Tuyển tập các bài toán hình học trong đề HSG Lớp 8 (Có đáp án)

 TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HèNH HỌC TRONG ĐỀ HSG LỚP 8
Cõu 1. 
 Cho hỡnh chữ nhật ABCD.Trờn đường chộo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng 
 của Cqua P.
 a) Tứ giỏc AMDB là hỡnh gỡ ?
 b) Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M lõn AB, AD. Chứng minh EF / /AC và 
 ba điểm E,F,P thẳng hàng
 c) Chứng minh rằng tỉ số cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật MEAF khụng phụ thuộc vào vị 
 trớ điểm P
 PD 9
 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, .Tớnh cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật ABCD.
 PB 16
 Lời giải
 D C
 P
 M F
 I
 E A B
 a) Gọi O là giao điểm hai đường chộo của hỡnh chữ nhật ABCD
 PO là đường trung bỡnh tam giỏc CAM
 AM / /PO AMDB là hỡnh thang
 b) Do AM / /BD nờn Oã BA Mã AE (đồng vị)
Tam giỏc AOB cõn ở O nờn Oã BA Oã AB
Gọi I là giao điểm hai đường chộo của hỡnh chữ nhật AEMF thỡ AIE cõn ở I nờn 
IãAE IãEA
Từ chứng minh trờn : cú Fã EA Oã AB, do đú: EF / /AC (1)
Mặt khỏc IP là đường trung bỡnh của MAC nờn IP / /AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E,F,P thẳng hàng
 MF AD
 c) MAF : DBA(g.g) Khụng đổi
 FA AB
 PD 9 PD PB
 d) Nếu k PD 9k,PB 16k
 PB 16 9 16 CP PB
Nếu CP  BD thỡ CBD : DCP(g.g) 
 PD CP
 2
Do đú: CP2 PB.PD hay 2,4 9.16k2 k 0,2
PD 9k 1,8(cm); PB 16k 3,2(cm) BD 5(cm)
Chứng minh BC2 BP.BD 16 , do đú: BC 4cm, CD 3cm.
Cõu 2.
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD AC BD .Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B, D lờn AC; 
 H, K lần lượt là hỡnh chiếu của C trờn AB và AC
 a) Tứ giỏc D FBE là hỡnh gỡ ? Vỡ sao ?
 b) Chứng minh: CHK : BCA
 c) Chứng minh: AC2 AB.AH AD.AK
 Lời giải
 H
 A B
 1
 F
 1
 E 2
 D C
 K
 a) DF / /BE (vỡ cựng vuụng gúc với AC)
 AFD CEB (Cạnh huyền – gúc nhọn) DF BE
 DFBE là hỡnh bỡnh hành
 b) BC / /AK Bã CK 900
 Ã BC 900 Bã CH (gúc ngoài của CHB)
 Hã CK 900 Bã CH Ã BC Hã CK
 Cú: Cã KD Ã CD Dã AC (gúc ngoài của DKC)
 Hã BC Bã AC Bã CA mà Bã CA Dã AC; Bã AC Dã CA
 CD CK AB CK
 CKD : CBH CHK : BCA c.g.c 
 BC CH BC CH AB AE
 c) AEB : AHC AE.AC AB.AH 1 
 AC AH
 AF AD
 AFD : AKC AF.AC AD.AK 2 
 AK AC
 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta cú: AE.AC AF.AC AB.AH AD.AK(3)
 Mà AFD CEB cmt AF CE
 3 AC. AE EC AB.AH AD.AK AC2 AB.AH AD.AK
Cõu 3.
 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Gọi M là một điểm di động trờn AC. Từ C vẽ đường 
thẳng vuụng gúc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng:
 a)OA.OB OC.OH
 b) Oã HA cú số đo khụng đổi
 c) Tổng BM.BH CM.CA khụng đổi
 Lời giải
 O
 A H
 M
 C
 B K
 OB OH
 a) BOH : COA g.g OA.OB OH.OC
 OC OA
 OB OH OA OH
 b) và Oà chung OHA : OBC
 OC OA OC OB
 Oã HA Oã BC (khụng đổi)
 c) Vẽ MK  BC; BKM : BHC(g.g)
 BM BK
 BM.BH BK.BC (3)
 BC BH
 CM CK
 CKM : CAB g.g CM.CA BC.CK(4)
 CB CA
 Cộng từng vế của (3) và (4) ta cú:
 BM.BH CM.CA BK.BC BC.CK BC. BK KC BC2 (Khụng đổi)
Cõu 4. Cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D. Biết CD 2AB 2AD và BC a 2 .Gọi E 
 là trung điểm của CD.
 a) Tứ giỏc ABED là hỡnh gỡ ? Tại sao ?
 b) Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD theo a
 c) Gọi I là trung điểm của BC,H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ D xuống AC. Tớnh 
 gúc Hã DI
 Lời giải
 A B
 H I
 D E C
 a) Chỉ ra ABED là hỡnh bỡnh hành AB / /DE,AB DE 
 Chỉ ra ABED là hỡnh thoi (AB=AD)
 ã 0
 Chỉ ra ABED là hỡnh vuụng BAD 90 
 b) Chỉ ra BEC vuụng cõn
 Từ đú suy ra AB AD a, DC 2a
 AB CD .AD a 2a .a 3a2
 Diện tớch của hỡnh thang ABCD là : S 
 2 2 2
 c) Ã CH Ã CD (1)(cựng phụ với gúc HDC)
 Xột ADC và IBD vuụng tại D và B cú:
 AD IB 1
 ADC : IBC
 DC BD 2
 Suy ra à CD Bã DI 2 
 Từ 1 và 2 suy ra à DH Bã DI
 Mà Ã DH Bã DI 450 Bã DI Bã DH 450 hay Hã DI 450
Cõu 5. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A,D là điểm di động trờn cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là 
hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm D lờn AB, AC
 a) Xỏc định vị trớ của điểm D để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng
 b) Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho 3AD 4EF đạt giỏ trị nhỏ nhất.
 Lời giải
 C
 F D
 A E B
  à  0
 a) Tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật (vỡ E A F 90 )
 ã
 Để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng thỡ A D là tia phõn giỏc của BAC
 b) Do tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật nờn AD EF
 3AD 4EF 7AD
 3AD 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn BC
Cõu 6. 
 Trong tam giỏc ABC,cỏc điểm A,E,F tương ứng nằm trờn cỏc cạnh BC,CA,AB sao 
cho à FE Bã FD; Bã DF Cã DE;Cã ED à EF
 a) Chứng minh rằng: Bã DF Bã AC
 b) Cho AB 5, BC 8,CA 7. Tớnh độ dài đoạn BD.
 Lời giải A
 E
 F
 O
 B D C
 a) Đặt à FE Bã FD ,Bã DF Cã DE ;Cã ED à EF 
 Ta cú: Bã AC   1800 * 
 Qua D,E,F lần lượt kẻ cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC,AC,AB cắt nhau tại O. 
 Suy ra O là giao điểm ba đường phõn giỏc của tam giỏc DEF
 Oã FD Oã ED Oã DF 900 (1)
 Ta cú:
 Oã FD  Oã ED  Oã DF 2700 (2)
 1 & 2   1800 * * 
 Từ * & * * Bã AC Bã DF
 b) Chứng minh tương tự cõu a) ta cú:
 Bà ,Cà  AEF : DBF : DEC : ABC
 BD BA 5 5BF 5BF 5BF
 BD BD BD 
 BF BC 8 8 8 8
 CD CA 7 7CE 7CE 7CE
 CD CD CD 
 CE CB 8 8 8 8
 AE AB 5 7AE 5AF 7 7 CE 5 5 BF 7CE 5BF 24
 AF AC 7 
 CD BD 3 (3)
 Ta lại cú: CD BD 8 (4)
 Từ (3) và (4) BD 2,5
 ã
Cõu 7. Cho tam giỏc ABC,đường cao AH, vẽ phõn giỏc H x của gúc AHBvà phõn giỏc 
 ã
Hy của AHC . Kẻ AD vuụng gúc với H x , AE vuụng gúc với Hy Chứng minh rằng tứ giỏc A D H E là hỡnh vuụng.
 Lời giải
 A
 x y
 D E
 B H C
Tứ giỏc A D H E là hỡnh vuụng 
 ã ã ã ã
H x là phõn giỏc của AHB;Hy là phõn giỏc của AHC mà AHBvà AHC là hai gúc kề bự 
nờn Hx  Hy
 ã 0 ã ã 0
Hay DHE 90 , mặt khỏc: AHD AEH 90 nờn tứ giỏc A D H E là hỡnh chữ nhật (1)
 Ã HB 900 Ã HC 900
à HD 450 , Do à HE 450
 2 2 2 2
 ã
Hay H A là phõn giỏc DHE (2)
Từ (1) và (2) ta cú tứ giỏc A D H E là hỡnh vuụng.
Cõu 8.
 Cho tam giỏc đều ABC,gọi Mlà trung điểm của BC. Một gúc xãMybằng 600 quay 
 quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx,My luụn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. 
 Chứng minh:
 BC2
 a) BD.CE 
 4
 b) DM,EM lần lượt là tia phõn giỏc của cỏc gúc BDE và CED
 c) Chu vi tam giỏc ADE khụng đổi
 Lời giải
 y
 A
 x
 E
 2
 D 1
 2
 1 3 C
 B M
 ả 0 ả
 a) Trong tam giỏc BDM ta cú: D1 120 M1 ả 0 ả 0 ả
 Vỡ M2 60 nờn ta cú: M3 120 M1
 ả ả
 Suy ra D1 M3 . Chứng minh BMD : CEM (1)
 BD CM
 Suy ra , Từ đú BD.CE BM.CM
 BM CE
 BC BC2
 Vỡ BM CM , nờn ta cú: BD.CE 
 2 4
 BD MD
 b) Từ (1) suy ra 
 CM EM
 ả ả ã
 Chứng minh BMD : MED D1 D2 , do đú DM là tia phõn giỏc BDE
 Chứng minh tương tự ta cú : EM là tia phõn giỏc Cã ED
 c) Gọi H,I,K là hỡnh chiếu của Mtrờn AB, DE,AC .
 Chứng minh DH DI,EI EK
 Tớnh chu vi tam giỏc bằng 2AH - khụng đổi
Cõu 9. Cho hỡnh vuụng ABCD,M là một điểm tựy ý trờn đường chộo BD. Kẻ ME  AB,
MF  AD.
 a) Chứng minh: DE CF
 b) Chứng minh ba đường thẳng : DE,BF,CM đồng quy
 c) Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất.
 Lời giải
 A E B
 F M
 D C
 a) Chứng minh: AE FM DF AED DFC dfcm
 b) DE,BF,CM là ba đường cao của EFC dfcm
 c) Cú chu vi hỡnh chữ nhật AEMF 2a khụng đổi
 ME MF a khụng đổi
 SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF ( AEMF là hỡnh vuụng) M là trung điểm của BD.
Cõu 10.
 Cho đoạn thẳng AB a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phớa của 
AB cỏc hỡnh vuụng AMNP, BMLK cú tõm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.
 a) Tớnh khoảng cỏch từ I đến A B
 b) Khi điểm Mdi chuyển trờn đoạn thẳng A B thỡ điểm I di chuyển trờn đường nào ?
 Lời giải
 P N
 Q
 L K
 C
 R I S
 D
 B
 A E HM F
 a) Kẻ CE,IH, DF cựng vuụng gúc với A B suy ra tứ giỏc CDFE là hỡnh thang vuụng.
 AM BM AB a a
Chứng minh được: CE ,DF CE DF IH 
 2 2 2 2 4
 b) Khi M di chuyển trờn AB thỡ I di chuyển trờn đoạn RS song song với AB và cỏch AB 
 a
 một khoảng bằng (R là trung điểm của AQ)
 4
 S là trung điểm của BQ, Qlà giao điểm của BL và AN)
Cõu 11. 
 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, phõn giỏc BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm 
 của BD,BC,DC
 a) Chứng minh APQR là hỡnh thang cõn
 b) Biết AB 6cm,AC 8cm.Tớnh độ dài của A R
 Lời giải A
 D
 P R
 C
 B Q
 a) PQ là đường trung bỡnh tam giỏc BDC,suy ra PQ / /AR nờn APQR là hỡnh thang.
 1
 AQ BC (trung tuyến tam giỏc vuụng ABC)
 2
 1
 PR BC (đường trung bỡnh tam giỏc DBC)
 2
 Suy ra AQ PR APQR là hỡnh thang cõn
 b) Tớnh được BC 10cm
 Tớnh chất đường phõn giỏc trong của ABC
 DA BA DA BA
 DC BC AC BC BC
 Thay số tớnh đỳng AD 3cm, DC 5cm, DR 2,5cm
 Kết quả AR 5,5cm
Cõu 12.
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD.Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường 
 chộo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh:
 1 1 1
 BN BM BK
 Lời giải
 A B
 N
 D M C
 K
 AB//AC (hai cạnh đối diện hỡnh bỡnh hành). Theo định lý Talet cú: