Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

PHẦN I: SỐ HỌC
Ngày soạn: 
Ngày dạy:	
 Chuyên đề 1: TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
Tiết 1: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N
I. MỤC TIÊU
 	 + Kiến thức: HS nắm được các dấu hiệu chia hết và các tính chất chia hết trong N
 	 + Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào Giải bài tập
 	 + Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. ĐỒ DÙNG
 	 + Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
 	 + Học sinh:Ôn các dấu hiệu chia hết, các t/c chia hết
III. PHƯƠNG PHÁP
	Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY
	1.Ổn định tổ chức:
	2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
	3. Bài mới:
	Phần 1: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N
	Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ
	I. Một số dấu hiệu chia hết 
 	1. Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125.
 (hoặc 25) (hoặc 25)
 (hoặc 125) (hoặc 125)
 	2. Chia hết cho 3; 9.
 (hoặc 9) (hoặc 9)
	Nhận xét: Dư trong phép chia N cho 3 (hoặc 9) cũng chính là dư trong phép chia tổng các chữ số của N cho 3 (hoặc 9).
 	3. Dấu hiệu chia hết cho 11:
 	Cho 
 	4.Dấu hiệu chia hết cho 101
	II.Ví dụ
	Ví dụ 1: Tìm các chữ số x, y để:
 a) 
 b) 
	Giải:
	a) Để ta phải có chia hết cho 9 và 5 y = 0 hoặc y = 5
	Với y = 0 thì từ ta phải có 1 + 3 + 5 + x + 4 
 	khi đó ta có số 13554
 	với x = 5 thì từ: ta phải có 1 + 3 + 5 + x + 4 + 5
	 lúc đó ta có 2 số: 135045; 135945.
	b) Ta có 
	Vì nên bằng 72 hoặc 144.
 	 + Với =72 thì =08, ta có số: 123408.
 	 + Với =14 thì =80, ta có số 12 3480
	Ví dụ 2: Tìm các chữ số x, y để 
 Giải
	Ta có: 1375 = 11.125.
	Vậy số cần tìm là 713625
	Ví dụ 3: a) Hỏi số có chia hết cho 101 không? 
 b) Tìm n để 
	Giải:
	a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A1991 có 2 cặp số là 91;19
 	 Ta có: 1991.91 - 1991.19 = 1991. 72 101 nên 	
	b) :
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT 
	A.Tóm tắt lý thuyết
 	1. Định lý về phép chia hết:
	a) Định lý
 	 Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý, , khi đó có 2 số nguyên q, r duy nhất sao cho: với , a là só bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư.
 	 Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ước của a, ký hiệu .
có số nguyên q sao cho a = b.q
 Vậy 
	b) Tính chất
 	a) Nếu và thì 
	b) Nếu và thì a = b
	c) Nếu , và (b,c) = 1 thì 
	d) Nếu và (c,b) = 1 thì 
 	2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
 	- Nếu 
 	- Nếu 
	 - Nếu .b 
 	 - Nếu a m (n là số tự nhiên)
 	3. Một số tính chất khác:
	* Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n
	* Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n!
	* A A và (a;b) = 1 
	B .Ví dụ:
	1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
	Giải:
	Bài tập tự luyện:
	2. Chứng minh rằng 
	a. với n chẳn
	b. với n lẻ
	3. CMR với mọi số tự nhiên n thì biểu thức:
	a) n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6
	b) 2n (2n + 2) chia hết cho 8.
	4. Củng cố.
	GV khái quát lại kiến thức
	5. Hướng dẫn về nhà.
 	- Học bài và làm bài tập
	4. Chứng minh rằng: với n nguyên
	CMR với mọi số nguyên a biểu thức sau:
	a) a(a – 1) – (a + 3)(a + 2) chia hết cho 6.
	b) a(a + 2) – (a – 7)(a - 5) chia hết cho 7.
	c) (a2 + a + 1)2 – 1 chia hết cho 24
	d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 2: MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT (Tiếp)
I. MỤC TIÊU
 	 + Kiến thức: HS nắm được cách chứng minh quan hệ chia hết và tìm số dư
 	 + Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào Giải bài tập
 	 + Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. ĐỒ DÙNG
 	 + Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
 	 + Học sinh:Ôn các dấu hiệu chia hết, các t/c chia hết
III. PHƯƠNG PHÁP
 	- Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
	1. Ổn định tổ chức:
	2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
	3. Bài mới
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT 
 	4. Chứng minh quan hệ chia hết 
	Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc n Z)
	a) Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó có một thừa số là m 
	 + Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó 
 	 + Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k 
	b) Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia m cho n 
	* Ví dụ1: 
	Chứng minh rằng A= n3 (n2 - 7) 2 – 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n 
Giải:
	Ta có 5040 = 24. 32.5.7 
	A= n3(n2 - 7)2 – 36n = n.[ n2(n2 - 7)2 – 36 ] = n. [n.(n2 - 7) - 6].[n.(n2 - 7) + 6]
 	= n.(n3 - 7n – 6).(n3 - 7n + 6) 
	Ta lại có n3 - 7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n - 6 = n2.(n + 1) - n (n + 1) - 6(n + 1) 
	=(n + 1)(n2 - n - 6)= (n + 1)(n + 2) (n - 3) 
	Tương tự: n3 - 7n + 6 = (n - 1) (n - 2)(n + 3) d
	Do đó A= (n - 3)(n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3) 
	Ta thấy: A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp: 
	 - Tồn tại một bội số của 5 (nên A 5) 
 	- Tồn tại một bội của 7 (nên A 7) 
 	- Tồn tại hai bội của 3 (nên A 9)
 	- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A 16)
	Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau A 5.7.9.16= 5040
	Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: 
	a/ a3 – a chia hết cho 3 
	b/ a5 - a chia hết cho 5 
	Giải:
	a/ a3 - a = (a - 1)a (a + 1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3 
	b/ A= a5 - a = a(a2 - 1) (a2 + 1) 
	* Cách 1:
	Ta xết mọi trường hợp về số dư khi chia a cho 5
	Nếu a= 5 k (kZ) thì A 5 (1)
	Nếu a= 5k 1 thì a2 - 1 = (5k21) 2 - 1 = 25k2 10k5 A 5 (2)
	Nếu a= 5k 2 thì a2 + 1 = (5k2)2 + 1 = 25 k220k + 5 A 5 (3) 
	Từ (1),(2),(3) A 5, n Z
	* Cách 2: 
	Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5:
 	 + Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
 	 + Một số hạng chứa thừa số 5 
	Ta có: a5 - a = a(a2 - 1) (a2 + 1) = a(a2 - 1)(a2 - 4 + 5) = a(a2 - 1) (a2 - 4) + 5a(a2 - 1) 
 = a(a - 1)(a + 1) (a + 2)(a - 2) - 5a (a2 - 1) 
	Mà = a(a - 1)(a + 1) (a + 2)(a - 2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp)
 	5a (a2 - 1) 5 
	Do đó a5 - a 5
	* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5 - a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
	Ta có: 
	a5 - a – (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) = a5 - a – (a2 - 4)a(a2 - 1) = a5 - a - (a3 - 4a)(a2 - 1) 
	= a5 - a - a5 + a3 + 4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
	 a5 - a = (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) 5 
Mà (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) 5 a5 - a 5(Tính chất chia hết của một hiệu)
	c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng đẳng thức:
	an – bn = (a – b)(an - 1 + an - 2b + an - 3b2 + + abn - 2 + bn - 1) (HĐT 8)
	an + bn = (a + b)(an - 1 - an - 2b + an - 3b2 - - abn - 2 + bn - 1) (HĐT 9)
Sử dụng tam giác Paxcan:
	1
	1 1
	1 2 1
	1 3 3 1
	1 4 6 4 1
	 ..
	Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
	Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.
	Do đó: Với a, b Z, n N: 
	an – bn chia hết cho a – b(ab)
	a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b(a - b)
	(a + b)n = Bsa + bn (BSa:Bội số của a)
	(a + 1)n = Bsa + 1
	(a - 1)2n = Bsa + 1
	(a - 1)2n + 1 = Bsa - 1
	* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.
	Giải
 	 + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN thì:
	A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hết cho 162 – 1(theo nhị thức Niu Tơn)
	Mà 162 – 1 = 255 17. Vậy A17
	 - Nếu n lẻ thì: A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mà n lẻ thì 16n + 116 + 1=17 (HĐT 9) 
	A không chia hết cho 17
 	+ Cách 2: A = 16n – 1 = (17 – 1)n – 1 = BS17 + (- 1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn)
	Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17
	Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17 
	Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, n N
	d/ Ngoài ra còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết.
	Vi dụ 4: Chứng minh rẳng tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004 .2004
	Giải:Xét 2004 số: a1 = 2004
 a2 = 2004 2004
 a3 = 2004 2004 2004
 .
 a2004 = 2004 2004 2004
 2004 nhóm 2004
	Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
	Gọi hai số đó là am và an (1 n <m 2004) thì am - an 2003
	Ta có: am - an = 2004 2004 2004 000 00
 m - n nhóm 2004 4n
	hay am - an = 2004 2004 2004 . 104n
 m - n nhóm 2004
 	mà am - an 2003 và (104n , 2003) =1
	nên 2004 2004 2004 2003
 m - n nhóm 2004
 	5. Tìm số dư 
	* Ví dụ 1:Tìm số dư khi chia 2100 
	a/ cho 9 b/ cho 25
	Giải:
	a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
	Ta có: 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1)33 = 2(BS9 - 1) (theo nhị thức Niu Tơn)
	= BS9 – 2 = BS9 + 7
	Vậy 2100 chia cho 9 dư 7
	b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1
	Ta có: 
	2100 =(210)10 = (1025 – 1)10 = BS 1025 + 1 = BS 25 + 1 (theo nhị thức Niu Tơn)
	Vậy 2100 chia cho 25 dư 1
	4. Củng cố.
	GV khái quát lại kiến thức
	5. Hướng dẫn về nhà.
	- Học bài và làm bài tập 
	* Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân
	Giải:
	* Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 = 625
	Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625
	Do đó: 51994 = 54k + 2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. ( 0625)= 5625
	-Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 cho 10000 = 24.54
 	Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16
	Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 và 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hết cho 16
	 (51994)3. 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56 = 15625
	51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 dư 15625
	Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625
Ngày soạn: 
Ngày dạy:
Tiết 3: ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT (Tiếp)
I. MỤC TIÊU
 	 + Kiến thức: HS nắm được cách tìm điều kiện chia hết và đồng dư thức
 	 + Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào Giải bài tập
 	 + Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. ĐỒ DÙNG
 	 + Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
 	 + Học sinh:Ôn cách chứng minh quan hệ chia hết và tìm số dư
III. PHƯƠNG PHÁP
	Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY
	1. Ổn định tổ chức:
	2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
	3. Bài mới
 6. Tìm điều kiện chia hết
	* Ví dụ 1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
	A = n3 + 2n2 - 3n + 2; B = n2 – n
Giải:
 n3 + 2n2 - 3n + 2 n2 – n
 n3 – n2 n + 3
 3n2 - 3n + 2 
 3n2 – 3n
 2
	Ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + 
	Do đó giá trị của A chia hết cho giá trị của B n2 – n Ư(2) 
 2 chia hết cho n(n – 1) 2 chia hết cho n
Ta có bảng: 
n
1
 - 1
2
 - 2
n – 1
0
 - 2
1
 - 3
n(n – 1)
0
2
2
6
Loại
T/m
T/m
Loại
	Vậy với n = - 1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
	Ví dụ 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
	Giải:
 	n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
	n2(n3 + 1) - (n2 – 1) n3 + 1
	(n – 1)(n + 1) (n + 1)(n2 – n + 1)
	n – 1 n2 – n + 1
	n(n – 1) n2 – n + 1
	Hay n2 – n n2 – n + 1
	(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1
	 1n2 – n + 1
	Xét hai trường hợp:
 	 + n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài
 	 + n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
	Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7
	Giải:
	Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1
	- Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k8 – 1 = 7
	- Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k + 1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1
 	= 2. BS7 + 1 
	2n - 1 không chia hết cho 7
	- Nếu n = 3k + 2(k N) thì 2n - 1 = 23k + 2 – 1= 4.23k – 1 
 = 4(8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 
	2n - 1 không chia hết cho 7
	Vậy 2n - 17 n = 3k (k N)
	 Bài tập
	Bài 1: Chứng minh rằng:
	a/ n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi số n chẵn
	b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ
	Giải:
	a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n(n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
 = n(n + 2)(n + 4)
	Với n chẵn, n = 2k ta có:
	n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8
 	b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1) - 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) 
 = (n – 1)(n + 1)(n - 3)(n + 3)
	Với n lẻ, n = 2k + 1, ta có:
	n4 – 10n2 + 9 = (2k + 1 – 1)(2k + 1 + 1)(2k + 1 – 3)(2k + 1 + 3)
	 = 2k(2k + 2)(2k - 2)(2k + 4)= 16k(k + 1)(k - 1)(k + 2) 16
	Bài 2: Chứng minh rằng
	a/ n6 + n4 - 2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
	b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
	Giải:
	Ta có: A= n6 + n4 - 2n2 = n2(n4 + n2 - 2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 + 2) - (n2 + 2)]
 	= n2(n2 + 2)(n2 – 1).
	Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1
	Xét các trường hợp:
	 + Với n = 2k
	A = (2k)2(2k + 1) (2k - 1)(4k2 + 2) = 8k2(2k + 1) (2k - 1)(2k2 + 1) 8
	 + Với n = 2k + 1 A = (2k + 1)2(2k + 1 – 1)2= (4k2 + 4k + 1)4k2 8
	Tương tự xét các trường hợp n = 3a, n= 3a 1 để chứng minh A9
	Vậy A8.9 hay A72
	Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 – 1 chia hết cho 24
	Giải:
	Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻa2 là số chính phương lẻ 
	a2 chia cho 8 dư 1
	 a2 – 1 chia hết cho 8 (1)
	Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3 
	a2 là số chính phương không chia hết cho 3a2 chia cho 3 dư 1
	 a2 – 1 chia hết cho 3 (2)
	Mà (3,8) = 1 (3)
	Từ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hết cho 24
	Bài 4: Chứng minh rằng:
	Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 - 1 chia hết cho 7
	Giải:
	Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
	 - Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p
	 - Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap - 1 - 1 chia hết cho p
	Thật vậy, ta có a6 - 1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
	Nếu a = 7k 1 (k N) thì a3 = (7k 1)3 = BS7 1 a3 - 17
	Nếu a = 7k 2 (k N) thì a3 = (7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17
	Nếu a = 7k 3 (k N) thì a3 = (7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17
	Ta luôn có a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7
	Bài 5: Chứng minh rằng:
	Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n - 1)n(n + 1) chia hết cho 504
	Giải:
	Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một
	Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3
	Cần chứng minh A=(a3 - 1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504
	Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8
	 Nếu a lẻ a3 - 1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp(a3 - 1) (a3 + 1) chi hết cho 8
	Vậy A8 , nN (1)
 	 + Nếu a7 a37 A7
 	Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 17(a3 - 1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)
	Vậy A7 , nN (2)
 	 + Nếu a3 a39 A9
	Nếu a không chia hấe cho 3 a = 3k 1 a3 = (3k 3)3= BS91 
	a3 – 1 = BS9 + 1 – 1 9
 	 a3 + 1 = BS9 - 1 + 1 9
	Vậy A9 , nN (3)
	Từ (1), (2), (3) A9 , nN 
	Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
	Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một người khách đến thăm trường gặp hai học sinh. Người khách hỏi:
	- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?
	- Bạn Mai trả lời:
	- Không, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều là số chẵn.
	- Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không?
	- Người khách đã suy luận thế nào?
	Giải:
	Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phải là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn.
	Gọi năm sinh của Mai là thì 1+ 9 + a + 9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a{1; 3; 5; 7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980.
	Phần 2: ĐỒNG DƯ THỨC
 	I. Lí thuyết đồng dư:
 	a) Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0. Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m . 
	Kí hiệu: 
 Ví dụ: 
 	b) Tính chất
 	a) 
	b)
	c) 
	d) 
	c) Một số hằng đẳng thức:
	 (n lẻ)
 	II.Ví dụ:
 	Chứng minh: 
	Giải:
	2 + 2 = 2 = 512 º 112(mod 200) (1)
	Þ 2 = 2 º 112 (mod 200) .
 	112 = 12544 º 12 (mod 200) Þ 112 º 12 (mod 200) 
 	12 = 61917364224 º 24(mod 200) . 
	112 º 24.112(mod 200) º 2688(mod 200) º 88(mod 200) 
	Þ 2 º 88(mod 200) (2) 
 	Từ (1) và (2) Þ 2 + 2 = 200(mod 200) hay 
 III. Bài tập tự luyện:
	Sử dụng hằng đẳng thức và đồng dư
	4. Củng cố.
	GV khái quát lại kiến thức
	5. Hướng dẫn về nhà.
 	- Học bài và làm bài tập
	Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
	a/ 12n2 – 5n – 25
	b/ 8n2 + 10n + 3
	c/ 
	Giải:
	a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 + 15n – 20n – 25 
	= 3n(4n + 5) – 5(4n + 5) = (4n + 5)(3n –5)
	Do 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố và 4n + 5 > 0 nên 3n – 5 > 0.
 	Ta lại có: 3n – 5 < 4n + 5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngưyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2
	Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố.
	Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố 13
	b/ 8n2 + 10n + 3 = (2n – 1)(4n + 3)
	Biến đổi tương tự ta được n = 0. Khi đó, 8n2 + 10n + 3 là số nguyên tố 3
	c/ A = . Do A là số tự nhiên nên n(n + 3) 4. 
	Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4
	 - Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố
 	- Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố
 	- Nếu n = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số 
	 - Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố
	 - Nếu n + 3 = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số.
	Vậy với n = 4 thì là số nguyên tố 
	Ngày soạn: 
	Ngày dạy:	
	Tiết 4: QUY NẠP TOÁN HỌC
I. MỤC TIÊU
	 + Kiến thức: HS nắm được phương pháp chứng minh quy nạp toán học
 	 + Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào giải bài tập
 	 + Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. ĐỒ DÙNG
 	 + Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
 	 + Học sinh:Ôn đồng dư thức
III. PHƯƠNG PHÁP
	Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
	1. Ổn định tổ chức.
	2. Kiểm tra bài cũ. Kết hợp trong bài
	3. Bài mới QUY NẠP TOÁN HỌC
	Phương pháp chứng minh 
	B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1?
	B2: Giả sử Mệnh đề đúng với n = k ³ 1. 
 	B3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
 	B4: Kết luận
 Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 
	Giải:
	 - Với n = 1:A1 = 7 + 8 = 855 + 57 
 	- Giả sử Ak + 57 nghĩa là 
 	Þ Ak + 1 = 7 + 8 =7. 7 + 64.8 = 7(7 + 8) + 57.8 .
	Vì 7 + 8 (giả thiết qui nạp) và 57.8 57 
	Þ Ak + 1 57
	Vậy theo nguyên lí qui nạp A = 7 + 8 57.
	*Chú ý: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n ³ n0. Thì ta kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n0?
 	III. BÀI TẬP:
	Chứng minh: Với n là số tự nhiên thì:
	a) ; b) 11 + 12 133
	c) ; d) 
	e) 
	Luyện tập
	; 
	 sao cho ; A = 
	Hướng dẫn: (a + b) 9 và (a + b) = 	9k k = 1 a + b = 9 9a = 9.8 = 72 a = 8 và b = 1 
	B = 
	Hướng dẫn: Đặt ; 99x = (x + y)(x + y - 1) 992 
	Xét 2 khả năng: 
 	(1) B = 9801
 (2) 
	Đáp số: B = 9801;2025;3025
	=
	 sao cho 
	4. Củng cố.
	GV khái quát lại kiến thức
	5. Hướng dẫn về nhà.
	 - Học bài và làm bài tập
	Tìm 
	Tính giá trị của biểu thức:
	1/ Cho x + y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 3.
	2/ Cho x + y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy
	3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy.
	4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
	a) x2 + y2	b) x3 + y3 	c) x4 + y4 
	5/ Cho x + y = m và x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m và n.
	6/ a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị của biểu thức: a4 + b4 + c4.
 	 b) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị của biểu thức: a4 + b4 + c4.
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Chuyên đề 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Tiết 5: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
I. MỤC TIÊU
 	 + Kiến thức: HS nắm được định nghĩa và các tính chất của số chính phương
 	 + Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào giải bài tập
 	 + Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. ĐỒ DÙNG
 	 + Giáo viên:Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
 	 + Học sinh: Đọc trước các nội dung GV yêu cầu
III. PHƯƠNG PHÁP
	Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
	1. Ổn định tổ chức:
	2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
	3. Bài mới
	3.1. Định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
	3.2. Tính chất
	1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
	2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
	3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
	4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N).
	5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
	Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
	Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
	Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
	6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
 	Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
	 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
	 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
	3.3. Một số dạng bài tập về số chính phương
	Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG 
	Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
	Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4 
	Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t (t Z) thì
 A = (t - y2)(t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
	V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z
	Vậy A là số chính phương.
	Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
	Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n N). Ta có
	n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 (*)
	Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2 
 = (n2 + 3n + 1)2
	Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
	Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k + 1)(k + 2)
 Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
	Ta có k(k + 1)(k + 2) = k(k + 1)(k + 2).4 = k(k + 1)(k + 2).[(k + 3) – (k - 1)]
 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
	S =.1.2.3.4 - .0.1.2.3 + .2.3.4.5 - .1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - -	 k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
	4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
	Theo kết quả Bài 2 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương
	Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; 
 	Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có: 44 4...88 89 = 44 4 88..8 + 1 = 44 4 . 10n + 8 . 11 1 + 1
 n chữ số 4 n - 1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
 = 4. . 10n + 8. + 1
 	 = = 
 Ta thấy 2.10n + 1 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 
	 Z hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phương
	* Các khác: Chức minh: là số chính phương
	Đặt: 
	Ta có: 
	Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
 	A = 11 1 + 44 4 + 1 
 	 2n chữ số 1 n chữ số 4
 B = 11 1 + 11 1 + 66 6 + 8
 2n chữ số 1 n + 1 chữ số 1 n chữ số 6
 C = 44 4 + 22 2 + 88 8 + 7 
 2n chữ số 4 n + 1 chữ số 2 n chữ số 8
	Kết quả: A = ; B = ; C = 
	Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
 a. A = 22499 9100 09
 n - 2 chữ số 9 n chữ số 0
 	b. B = 11 155 56
 n chữ số 1 n - 1 chữ số 5
	Giải:
	A = 224.102n + 99 9.10n + 2 + 10n + 1 + 9
 	= 224.102n + (10n - 2 – 1) . 10n + 2 + 10n + 1 + 9
 	 = 224.102n + 102n – 10n + 2 + 10n + 1 + 9
 	= 225.102n – 90.10n + 9
 	= (15.10n – 3)2
 	 A là số chính phương
	Cách 2:
b. B = 111 1555 5 + 1 = 11 1.10n + 5.11 1 + 1 
 	 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1
 	= . 10n + 5. + 1 = 
 	= = là số chính phương (điều phải chứng minh)
	Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương
	Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n , n + 1 , n + 2 (n N , n ≥2).
	Ta có (n - 2)2 + (n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5.(n2 + 2)
	Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thẻ chia hết cho 5
	 5.(n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
	Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nN và n>1 không phải là số chính phương
	n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = n2.(n4 – n2 + 2n + 2) = n2.[ n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1) ] 
 = n2[ (n + 1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n + 1).[ (n3 + 1) – (n2 - 1) ]
	= n2(n + 1)2.(n2–2n + 2)
	Với nN, n >1 thì n2 - 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > (n – 1)2
 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
 Vậy (n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương. 
	 Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
 Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương 
 Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 a2 a2 4 
 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
	Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.
	a và b lẻ nên a = 2k + 1, b = 2m + 1 (Với k, m N)
	 a2 + b2 = (2k + 1)2 + (2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t N)
Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t N) do đó a2 + b2 không thể là số chính phương.
	Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương.
	Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không chia hết cho 4 (1)
	a. Giả sử p + 1 là số chính phương . Đặt p + 1 = m2 (m N)
	Vì p chẵn nên p + 1 lẻ m2 lẻ m lẻ.
	Đặt m = 2k + 1 (k N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 p + 1 = 4k2 + 4k + 1
	 p = 4k2 + 4k = 4k(k + 1) 4 mâu thuẫn với (1)
	 p + 1 là số chính phương
	p = 2.3.5 là số chia hết cho 3 p - 1 có dạng 3k + 2.
	Không có số chính phương nào có dạng 3k + 2 p - 1 không là số chính phương .
	Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương
	Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7 2007. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương.
	2N - 1 = 2.1.3.5.7 2007 – 1
	Có 2N 3 2N - 1 không chia hết cho 3 và 2N - 1 = 3k + 2 (k N)
	 2N - 1 không là số chính phương.
	2N = 2.1.3.5.7 2007
	Vì N lẻ N không chia hết cho 2 và 2N 2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
	2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 2N không là số chính phương.
	2N + 1 = 2.1.3.5.7 2007 + 1
 	 2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4
	 2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1
	 2N + 1 không là số chính phương.
	4. Củng cố:
	GV khái quát kiến thức
	5. Hướng dẫn về nhà
	Học bài và làm bài tập
Bài 13: Cho a = 11 1 ; b = 100 05
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
 Chứng minh là số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 11 1 = ; b = 100 05 = 100 0 + 5 = 102008 + 5
2
 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0
 ab + 1 = + 1 = = 
2
 = = 
	Ta thấy 102008 + 2 = 100 02 3 nên N hay là số tự nhiên.
 2007 chữ số 0 
Cách 2: b = 100 05 = 100 0 – 1 + 6 = 99 9 + 6 = 9a + 6
 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 2008 chữ số 9
	 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
	 = = 3a + 1 N
Ngày soạn: 
Ngày dạy: 	
Tiết 6: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
I. MỤC TIÊU
 	 + Kiến thức: HS nắm được định nghĩa và các tính chất của số chính phương
 	 + Kỹ năng: HS vận dụng được các kiến thức đã học vào Giải bài tập
 	 + Thái độ: Rèn luyện tư duy sáng tạo, tính cẩn thận.
II. ĐỒ DÙNG
 	 + Giáo viên: Giáo án, SGK, tài liệu bồi dưỡng
	 + Học sinh: Đọc trước các nội dung GV yêu cầu
III. PHƯƠNG PHÁP
	Lấy học sinh làm trung tâm + Gợi mở vấn đáp
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
	1.Ổn định tổ chức:
	2. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong bài
	3. Bài mới
	Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
	Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
	a. n2 + 2n + 12 b. n (n + 3) 
	c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589
	Giải:
	a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
 	 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k - n - 1) = 11
	Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết 	(k + n + 1)(k - n - 1) = 11.1 
	b) Đặt n(n + 3) = a2 (nN) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
 (2n + 3) - 4a2 = 9
 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
	Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 
	c. Đặt 13n + 3 = y2 (y N) 13(n – 1) = y2 – 16
 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
	 (y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13
	 y = 13k 4 (Với k N)
	 13(n – 1) = (13k 4 )2 – 16 = 13k.(13k 8)
	 n = 13k2 8k + 1
	Vậy n = 13k2 8k + 1 (Với k N) thì 13n + 3 là số chính phương.
	Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) 
	 (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
 (2m + 2n + 1)(2m – 2n - 1) = 6355
	Nhận xét thấy 2m + 2n + 1> 2m – 2n - 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n + 1)(2m – 2n - 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
	Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
	a2 + a + 43 
	a2 + 81
	a2 + 31a + 1984 
	Kết quả: a. 2; 42; 13
 b. 0; 12; 40
 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 
	Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + + n! là một số chính phương .
	Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương .
	Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 
	Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương 
	Với n ≥ 4 ta