Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 3: Hình lăng trụ đứng (Có đáp án)

 HH8-C4-CD3. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN
1. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình có các mặt bên đều là những hình chữ nhật.
 Hình bên cho ta hình ảnh của hình lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 , và ở đó:
 1. Các điểm A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 được gọi là các đỉnh.
 2. Các đoạn AA1 , BB1 , CC1 , DD1 song song với nhau và bằng 
nhau, chúng được gọi là các mặt bên.
 3. Các mặt ABB1 A , BCC1B1 , CDD1C1 , ADD1 A1 là những hình 
chữ nhật, chúng được gọi là các mặt bên.
 4. Hai mặt ABCD , A1B1C1D1 là hai đáy.
 5. Hình lăng trụ này có đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ tứ giác.
Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ đứng:
 - Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau hay không?
 - Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không?
 - Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không?
 Giải
Ta lần lượt có:
- Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau, bởi chúng đều chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau 
và song song với nhau.
- Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi mỗi cạnh bên đều vuông góc với hai cạnh đáy 
cắt nhau.
- Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi chúng chứa cạnh bên vuông góc với đáy.
 Nhận xét: Như vậy:
. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng.
. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
2. THÍ DỤ
Với hình vẽ trong phần 1, ta nhận thấy:
- Hai mặt đáy ABCD và A1B1C1D1 là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
- Độ dài mỗi cạnh bên được gọi là chiều cao, thí dụ chiều cao AA1 .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VÍ DỤ 1: ABC.A1B1C1 là một lăng trụ đứng tam giác.
 a) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.
 b) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
 c) Sử dụng kí hiệu “//”, “  ”, và “ ” điền vào các ô trong bảng sau: AA1 BB1 CC1 AB BC AC A1B1 B1C1 A1C1
 ABC 
 A1B1C1 
 ABB1 A1 
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.
 Giải
a) Ta chỉ có ABC / / A1B1C1 .
b) Ta có:
 . AA1B1B , BB1C1C , AA1C1C cùng vuông góc với ABC .
 . AA1B1B , BB1C1C , AA1C1C cùng vuông góc với A1B1C1 .
c) Ta có:
 AA1 BB1 CC1 AB BC AC A1B1 B1C1 A1C1
 ABC    / / / / / /
 A1B1C1    / / / / / / 
 ABB1 A1 / / 
VÍ DỤ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thang cân AB / /CD có AC 
vuông góc với BD.
 a) Đường thẳng BD và A1C có cắt nhau không? Vì sao?
 b) Đường thẳng AD song song với những mặt phẳng nào?
 c) Đường thẳng AC vuông góc với những mặt phẳng nào?
 d) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.
 e) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.
 Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.
 Giải
a) Đường thẳng BD và A1C không cắt nhau, bởi nếu chúng cắt nhau thì 4 
điểm B, C, D, A1 cùng thuộc một mặt phẳng
 A1 BCD A1 ABCD , mâu thuẫn
b) Ta có:
 AD / / A1D1 A1B1C1D1 AD / / A1B1C1D1 . AD / / A1D1 A1D1B AD / / A1D1B 
 AD / / A1D1 A1D1C AD / / A1D1C 
Vậy, có 3 mặt phẳng A1B1C1D1 , A1D1B , A1D1C song song với AD.
c) Ta có:
 AC  BD
 AC  BB1D1D .
 AC  BB1
Vậy có duy nhất mặt phẳng BB1D1D vuông góc với AC . 
d) Ta có các cặp mặt phẳng song song với nhau là:
 ABCD / / A1B1C1D1 và ABB1 A1 / / CDD1C1 .
e) Dựa trên tính chất của hình lăng trụ đứng ta có ngay các mặt phẳng vuông góc với hai đáy ABCD 
và A1B1C1D1 là:
 AA1B1B , BB1C1C , CC1D1D .
 AA1D1D , AA1C1C , BDD1B1 .
Mặt khác:
. Vì AC  BB1D1D nên các mặt phẳng chứa AC đều vuông góc với mặt phẳng BB1D1D , do đó ta 
có:
 ACC1 A1  BB1D1D , ACB1  BB1D1D , ACD1  BB1D1D .
. Vì BD  ACC1 A1 nên các mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với mặt phẳng ACC1 A1 , do đó ta 
có:
 BDD1B1  ACC1 A1 
 BDA1  ACC1 A1 
 BDC1  ACC1 A1 
. Vì A1C1  BB1D1D nên các mặt phẳng chứa A1C1 đều vuông góc với mặt phẳng BB1D1D , do đó ta 
có thêm:
 A1C1B  BB1D1D , A1C1D  BB1D1D .
. Vì B1D1  ACC1 A1 nên các mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với mặt phẳng ACC1 A1 , do đó ta 
có thêm:
 B1D1 A  ACC1 A1 , B1D1C  ACC1 A1 .
 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C '. 
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau? b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau?
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF. Trong các phát biểu sau phát biểu nào đúng ?
a) Các cạnh bên AB và AD vuông góc với nhau.
b) Các cạnh bên BE và EF vuông góc với nhau.
c) Các cạnh bên AC và DF vuông góc với nhau.
d) Các cạnh bên AC và DF song song với nhau.
e) Hai mặt phẳng (ABC ) và (DEF ) song song với nhau.
f) Hai mặt phẳng (ACFD) và(BCFE) song song với nhau.
g) Hai mặt phẳng (ABED) và (DEF ) vuông góc với nhau.
Bài 3: Cho một hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' 
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau.
b) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với những mặt phẳng nào.
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A, A ' . 
Chứng minh 
a) AB  mp AA'C 'C 
b) mp AA 'C 'C  mp AA ' B ' B 
Bài 5: Một khối gỗ hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ', có cạnh bằng a. Người ta cắt khối gỗ theo 
mặt (ACC’A’) được hai hình lăng trụ đứng bằng nhau. Tính diện tích xung quanh của mỗi hình lăng trụ 
đó.
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' , có đáy là tam giác ABC cân tại C, D là trung 
điểm của cạnh AB. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ. 
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60° . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 8: Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a. Tính chiều cao (theo a) của hình lăng trụ, biết 
 1
diện tích xung quanh bằng diện tích toàn phần.
 2
Bài 9: Tính diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) và thể tích 
của hình sau
* Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK 
Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' có đáy 
là tam giác ABC cân tại A có các kích thước như hình vẽ. Tính 
thể tích của hình lăng trụ.
Bài 11 : Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' , 
đáy là tam giác cân ABC có kích thước như hình vẽ. Mực nước 
 2
hiện tại trong bình bằng chiều cao của lăng trụ. Bây giờ ta đậy 
 3
bình lại và lật đứng lên sao cho mặt (BCC 'B ') là mặt đáy. Tính chiều cao 
của mực nước khi đó. 
Bài 12: Tính thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác và các mặt 
bên là các hình vuông cạnh bằng a. 
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' có đáy là tam giác 
ABC cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B 'C ' 
a) Chứng minh AMNA ' là hình chữ nhật
b) Tính diện tích hình chữ nhật AMNA ' biết thể tích của hình lăng trụ bằng V và BC = a .
Bài 14: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' , đáy là tam giác ABC có 
AB = 6cm , BC = 10cm , AC = 8cm , chiều cao CC ' = 12cm . Mực nước trong bình hiện 2
 tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt (ACC 'A ') 
 3
 là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó.
 Bài 15: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' , đáy là tam giác ABC có 
 AB = 6cm , BC = 10cm , AC = 8cm , chiều cao CC ' = 12cm . Mực nước trong bình hiện 
 2
 tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt (BCC 'B ') 
 3
 là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó.
 Bài 16: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A 'B 'C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh 
 BC = a 2 và biết A 'B = 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.
 Bài 17: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể 
 tích khối lăng trụ này.
 TỰ LUYỆN
 Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.D EF có ABC vuông tại A.
 a) Những cặp mặt phẳng nào song song với với nhau?
 b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau?
 c) Cho biết DF 2cm; AB 3cm, AD 5cm . Tính diện tích xung quanh, 
 diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.
 d) Gọi M là trung điểm của EF . Tính độ dài các đoạn thẳng BM , AM .
 Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác MNP.QRS . (Mỗi câu sau đây có giả thiết riêng)
a) Nếu MPN vuông tại P có PN 2cm;PS 5cm và thể tích 
 V 15cm3 .Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ. 
b) Nếu MPN cân ở M có MN 15cm; PN 8cm; PS 22cm . Tính 
 diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ.
c) Nếu MPN đều có cạnh là a(cm) . Gọi H là trung điểm của cạnh 
 SR và M· HQ 600 . Tính độ dài MQ , diện tích xung quanh, toàn 
 phần và thể tích của hình lăng trụ theo a.
 Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B .
 a) Hãy kể tên các cạnh song song với cạnh AD , song song với cạnh AB, các đường thẳng song song với 
 mp EFGH ;các đường thẳng song song với mp DCGH .
 b) Cho biết AB AD 4 cm ; BC 2AD và A· FE 450 .Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần 
 và thể tích của hình lăng trụ đứng.
 Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a cm và 
 ·ADC 600 và DD' a cm .
 a) Chứng minh mp CB'D' // mp A 'DB 
 b) Chứng minh mp AA 'C'C // mp DD'B'B .
 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ. Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh đáy AB = AC = 10cm và BC = 12cm . Gọi M 
là trung điểm của B'C'.
a) Chứng minh rằng B¢C¢ ^ mp(AA ¢M) 
b) Cho biết AM = 17cm , tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Bài 6: Một hình lăng trụ đều có tổng số mặt, số đỉnh và số cạnh là 26. Biết thể tích của hình lăng trụ là 
540cm3, diện tích xung quanh là 360cm2. Tính chiều cao của hình lăng trụ đó.
Bài 7: Hình hộp đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc nhọn 30o. Cho biết 
diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng hai lần diện tích xung quanh của nó. Tính chiều cao của 
hình lăng trụ đứng.
Bài 8: Hình lăng trụ đứng ABC.A 'B 'C ' có AB = 5cm , AC = 12cm và chiều cao AA ' = 10cm . 
Biết diện tích xung quanh của hình lăng trụ là 300cm2, tính thể tích của nó.
Bài 9: Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với các đường chéo bằng 16cm và 30cm. Diện tích 
toàn phần của hình lăng trụ này là 2680cm2 , tính thể tích của nó.
Bài 10: Hình lăng trụ ngũ giác đều ABCDE.A 'B 'C 'D 'E ' có cạnh đáy bằng a. Biết hiệu giữa các diện 
tích xung quanh của hai hình lăng trụ đứng ABCE.A 'B 'C 'E ' và CDE.C 'D 'E ' là 4a2 . Tính diện 
tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho.
 LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: a) Những cặp mặt phẳng song song là: mp(ABC )/ / mp(A’B’C’) 
b) Những cặp mặt phẳng vuông góc nhau là: 
mp(ABC) ^ mp(AA¢B ¢B) mp(ABC) ^ mp(BB ¢C ¢C ) 
mp(ABC) ^ mp(AA¢C ¢C ) mp(A¢B ¢C ¢) ^ mp(BB ¢C ¢C ) 
mp(A¢B ¢C ¢) ^ mp(AA¢C ¢C ) mp(A¢B ¢C ¢) ^ mp(AA¢B ¢B) 
Bài 2: a) Sai vì AB và AD không phải là các cạnh bên.
b) Sai vì BE và EF không phải là các cạnh bên.
c) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên.
d) Sai vì AC và DF không phải là các cạnh bên.
e) Đúng
f) Sai vì Hai mặt phẳng (ACFD) và (BCFE ) vuông góc nhau
g) Đúng
Bài 3: Bài giải
a) Những mặt phẳng song song với nhau là: 
mp(ABCD)/ / mp(A 'B 'C 'D ');
mp(AA 'D 'D)/ / mp(BB 'C 'C ); 
mp(DCC 'D ')/ / mp(AA 'B 'B) 
b) mp(ABCD) ^ mp(AA¢B ¢B) 
mp(ABCD) ^ mp(BCC ¢B ¢)
mp(ABCD) ^ mp(AA¢D ¢D)
Bài 4: a) AB  AC ( ABC vuông tại A) AB  AA (AA 'B 'B là hình chữ nhật) nên AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và AA ' 
của mặt phẳng (AA 'C 'C ). 
Suy ra AB  mp AA 'C 'C 
b) mp(AA 'B 'B) chứa AB, mà AB vuông góc với mp(AA 'C 'C ) nên mp AA 'C 'C  mp AA ' B ' B 
Bài 5: HD: 
Ta có AC a a2 a 2cm
Chu vi đáy hình lăng trụ 
a a a 2 (2 2)a
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ
 2(2 2)a a
S 2 ph (2 2)a2 ( cm2 )
 xq 2
Bài 6: 
D là trung điểm AB, suy ra CD là chiều cao tam giác đáy
Vậy nên DB 52 42 25 16 9 3cm
BB¢ ^ AB , áp dụng định lí py-ta-go, ta có
BB 52 32 25 9 16 4cm
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là 
 æ1 ö
 ç ÷
Stp = Sxq + 2Sd = (5 + 5 + 6) ×4 + 2ç ×4.6÷
 èç2 ø÷
 2
Stp = 64 + 24 = 88cm
Bài 7: 
Ta có A A  (ABC) A A  AB và AB là hình chiếu 
của A 'B trên đáy ABC và A· BA' 60
Trong VABA' ta có 
 AA AB tan 60 a 3
 1 a2
S = BA ×BC = 
 ABC 2 2
 a3 3
 Vậy V = S ×AA' = 
 ABC 2
Bài 8: 
Diện tích xung quanh hình trụ
Sxq 2(a a)h (cm)
Diện tích toàn phần của hình trụ
 2
Stp Sxq 2Sd 2(a a)h 2a.a Stp 4ah 2a 2a(2h a)
 1
Theo đề ta có S S
 xq 2 tp
 1 a
Hay 4ah 2a(a 2h) 4h a 2h 2h a h 
 2 2
 a
Vậy chiều cao của hình trụ là (cm)
 2
Bài 9: Độ dài đường chéo của tam giác đáy là JK HG 32 42 25 5cm 1
Diện tích tam giác đáy S S 3.4 6cm2
 HFG TIK 2
Diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK 
 æ3 + 4 + 5ö
 ç ÷ 2
Stp1 = Sxq + 2Sday = 2ç ÷×3 + 2.6 = 48cm 
 èç 2 ø÷
* Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật 
ABCD.EFII ' (I’ là điểm phía dưới)
 2
Stp2 Sxq 2Sd 2(1 3).5 2.1.3 46cm
 2
* SJIFH 3.3 9cm
* Diện tích toàn phần của hình đã cho là 
 2
Stp Stp1 Stp2 SMFH 48 46 9 85cm
 3
Thể tích hình lăng trụ V1 Sd h 6.3 18cm
 3
Thể tích hình hộp chữ nhật V2 Sd h 3.5 15cm
 3
Thể tích của hình đã cho là V V1 V2 18 15 33cm
Bài 10: Chiều cao của tam giác đáy
h' 133 52 169 25 h' 144 12cm
 1 1
Diện tích tam giác ABC là S h'.BC 12.10 60cm2
 2 2
 3
Thể tích của hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' là V Sd h 60.12 720cm
Bài 11 : Chiều cao của tam giác đáy
h' 133 52 169 25 h' 144 12cm 
 1 1
Diện tích tam giác ABC là S h'.BC 12.10 60cm2
 2 2
 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 60. .12 480cm3
 3
 2
Nếu chọn đáy là (BCC 'B ') thì Sd 10.12 120cm
 V 480
Chiều cao mực nước mới là h' h' 4cm
 Sd 120
Vậy chiều cao mực nước mới là 4cm.
Bài 12: Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, đường cao tam giác đáy 
 a 3
là h cm
 2
 1 a 3 a2 3
Diện tích tam giác đáy là S a 
 2 2 4
 a2 3 a3 3
Thể tích hình lăng trụ là V S.h a cm3
 4 4
Bài 13: a) Ta có A’N / / AM và A 'N = AM nên A 'NMA là 
hình bình hành.
Mặt khác A¢N ^ mp(CC 'B 'B) nên A ' N ^ NM 
Vậy AMNA ' là hình chữ nhật
 1
b) V S h AMBC AA'
 d 2 1 V
mà AA ' = MN nên diện tích hình chữ nhật AMNA ' là S AM.AA ' cm2 
 2 a
 1
Bài 14: Diện tích tam giác đáy là S 8.6 24cm2
 2
 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 24. 12 192cm3
 3
 2
Nếu chọn đáy là (ACC 'A ') thì Sd 8.12 96cm
 V 192
Chiều cao mực nước mới là h h 2cm
 Sd 96
Vậy chiều cao mực nước mới là 2cm.
Bài 15: 
 1
Diện tích tam giác đáy là S 8.6 24cm2
 2
 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 24. 12 192cm3
 3
 2
Nếu chọn đáy là (BCC 'B ') thì Sd 6.12 72cm
 V 192
Chiều cao mực nước mới là h h 2,7cm
 Sd 72
Vậy chiều cao mực nước mới là 2,7cm.
Bài 16: Ta có ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a 
 ¢
ABC.A 'B 'C ' là lăng trụ đứng Þ AA ^ AB 
 DAA ¢B Þ AA ¢2 = A ¢B2 - AB2 = 8a2 
 AA 2a 2
 ¢ 3
 Vậy V = B ×h = SABC ×AA = a 2 
Bài 17: ABCD.A 'B 'C 'D ' là lăng trụ đứng nên 
 BD2 = BD¢2 - DD¢2 = 9a2 Þ BD = 3a 
 3a
ABCD là hình vuông AB 
 2
 9a2
Suy ra B = S = 
 ABCD 4
 ¢ 3
Vậy V = B ×h = SABCD.AA = 9a