nên:
 µ ¶ µ ¶
 AM AD; AN AD; A1 A2 ; A3 A4 .
Ta có:
 · · · ¶ µ ·
 MAN MAD NAD 2 A2 A3 2BAC (không 
đổi).
b) Xét AMN có AM AN (cùng bằng AD) nên là tam giác cân. Tam giác cân này có góc MAN 
không đổi nên cạnh đáy MN ngắn nhất 
 cạnh bên AM ngắn nhất AD ngắn nhất (vì AM AD )
 AD  BC D là hình chiếu của A trên BC.
Bài 3. (h.7.11)
Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó 
 MF DF; EN ED .
Chu vi DEF DF FE ED MF FE EN
5.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Chu vi DEF nhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn 
nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự 
đó.
Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ 
nhất.
Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình 
chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao 
điểm của MN với AC và AB (h.7.12).
Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi DEF nhỏ nhất.
Thật vậy, khi AD  BC thì chu vi DEF bằng MN và MN nhỏ nhất. (1)
Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi DEF bằng độ dài 
đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN. (2)
Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, 
điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của ABC .
Thật vậy, xét DEF có các đường BF và CE lần lượt là các 
đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt 
nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF.
Ta có: DC  DA nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của DEF .
Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E.
Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với 
FB là đường phân giác, suy ra FC  FB hay CF  AB .
Chứng minh tương tự, ta được BE  AC .
Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.
Bài 4. (h.7.13).
Giả sử đã dựng được hai điểm C và D xy sao cho 
 CD a và chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất. 
Vẽ hình bình hành BMDC (điểm M ở phía gần A).
Khi đó BM CD a và DM BC
Vẽ điểm N đối xứng với điểm M qua xy, điểm N là một 
điểm cố định và DN DM .
Ta có AB BC CD DA nhỏ nhất
 BC DA nhỏ nhất (vì AB và CD không đổi)
 DM DA nhỏ nhất DN DA nhỏ nhất D nằm giữa A và N.
Từ đó ta xác định điểm D như sau:
6.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên - Qua B vẽ một đường thẳng song song với xy và trên đó lấy điểm M sao cho BM a (điểm M ở 
phía gần A);
- Vẽ điểm N đối xứng với M qua xy;
- Lấy giao điểm D của AN với xy;
- Lấy điểm C xy sao cho DC MB a (DC và MB cùng chiều).
Khi đó tổng AB BC CD DA nhỏ nhất.
Phần chứng minh dành cho bạn đọc.
Bài 5. (h.7.14) 
a) • AN đối xứng với AM qua AB
 AN AM và N· AB M· AB . (1)
• AP đối xứng với AM qua AC
 AP AM và M· AC P· AC . (2)
• AA đối xứng với AM qua AD nên M· AD ·A AD .
Mặt khác, B· AD C· AD nên M· AB C· AA (3)
Từ (1) và (3) suy ra N· AB M· AB C· AA .
Ta có ·A AP ·A AC P· AC M· AB M· AC B· AC .
Chứng minh tương tự, ta được: ·A AN B· AC , suy ra: ·A AP ·A AN .
 ANP cân tại A có AA là đường phân giác nên AA cũng là đường trung trực của NP N và P đối 
xứng qua AA .
b) Gọi Q là điểm đối xứng của M qua BC.
Chứng minh tương tự như trên ta được BB là đường trung trực của NQ và CC là đường trung trực 
của PQ.
Vậy AA , BB ,CC là ba đường trung trực của NPQ nên chúng đồng quy.
Bài 6. Trước hết ta chứng minh bài toán phụ:
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác (hoặc ở 
trên một cạnh nhưng không trùng với các đỉnh của tam 
giác). Chứng minh rằng MB MC AB AC (h.7.15).
Thật vậy, xét ABD , ta có BD AB AD hay 
 MB MD AB AD . (1)
Xét MCD có MC DC MD . (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: 
7.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên MB MD MC AB AD DC MD MB MC AB AC
Bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu điểm M nằm trên một 
cạnh nhưng không trùng với đỉnh của tam giác.
Bây giờ ta vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho.
Vẽ điểm E đối xứng với D qua đường thẳng AB (h.7.16).
Khi đó AE AD;ME MD và BE BD .
Vì điểm M nằm giữa A và B nên hoặc điểm M nằm trong BEC hoặc điểm M nằm trong AEC 
hoặc điểm M nằm trên cạnh EC.
 ME MC AE AC MD MC AD AC
Ta có hay .
 ME MC BE BC MD MC BD BC
Do đó MD MC max AD AC; BD BC .
Bài 7. (h.7.17)
Ta có AC ' và BO đối xứng nhau qua F nên AC BO và AC ' // BO. 
(1) 
BO và CA đối xứng nhau qua D nên BO CA và BO // CA (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC ' CA và AC ' // CA , do đó tứ giác 
 ACA C là hình bình hành.
Chứng minh tương tự ta được tứ giác ABA B là hình bình hành.
Hai hình bình hành ACA C và ABA B có chung đường chéo AA nên các đường chéo 
 AA , BB ,CC đồng quy.
Bài 8. (h.7.18) 
a) Phân tích 
Giả sử đã dựng được điểm A Ox và B Oy sao cho G 
là trọng tâm của AOB .
Tia OG cắt AB tại trung điểm M của AB và 
 3
 OM OG .
 2
Vẽ điểm N đối xứng với O qua điểm M. Tứ giác ANBO là hình bình hành NA // Oy; NB // Ox, 
từ đó xác định được A và B.
b) Cách dựng
 3
- Trên tia OG lấy điểm M sao cho OM OG .
 2
- Dựng điểm N đối xứng với điểm O qua M.
8.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên - Từ N dựng một tia song song với Oy cắt Ox tại A.
- Từ N dựng một tia song song với Ox cắt Oy tại B.
Khi đó G là trọng tâm của tam giác AOB.
c) Chứng minh
Tứ giác ANBO là hình bình hành, suy ra AB và ON cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mặt khác, M là trung điểm của ON nên M là trung điểm của AB.
Vậy OM là đường trung tuyến của tam giác AOB.
 3
Ta có OM OG nên G là trọng tâm của AOB .
 2
d) Biện luận: Bài toán luôn có một nghiệm hình.
Bài 9. (h.7.19)
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC và đường trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi G là 
giao điểm của hai đường trung tuyến này. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của GA và GD.
Xét FCE có AN là đường trung bình AN // CE và 
 1
 AN CE do đó AN // BM và AN BM , dẫn tới 
 2
 1
ANMB là hình bình hành MN // AB và MN AD .
 2
Mặt khác, HK là đường trung bình của GAD nên HK // 
 1
AD và HK AD .
 2
Từ đó MN // HK và MN HK .
Suy ra MNHK là hình bình hành, hai đường chéo HM và NK cắt nhau tại G nên G là trung điểm 
của mỗi đường.
Do đó GM GH HA G là trọng tâm của ABC .
 GN GK KD G là trọng tâm của DEF .
Vậy ABC và DEF có cùng một trọng tâm.
Bài 10. (h.7.20)
a) Phân tích
Giả sử đã dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn đề 
bài. 
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Ta có M và P đối 
xứng qua O.
Gọi Q là giao điểm của NO với AD thì Q và N đối xứng 
qua O.
9.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên Vậy điểm Q xác định được, từ đó xác định được hình bình hành ABCD.
b) Cách dựng
- Dựng trung điểm O của MP;
- Dựng điểm Q đối xứng với N qua O;
- Qua M và P dựng những đường thẳng song song với NQ; qua N và Q dựng những đường thẳng 
song song với MP ta được các giao điểm A, B, C, D.
Khi đó tứ giác ABCD là hình bình hành phải dựng.
Các phần còn lại, bạn đọc tự giải.
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
 ĐỐI XỨNG TRỤC
Dạng 1: Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua 1 đường thẳng
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia AB lấy điểm 
 E , trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD AE . CMR: hai điểm D và E đối xứng với 
nhau qua đường thẳng AM .
Bài 2. Cho ABC cân tại A , có AM là đường trung tuyến ứng với BC . CMR: cạnh AB đối 
xứng với AC qua AM .
Dạng 2: Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải toán
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H . Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC . Tìm hệ 
thức liên hệ giữa số đo các góc BAC,BKC.
Bài 4. Cho ABC , gọi m là đường trung trực của BC . Vẽ D đối xứng với A qua m.
 a) Tìm các đoạn thẳng đối xứng với AB,AC qua m .
 b) Tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 5. Cho hình thang vuông ABCD(Aˆ Dˆ 900 ) . Gọi K là điểm đối xứng với C qua AD . 
CMR: A· IB C· ID.
Bài 6. Cho ABC , gọi d là đường phân giác ngoài ở đỉnh A . Trên đường thẳng d lấy điểm 
 M(M A) . CMR: BA AC BM MC .
Bài 7. Cho ABC vuông tại A . Lấy M bất kì trên cạnh BC . Gọi E,F lần lượt là các điểm đối 
xứng với M qua AB,AC . Chứng minh A là trung điểm của EF .
Dạng 3: Tìm trực đối xứng của một hình, hình có trục đối xứng
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại B
 a) Tìm trục đối xứng của tam giác đó,
 b) Gọi trục đối xứng đó là d . Kể trên hình đối xứng qua d của: đỉnh A,đỉnh B, đỉnh C, cạnh 
 AB , cạnh AC .
10.Đường tuy gắn không đi sẽ không đến-Việc tuy nhỏ không làm sẽ không nên