Tài liệu Dạy ngoài, dạy thêm tại nhà môn Hình học Lớp 8 - Chương IV, Chủ đề 4: Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng (Có đáp án)

 HH8-C4-CD4. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân chiều cao.
 Như vậy, ta có:
 Sxq 2 p.h
Trong đó:
 . p là nửa chu vi đáy.
 . h là chiều cao.
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
 Như vậy, ta có:
 Stp Sxq 2S®¸y 
Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
 Như vậy, ta có:
 V S.h .
Trong đó:
 . S là diện tích đáy.
 . h là chiều cao.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VÍ DỤ 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình lăng trụ đứng trong hình 102.
 Hướng dẫn: Sử dụng các công thức có sẵn.
 Giải
a) Hình hộp chữ nhật (hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật) có:
. Diện tích xung quanh:
 2
 Sxq 2 3 4 5 70 cm 
. Diện tích toàn phần:
 2
 Stp 70 2 3.4 94 cm 
b) Hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF có ABC vuông tại A nên:
 BC 22 32 13 . Ta lần lượt có:
. Diện tích xung quanh:
 2
 Sxq 2 3 13 5 25 5 13 cm 
. Diện tích toàn phần:
 1 2
 Stp 25 5 13 2 .2.3 31 5 13 cm .
 2 
VÍ DỤ 2: Các hình a), b), c) trong sgk gồm một hoặc nhiều dạng lăng trụ đứng. Hãy tính thể tích và diện 
tích toàn phần của chúng theo các kích thước đã cho trên hình 111.
 Hướng dẫn: Ta lần lượt:
 . Với hình a), tính độ dài cạnh đáy thứ ba bằng việc sử dụng định lí Py-ta-go. Tới đây, ta đi sử 
dụng các công thức có sẵn.
 . Với hình b), sử dụng nhận xét nó chính bằng hình a.
 . Với hình c), cần chia nó thành hai khối lăng trụ đứng.
 Giải
a) Hình a) là lăng trụ có đáy là tam giác vuông có:
 . Các cạnh 6cm, 8cm và cạnh thứ ba là 62 82 10cm .
 . Chiều có h 3cm .
 1
 Do đó: V S.h .6.8.3 72 cm3 .
 2
 1 2
 Stp Sxq 2S 6 8 10 .3 2. .6.8 120 cm .
 2
b) Hình b) là lăng trụ đứng bằng lăng trụ đứng ở hình a). Do đó:
 3 2
 V 72 cm ; Stp 120 cm 
c) Hình c) gồm 2 lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.
Ta có: V 4.1 1.1 .3 15 cm3 
 2
 Sxq 4 2 1 1 .2 16 cm 2
 Shaiñaùy 4.2 1.1 .2 18 cm 
 2
 Stp 36 16 52 cm .
 µ µ
VÍ DỤ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thang vuông ( A D 90), 
AB 6cm , CD 2cm , AD 3cm , AA1 5cm . Tính diện tích một đáy, diện tích xung quanh, diện tích 
toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.
 Hướng dẫn: Trước tiên, ta cần đi xác định đầy đủ các độ dài cơ bản của hình lăng trụ bằng việc sử 
dụng tính chất hình thang vuông và định lí Py-ta-go. Cuối cùng, ta đi sử dụng các công thức có sẵn.
 Giải
Xét hình thang ABCD , hạ CH vuông góc với AB, ta có:
 CH AD 3cm, BH AB AH AB CD 4cm .
Trong HBC vuông tại H, ta có:
 BC 2 BH 2 CH 2 42 32 25 BC 5cm .
Khi đó, ta lần lượt có:
. Diện tích một đáy:
 2
 Sñaùy AB CD .AD 6 2 .3 24cm .
. Diện tích xung quanh:
 Sxq AB BC CD DA .AA1
 6 5 2 3 .5 80cm2
. Diện tích toàn phần:
 2
 Stp Sxq 2Sñaùy 80 2.24 128cm
. Thể tích:
 3
 V Sñaùy .h 24.5 120cm .
VÍ DỤ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có các cạnh bằng a.
 a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ.
 b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và A1BC .
 Hướng dẫn: Ta lần lượt:
 . Với câu a), sử dụng ngay các công thức có sẵn.
 . Với câu b), cần tính được diện tích của A1BC bằng lưu ý nó là tam giác cân tại A1  Giải
a) Ta lần lượt có: 
. Diện tích xung quanh:
 2
 Sxq AB BC CA .AA1 a a a .a 3a .
. Diện tích toàn phần:
 a2 3 a2 3
 S S 2S 3a2 2. 3a2 
 tp xq ñaùy 4 2
. Thể tích: 
 a2 3 a3 3
 V S .h .a .
 ñaùy 4 4
b) Gọi M là trung điểm của BC 
Trong A1BC , ta có:
 2 2 2 2 2 2
 A1M A1C BM A1 A AC BM
 a2 7a2 a 7
 a2 a2 A M .
 4 4 1 2
 1 1 a 7 a2 7
Ta có: S .A M.BC . .a .
 A1BC 2 1 2 2 4
 a2 3
 S 3
Khi đó: ABC 4 
 S 2 7
 A1BC a 7
 4
VÍ DỤ 5: Các kích thước của một bể bơi được cho trên hình sgk (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy 
tính xem bể nước chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước.
 Giải
 Bể bơi có dạng lăng trụ đứng mà các mặt đáy là các hình ABCDE , A B C D E .
 Để tính thể tích bể bơi, ta chia thành hai lăng trụ đứng:
 . Lăng trụ có đáy là hình chữ nhật ABCD.
 . Lăng trụ có đáy là hình tam giác DEF.
 3
 Thể tích nước chứa trong lăng trụ đứng ABCD.A B C D là: V1 25.2.10 500 m . 1 3
 Thể tích nước chứa trong lăng trụ đứng DEF.D E F là: V2 .2.7.10 70 m .
 2
 3
 Do đó, ta được: V1 V2 500 70 570 m 
 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Tính Sxq, Stp và thể tích hình lăng trụ đứng.
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giácABC.A B C , có đáy là tam giác ABC cân tại C, D là trung 
điểm của cạnh AB . Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ. 
Bài 2: Một khối gỗ hình lập phương ABCD.A¢B¢C ¢D , có cạnh bằng a . Người ta cắt khối gỗ theo mặt 
(ACC ¢A¢) được hai hình lăng trụ đứng bằng nhau. Tính diện tích xung quanh của mỗi hình lăng trụ đó. 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại 
B với B,biếtA = BC hợp= a với đáyA B một góc AB C . Tính thể tích60° lăng trụ. 
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A¢B¢C ¢ có đáy là tam giác ABC cân tại A 
có các kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình lăng trụ. 
Dạng 2: Lắp ghép một số hình lăng trụ đứng đơn giản và tính toán các dữ liệu của 
hình lăng trụ đứng.
Bài 5: Cho hình lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a. Tính chiều cao (theo a) của hình lăng trụ, biết 
 1
diện tích xung quanh bằng diện tích toàn phần. 
 2
Bài 6: Cho hình vẽ bên 
a) Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK
b) Tính diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) và thể tích của hình đã cho
Dạng 3: Bài toán thực tế.
Bài 7: Thành được mẹ mua cho một thanh kẹo như hình:
Hai mặt bên của hộp đựng kẹo là hai tam giác đều cạnh 4cm. Chiều dài thanh kẹo là 20 cm. Tính thể 
tích của hộp đựng kẹo.
Bài 8: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢, đáy là tam giác 
 2
cân ABC có kích thước như hình vẽ. Mực nước hiện tại trong bình bằng chiều 
 3 cao của lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt (BCC ¢B¢) là mặt đáy. Tính chiều 
cao của mực nước khi đó.
Bài 9: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C ¢ , đáy là tam giác ABC có AB = 6cm , 
 2
BC = 10cm , AC = 8cm , chiều cao CC ' = 12cm . Mực nước trong bình hiện tại bằng chiều 
 3
cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt (ACC ¢A¢) là mặt đáy. Tính 
chiều cao của mực nước khi đó. LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1:
D là trung điểm AB, suy ra CD là chiều cao tam giác đáy
Vậy nên DB 52 42 25 16 9 3cm
BB¢ ^ AB , áp dụng định lí py-ta-go, ta có
BB 52 32 25 9 16 4cm
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là 
 æ1 ö
 ç ÷
Stp = Sxq + 2Sd = (5 + 5 + 6) ×4 + 2ç ×4.6÷
 èç2 ø÷
 2
Stp = 64 + 24 = 88cm
Bài 2: 
Ta có AC a a2 a 2cm
Chu vi đáy hình lăng trụ 
a a a 2 (2 2)a
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ
 2(2 2)a a
S 2 ph (2 2)a2 (cm2 )
 xq 2
Bài 3: 
Ta nhớ lại một bổ đề quan trọng: Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30o bằng nửa cạnh huyền 
( HS tự chứng minh)
Ta có A A  (ABC) A A  AB và AB là hình chiếu của A 'B 
trên đáy ABC và A· BA' 60
Tam giác A' AB vuông tại A, AB a thì A' B 2a , áp dụng định 
lý Pytago ta tính được A' B a 3 
 1 a2 a3 3
S = BA ×BC = . Vậy V = S ×AA' =
 ABC 2 2 ABC 2
Bài 4:
Chiều cao của tam giác đáy
h' 133 52 169 25 h' 144 12cm 1 1
Diện tích tam giác ABC là S h'.BC 12.10 60cm2
 2 2
 3
Thể tích của hình lăng trụ ABC.A 'B 'C ' là V Sd h 60.12 720cm
Bài 5:
Diện tích xung quanh hình trụ
Sxq 2(a a)h (cm)
Diện tích toàn phần của hình trụ
 2
Stp Sxq 2Sd 2(a a)h 2a.a Stp 4ah 2a 2a(2h a)
 1
Theo đề ta có S S
 xq 2 tp
 1 a
Hay 4ah 2a(a 2h) 4h a 2h 2h a h 
 2 2
 a
Vậy chiều cao của hình trụ là (cm)
 2
Bài 6:
Độ dài đường chéo của tam giác đáy là JK HG 32 42 25 5cm
 1
Diện tích tam giác đáy S S 3.4 6cm2
 HFG TIK 2
Diện tích toàn phần hình lăng trụ HFG.JIK 
 æ3 + 4 + 5ö
 ç ÷ 2
Stp1 = Sxq + 2Sday = 2ç ÷×3 + 2.6 = 48cm 
 èç 2 ø÷
* Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật 
ABCD.EFII ' (I’ là điểm phía dưới)
 2
Stp2 Sxq 2Sd 2(1 3).5 2.1.3 46cm
 2
* SJIFH 3.3 9cm
* Diện tích toàn phần của hình đã cho là 
 2
Stp Stp1 Stp2 SMFH 48 46 9 85cm
 3
Thể tích hình lăng trụ V1 Sd h 6.3 18cm
 3
Thể tích hình hộp chữ nhật V2 Sd h 3.5 15cm
 3
Thể tích của hình đã cho là V V1 V2 18 15 33cm
Bài 7: 4. 3
Diện tích đáy tam giác đều: S 2 3 (cm2 )
 2
Thể tích hộp kẹo: V 20.2 3 40 3 (cm3 ).
Bài 8: 
 Chiều cao của tam giác đáy h' 133 52 169 25 h' 144 12cm
 1 1
Diện tích tam giác ABC là S h'.BC 12.10 60cm2
 2 2
 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 60. .12 480cm3
 3
 2
Nếu chọn đáy là (BCC 'B ') thì Sd 10.12 120cm
 V 480
Chiều cao mực nước mới là h' h' 4cm
 Sd 120
Vậy chiều cao mực nước mới là 4cm.
Bài 9: 
 1
Diện tích tam giác đáy là S 8.6 24cm2
 2
 2
Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 24. 12 192cm3
 3
 2
Nếu chọn đáy là (ACC 'A ') thì Sd 8.12 96cm
 V 192
Chiều cao mực nước mới là h h 2cm
 Sd 96
Vậy chiều cao mực nước mới là 2cm.